AMC 10 · 2024 · #13

학년 8 geometry-2dcounting

coordinate-geometryreflection-symmetrysystematic-enumerationcombinations-basic caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: coordinate-geometryreflection-symmetry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Two transformations are said to commute if applying the first followed by the second
gives the same result as applying the second followed by the first. Consider these
four transformations of the coordinate plane:

a translation $2$ units to the right,
a $90^{\circ}$ -rotation counterclockwise about the origin,
a reflection across the $x$ -axis, and
a dilation centered at the origin with scale factor $2.$

Of the $6$ pairs of distinct transformations from this list, how many commute?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 가지 평면 변환이 주어집니다. $T_1$ = 오른쪽으로 $2$ 만큼 평행이동, $T_2$ = 원점 중심 반시계방향 $90^{\circ}$ 회전, $T_3$ = $x$ 축 대칭, $T_4$ = 원점 중심 $2$ 배 확대. 두 변환이 "교환된다(commute)"는 것은 적용 순서를 바꿔도 결과가 같다는 뜻입니다. 서로 다른 두 변환을 고르는 $\binom{4}{2} = 6$ 쌍 중 교환되는 쌍은 몇 개일까요?

주어진 것: $T_1(x, y) = (x+2, y)$ — 오른쪽으로 $2$ 만큼 평행이동; $T_2(x, y) = (-y, x)$ — 원점 중심 반시계방향 $90^{\circ}$ 회전; $T_3(x, y) = (x, -y)$ — $x$ 축 대칭; $T_4(x, y) = (2x, 2y)$ — 원점 중심 $2$ 배 확대; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: $i < j$ 인 쌍 $(T_i, T_j)$ 중 모든 점 $(x,y)$ 에서 $T_i \circ T_j = T_j \circ T_i$ 가 되는 쌍의 개수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기

문제가 이미 "$\binom{4}{2} = 6$ 쌍 중 몇 개" 라는 유한한 묶음과 예/아니오 조건을 직접 알려줍니다. 이건 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 신호 — 모든 쌍을 적고, 각각을 판정하고, 예의 개수를 세면 끝납니다. 판정 도구는 #13(대수로 바꾸기). 각 변환을 좌표식으로 적어두면 "두 합성이 같은가" 라는 질문이 "두 식이 모든 $(x,y)$ 에서 일치하는가" 라는 대수 비교로 바뀝니다. 그림으로 6쌍을 다 따라가면 느리고 실수하기 쉬운데, 좌표식이면 각 쌍을 한 줄로 처리할 수 있습니다.

실행 — 정답: C

#13 대수로 바꾸기 8.G.A.3 단계 1

각 변환을 좌표식으로 옮깁니다.
기하적 설명을 그대로 읽으면 됩니다: 오른쪽 평행이동은 $x$ 에 $2$ 를 더하고, 반시계방향 $90^{\circ}$ 회전은 $(x,y)$ 를 $(-y, x)$ 로 보내고, $x$ 축 대칭은 $y$ 의 부호를 뒤집고, $2$ 배 확대는 두 좌표 모두에 $2$ 를 곱합니다.

$$T_1(x,y) = (x+2, y), \;\; T_2(x,y) = (-y, x), \;\; T_3(x,y) = (x, -y), \;\; T_4(x,y) = (2x, 2y)$$

💡 8학년 변환 규칙: 각 변환이 좌표 위의 식이 되면 두 변환의 합성은 대입 한 번으로 끝납니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

$6$ 쌍을 빠짐없이 적습니다.
네 변환 $T_1, T_2, T_3, T_4$ 에서 (작은 번호 먼저) 쌍은 $(T_1,T_2), (T_1,T_3), (T_1,T_4), (T_2,T_3), (T_2,T_4), (T_3,T_4)$.
각 쌍마다 두 가지 순서로 $(x,y)$ 에 합성을 적용해 비교합니다.
모든 $(x,y)$ 에서 결과가 같아야 "교환".

$$\text{검사할 쌍: } \{1{,}2\}, \{1{,}3\}, \{1{,}4\}, \{2{,}3\}, \{2{,}4\}, \{3{,}4\}$$

💡 번호 순으로 쌍을 적는 것은 7학년 "모든 가능한 경우 빠짐없이" 트리 그리기 습관 그대로 — 같은 쌍을 두 번 세지도, 빠뜨리지도 않습니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.4 단계 3

쌍 $\{1,2\}$ — 평행이동과 회전.
두 순서로 합성한 결과가 두 좌표 모두에서 다르므로 교환되지 않습니다.
기하적으로는, 먼저 평행이동하면 그 $2$ 칸 이동이 회전과 함께 돌아가지만, 먼저 회전한 뒤 평행이동하면 회전된 점에 그대로 $2$ 칸 이동이 더해져 결과가 달라집니다.

$T_2(T_1(x,y)) = T_2(x+2, y) = (-y, x+2)$\\$T_1(T_2(x,y)) = T_1(-y, x) = (-y+2, x)$\\$(-y, x+2) \neq (-y+2, x) \;\Rightarrow\; \text{교환 X}$

💡 6학년 "두 식이 모든 값에서 같은가" 점검 — 식 자체가 다르므로 어떤 $(x,y)$ 를 넣어도 같아질 수 없습니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.4 단계 4

쌍 $\{1,3\}$ — 평행이동과 $x$ 축 대칭.
평행이동은 $x$ 만, 대칭은 $y$ 만 건드리므로 서로 다른 좌표를 만지작거립니다.
순서를 바꿔도 영향이 없을 수밖에 없고, 대수로도 확인됩니다.

$T_3(T_1(x,y)) = T_3(x+2, y) = (x+2, -y)$\\$T_1(T_3(x,y)) = T_1(x, -y) = (x+2, -y)$\\$\text{같음} \;\Rightarrow\; \text{교환 O}$

💡 서로 독립적인 좌표에 작용하는 두 연산은 항상 교환됩니다 — 왼쪽 양말과 오른쪽 신발을 신는 순서를 바꿔도 결과가 같은 것과 같습니다.

#13 대수로 바꾸기 8.G.A.3 단계 5

쌍 $\{1,4\}$ — 평행이동과 확대.
원점 중심 확대는 평행이동 벡터까지 함께 늘리지만, 순수 평행이동은 늘리지 않으니 순서가 결과를 바꿉니다.

$T_4(T_1(x,y)) = T_4(x+2, y) = (2x+4, 2y)$\\$T_1(T_4(x,y)) = T_1(2x, 2y) = (2x+2, 2y)$\\$(2x+4, 2y) \neq (2x+2, 2y) \;\Rightarrow\; \text{교환 X}$

💡 원점 중심 확대는 $2$ 칸 이동도 똑같이 늘려서 $4$ 칸으로 만듭니다. 평행이동에는 그런 "이중 확대" 기회가 없어요.

#13 대수로 바꾸기 8.G.A.3 단계 6

쌍 $\{2,3\}$ — 반시계방향 $90^{\circ}$ 회전과 $x$ 축 대칭.
둘 다 두 좌표를 모두 건드리므로 직관만으로는 단정할 수 없고, 직접 계산합니다.

$T_3(T_2(x,y)) = T_3(-y, x) = (-y, -x)$\\$T_2(T_3(x,y)) = T_2(x, -y) = (-(-y), x) = (y, x)$\\$(-y, -x) \neq (y, x) \;\Rightarrow\; \text{교환 X}$

💡 기하적으로는 회전-대칭과 대칭-회전이 각각 다른 직선에 대한 두 대칭이 되므로 결과가 다릅니다.

#13 대수로 바꾸기 8.G.A.3 단계 7

쌍 $\{2,4\}$ — 회전과 원점 중심 확대.
둘 다 원점을 고정점으로 두고, 회전은 좌표를 자리바꿈하고 부호만 뒤집을 뿐 확대는 모든 좌표에 $2$ 를 균일하게 곱하므로 순서가 무관합니다.
대수로도 확인됩니다.

$T_4(T_2(x,y)) = T_4(-y, x) = (-2y, 2x)$\\$T_2(T_4(x,y)) = T_2(2x, 2y) = (-2y, 2x)$\\$\text{같음} \;\Rightarrow\; \text{교환 O}$

💡 상수 배와 좌표 자리바꿈은 순서를 자유롭게 바꿀 수 있습니다 — $2$ 배가 회전 사이를 미끄러져 통과한다고 생각하면 됩니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.3 단계 8

쌍 $\{3,4\}$ — $x$ 축 대칭과 원점 중심 확대.
대칭은 $y$ 에 $-1$ 을 곱하고 확대는 두 좌표 모두에 $2$ 를 곱합니다.
$-1$ 과 $2$ 의 곱은 순서를 바꿔도 같으므로 두 변환의 순서도 무관합니다.

$T_4(T_3(x,y)) = T_4(x, -y) = (2x, -2y)$\\$T_3(T_4(x,y)) = T_3(2x, 2y) = (2x, -2y)$\\$\text{같음} \;\Rightarrow\; \text{교환 O}$

💡 좌표별로 보면 $y$ 에 $\times(-1)$, 두 좌표에 $\times 2$ 뿐 — 6학년 곱셈의 성질대로 상수 곱은 순서를 바꿀 수 있습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 9

교환되는 쌍을 셉니다.
위의 여섯 줄에서 "교환 O" 로 표시된 쌍은 $\{1,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}$ — $6$ 쌍 중 $3$ 쌍입니다.

$$\text{교환되는 쌍} = \{\{1,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}\}, \;\; \text{개수} = 3 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 각 줄을 "교환 O / X" 로 표시한 뒤 "O" 의 개수를 세는 것은 4학년 "규칙에 맞는 항목 세기" 그대로입니다.

[1] #13 8.G.A.3 각 변환을 좌표식으로 옮깁니다. 기하적 설명을 그대로 읽으면 됩니다: 오른쪽 평행이동은 $x$ 에 $2$ 를 더하고, 반시계방향 $90^{\ci

[2] #2 7.SP.C.8 $6$ 쌍을 빠짐없이 적습니다. 네 변환 $T_1, T_2, T_3, T_4$ 에서 (작은 번호 먼저) 쌍은 $(T_1,T_2), (T_1,T_

[3] #13 6.EE.A.4 쌍 $\{1,2\}$ — 평행이동과 회전. 두 순서로 합성한 결과가 두 좌표 모두에서 다르므로 교환되지 않습니다. 기하적으로는, 먼저 평행이동하

[4] #13 6.EE.A.4 쌍 $\{1,3\}$ — 평행이동과 $x$ 축 대칭. 평행이동은 $x$ 만, 대칭은 $y$ 만 건드리므로 서로 다른 좌표를 만지작거립니다. 순서

[5] #13 8.G.A.3 쌍 $\{1,4\}$ — 평행이동과 확대. 원점 중심 확대는 평행이동 벡터까지 함께 늘리지만, 순수 평행이동은 늘리지 않으니 순서가 결과를 바꿉

[6] #13 8.G.A.3 쌍 $\{2,3\}$ — 반시계방향 $90^{\circ}$ 회전과 $x$ 축 대칭. 둘 다 두 좌표를 모두 건드리므로 직관만으로는 단정할 수 없

[7] #13 8.G.A.3 쌍 $\{2,4\}$ — 회전과 원점 중심 확대. 둘 다 원점을 고정점으로 두고, 회전은 좌표를 자리바꿈하고 부호만 뒤집을 뿐 확대는 모든 좌표

[8] #13 6.EE.A.3 쌍 $\{3,4\}$ — $x$ 축 대칭과 원점 중심 확대. 대칭은 $y$ 에 $-1$ 을 곱하고 확대는 두 좌표 모두에 $2$ 를 곱합니다.

[9] #2 4.OA.C.5 교환되는 쌍을 셉니다. 위의 여섯 줄에서 "교환 O" 로 표시된 쌍은 $\{1,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}$ — $6$ 쌍 중 $3$

검토

합리성 확인: 교환되는 쌍 각각을 구체적인 점으로 다시 확인해 봅시다. $(x,y) = (3, 5)$. 쌍 $\{1,3\}$: $T_3 \circ T_1$ 은 $(5, -5)$, $T_1 \circ T_3$ 도 $(5, -5)$ — 일치. 쌍 $\{2,4\}$: $T_4 \circ T_2$ 는 $(-10, 6)$, $T_2 \circ T_4$ 도 $(-10, 6)$ — 일치. 쌍 $\{3,4\}$: $T_4 \circ T_3$ 는 $(6, -10)$, $T_3 \circ T_4$ 도 $(6, -10)$ — 일치. 교환되지 않는다고 한 $\{1,2\}$ 도 점검: $T_2 \circ T_1$ 은 $(-5, 5)$ 인데 $T_1 \circ T_2$ 는 $(-3, 3)$ — 분명히 다릅니다. 수치 점검과 대수 결과 모두 $3$ 쌍으로 일치.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 / 여사건): 어떤 쌍이 교환되는지 묻는 대신, 평행이동 $T_1$ 이 어떻게 "늘어나는지" 의 관점에서 봅시다. $T_1$ 은 원점을 고정점으로 두지 않는 유일한 변환입니다. 회전이나 확대와 결합하면 평행이동 벡터까지 함께 회전/확대되므로 $\{T_1, T_2\}, \{T_1, T_4\}$ 는 실패하고, $T_3$ 는 $x$ 축 방향(평행이동의 방향)을 보존하므로 $\{T_1, T_3\}$ 만 살아남습니다. 즉 $T_1$ 이 들어간 $3$ 쌍 중 $1$ 쌍이 교환. 원점을 고정하는 나머지 $\{T_2, T_3, T_4\}$ 중에서는 확대 $T_4$ 가 선형 변환과 모두 교환되고, $T_2 \circ T_3$ vs $T_3 \circ T_2$ 는 서로 다른 두 직선에 대한 대칭이 되어 실패 — $\{2,3\}$ 실패, $\{2,4\}, \{3,4\}$ 성공으로 $2$ 쌍 추가. 합계 $1 + 2 = 3$ 쌍, 답 (C) 와 일치.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.3 확대, 평행이동, 회전, 대칭이 좌표 위 도형에 미치는 효과를 좌표로 기술하기 (각 변환을 $(x,y)$ 위의 좌표 규칙으로 옮기는 데 사용 — 평행이동은 $x$ 에 덧셈, $90^{\circ}$ 반시계 회전은 $(x,y) \to (-y,x)$, $x$ 축 대칭은 $y$ 의 부호 변경, $2$ 배 확대는 두 좌표에 $2$ 곱.)
6.EE.A.4 두 식이 모든 값에 대해 같은 수를 나타낼 때 동치임을 판별하기 (합성된 두 좌표식 $A(B(x,y))$ 와 $B(A(x,y))$ 가 모든 $(x,y)$ 에서 같은지 비교 — 식이 서로 다르면 그 쌍은 교환되지 않음.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 이용해 동치식 생성하기 ($2 \cdot (-y) = -2y = -(2y)$ 같이 합성 안의 상수 곱 순서를 바꿔 교환되는 쌍의 등식을 확정.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·나무 그림 등을 이용해 복합 사건의 경우 세기 ($\binom{4}{2} = 6$ 쌍을 번호 순으로 빠짐없이 한 번씩만 나열하는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따른 수·도형 패턴 만들기와 그 특징 파악 (나열된 목록에서 "교환 O" 표시가 붙은 쌍을 세어 최종 답 $3$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 작은 묶음에서 "규칙을 만족하는 것이 몇 개" 냐고 묻는 문제는 모든 경우를 빠짐없이 적고 하나씩 판정하기 — 그리고 기하 변환은 좌표식으로 옮겨두면 "순서를 바꿔도 같은가" 가 짧은 식 두 줄의 비교로 끝납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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