AMC 10 · 2024 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

area-trianglesarea-circlesangle-sum-triangleisosceles-triangle area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglesarea-circlespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

One side of an equilateral triangle of height $24$ lies on line $\ell$ . A circle of radius $12$ is tangent to line $\ l$ and is externally tangent to the triangle. The area of the region exterior to the triangle and the circle and bounded by the triangle, the circle, and line $\ell$ can be written as $a \sqrt{b} - c \pi$ , where $a$ , $b$ , and $c$ are positive integers and $b$ is not divisible by the square of any prime. What is $a + b + c$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~72

(B)

~73

(C)

~74

(D)

~75

(E)

~76

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 높이 $24$ 인 정삼각형의 한 변이 직선 $\ell$ 위에 놓여 있습니다. 반지름 $12$ 의 원이 정삼각형과 같은 쪽에서 직선 $\ell$ 에 접하고, 정삼각형의 한 비스듬한 변에도 외접합니다. 정삼각형·원·직선이 만나는 꼭짓점 부근에서 세 도형 사이에 끼인 영역의 넓이가 $a\sqrt{b} - c\pi$ 꼴이며 $b$ 가 제곱인수 없는 수일 때, $a + b + c$ 를 구하세요.

주어진 것: 높이 $24$ 인 정삼각형, 한 변은 직선 $\ell$ 위; 반지름 $r = 12$ 인 원, 정삼각형과 같은 쪽에 위치; 원은 $\ell$ 에 접하고, 정삼각형의 비스듬한 변 하나에도 외접; 목표 영역은 정삼각형·원·직선 $\ell$ 로 둘러싸인 부분; 넓이를 $a\sqrt{b} - c\pi$ 꼴 ($a, b, c$ 양의 정수, $b$ 제곱인수 없는 수)로 나타냈을 때의 계수; 선택지: (A) $72$, (B) $73$, (C) $74$, (D) $75$, (E) $76$

구하는 것: $a + b + c$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

그림이 주어지지 않고 글로만 설명된 상황이므로 첫 수는 도구 #1(그림 그리기): 직선 $\ell$ 을 가로로 두고 그 위에 정삼각형을 얹은 뒤, 한쪽 꼭짓점 $C$ 바깥 쐐기 안에 원을 그립니다. 그러면 목표 영역이 "두 접선과 호 하나로 둘러싸인 쐐기 모양" 임이 분명해집니다. 이 쐐기는 자연스럽게 두 개의 작은 문제로 갈라집니다 (도구 #7): 꼭짓점·두 접점·중심을 잇는 연(凧) 모양 사각형과, 그 안에서 도려내야 할 부채꼴. 두 조각 모두 공식 하나로 끝나며, 빼주면 곧 $a\sqrt{b} - c\pi$ 가 나옵니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 7.G.B.6 단계 1

그림을 그리고 이름을 붙입니다.
정삼각형의 밑변을 $\ell$ 위에 두고 오른쪽 꼭짓점을 $C$ 라 합시다.
원은 $\ell$ 의 정삼각형 쪽에 있으면서 비스듬한 변 $CA$ 의 $C$ 근처에 붙어 있습니다.
$\ell$ 과의 접점을 $E$, 변 $CA$ 와의 접점을 $D$, 원의 중심을 $O$ 라 합시다.
목표 영역은 선분 $CE$ ($\ell$ 위), 선분 $CD$ (변 $CA$ 위), 호 $DE$ (원 위)로 둘러싸여 있고, 이는 사각형 $ODCE$ 에서 부채꼴 $ODE$ 를 도려낸 모양입니다.

$$\text{목표 넓이} \;=\; \text{사각형}(ODCE) \;-\; \text{부채꼴}(ODE)$$

💡 네 핵심 점에 이름을 붙이는 순간, 막연한 영역이 7학년의 "다각형 빼기 원의 일부" 분해로 또렷해집니다.

#1 그림 그리기 7.G.B.5 단계 2

$C$ 의 쐐기 각도를 읽습니다.
정삼각형의 $C$ 내각이 $60^\circ$ 이므로, 변 $CA$ 의 반대편에서 원을 품는 쐐기각은 $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
대칭으로 중심 $O$ 는 이 $120^\circ$ 의 이등분선 위에 있어 두 개의 $60^\circ$ 로 갈라집니다.
따라서 $\angle OCE = 60^\circ$.

$$\angle DCE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ, \quad \angle OCE = \tfrac{1}{2}(120^\circ) = 60^\circ$$

💡 직선 위의 보각, 그리고 접선 두 개에 외접하는 원의 중심이 각의 이등분선 위에 있다는 사실은 7학년 각 성질입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

작은 문제 A: 연 모양 $ODCE$.
접점에 그은 반지름 $OE$, $OD$ 가 접선과 수직이므로 $\triangle OEC$ 는 $E$ 에서 직각, $OE = 12$, $\angle OCE = 60^\circ$ — 즉 $30$-$60$-$90$ 직각삼각형입니다.
변의 표준 비 $1 : \sqrt{3} : 2$ 에서 $60^\circ$ 마주 변은 $30^\circ$ 마주 변의 $\sqrt{3}$ 배이므로, $OE = 12$ ($60^\circ$ 마주)에서 $CE = 12/\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ ($30^\circ$ 마주).
같은 직각삼각형 두 개($\triangle OEC$, $\triangle ODC$)가 연을 이룹니다.

$$CE = \dfrac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}, \quad \text{사각형}(ODCE) = 2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot CE \cdot OE = 2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 12 = 48\sqrt{3}$$

💡 8학년 피타고라스에서 따라오는 $30$-$60$-$90$ 비 $1 : \sqrt{3} : 2$ 가, 알고 있는 한 변을 다른 변으로 한 번에 바꿔줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.5 단계 4

작은 문제 B: 부채꼴 $ODE$.
사각형 $ODCE$ 의 네 내각 합은 $360^\circ$.
두 접점의 직각 $\angle ODC = \angle OEC = 90^\circ$, 쐐기각 $\angle DCE = 120^\circ$, 남은 하나가 중심각 $\angle DOE$ 입니다.

$$\angle DOE = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

💡 사각형 내각 합 $360^\circ$ 는 "한 점 둘레 한 바퀴" 의 짝꿍 — 7학년 각 정리의 표준 회계 처리입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 5

부채꼴 넓이 공식을 적용합니다.
반지름 $r$, 중심각 $\theta^\circ$ 인 부채꼴의 넓이는 $\tfrac{\theta}{360}\pi r^2$.
여기서 $\theta = 60$, $r = 12$ 이므로 전체 원의 $\tfrac{1}{6}$ 입니다.

$$\text{부채꼴}(ODE) = \dfrac{60}{360}\pi (12)^2 = \dfrac{1}{6}\cdot 144\pi = 24\pi$$

💡 부채꼴 공식은 7학년의 원 넓이 $A = \pi r^2$ 에 각도 비율 $\theta/360$ 을 곱한 것일 뿐입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 6

빼고 답 꼴과 맞춥니다.
목표 넓이는 연에서 부채꼴을 뺀 값.
$a\sqrt{b} - c\pi$ 와 비교하면 $a = 48$, $b = 3$, $c = 24$.
$b = 3$ 은 제곱인수 없는 수 조건을 만족하고, $a, b, c$ 모두 양의 정수입니다.
더합니다.

$$\text{목표} = 48\sqrt{3} - 24\pi \;\Rightarrow\; a + b + c = 48 + 3 + 24 = 75 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $a\sqrt{b} - c\pi$ 꼴에서 계수를 짚어내는 일은 6학년 "식의 부분 알아보기" 그대로, 그 다음은 덧셈.

[1] #1 7.G.B.6 그림을 그리고 이름을 붙입니다. 정삼각형의 밑변을 $\ell$ 위에 두고 오른쪽 꼭짓점을 $C$ 라 합시다. 원은 $\ell$ 의 정삼각형 쪽에

[2] #1 7.G.B.5 $C$ 의 쐐기 각도를 읽습니다. 정삼각형의 $C$ 내각이 $60^\circ$ 이므로, 변 $CA$ 의 반대편에서 원을 품는 쐐기각은 $180^

[3] #7 8.G.B.7 작은 문제 A: 연 모양 $ODCE$. 접점에 그은 반지름 $OE$, $OD$ 가 접선과 수직이므로 $\triangle OEC$ 는 $E$ 에서

[4] #7 7.G.B.5 작은 문제 B: 부채꼴 $ODE$. 사각형 $ODCE$ 의 네 내각 합은 $360^\circ$. 두 접점의 직각 $\angle ODC = \an

[5] #7 7.G.B.4 부채꼴 넓이 공식을 적용합니다. 반지름 $r$, 중심각 $\theta^\circ$ 인 부채꼴의 넓이는 $\tfrac{\theta}{360}\pi

[6] #7 6.EE.A.2 빼고 답 꼴과 맞춥니다. 목표 넓이는 연에서 부채꼴을 뺀 값. $a\sqrt{b} - c\pi$ 와 비교하면 $a = 48$, $b = 3$,

검토

합리성 확인: 크기 감각으로 확인합시다. $48\sqrt{3} \approx 48(1.732) \approx 83.1$, $24\pi \approx 75.4$ 이므로 목표 영역은 약 $7.7$ — 반지름 $12$ 원과 정삼각형의 $60^\circ$ 꼭짓점 사이에 끼인 얇은 주머니 크기로 자연스럽습니다. 두 접선 길이 $CE = CD = 4\sqrt{3} \approx 6.93$ 도 반지름 $12$ 보다 작아서, 접점이 $O$ 보다 $C$ 에 더 가까운 그림과 일치합니다. 정삼각형의 높이 $24$ 가 계산에 등장하지 않은 것도, 영역이 한 꼭짓점 근방의 국소 구조에만 의존한다는 점과 맞아떨어집니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 좁히기)을 답의 꼴 $a\sqrt{b} - c\pi$ 자체에 적용합니다. 중심각이 $60^\circ$ (반원의 $\tfrac{1}{3}$, 전체의 $\tfrac{1}{6}$ — $120^\circ$ 쐐기와 두 직각이 만드는 유일한 깔끔한 값)이라는 점만 받아들이면 $\pi$ 계수는 $\tfrac{60}{360}\cdot 144 = 24$ 로 강제되어 $c = 24$. $\sqrt{}$ 부분은 $30$-$60$-$90$ 에서 올 수밖에 없으므로 $b = 3$ 도 강제, $a$ 만 연 계산 한 번으로 $48$. 합치면 $a + b + c = 75$ 로 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 활용 (부채꼴 넓이를 $\tfrac{60}{360}\cdot \pi (12)^2 = 24\pi$ (전체 원의 $\tfrac{1}{6}$)로 계산.)
7.G.B.5 보각·여각·맞꼭지각·이웃각 성질로 여러 단계 문제 해결 (정삼각형의 $60^\circ$ 내각으로부터 꼭짓점 $C$ 의 외부 쐐기 $120^\circ$ 를 얻고, 사각형 내각 합으로 부채꼴의 중심각 $60^\circ$ 를 추출.)
7.G.B.6 삼각형·사각형·다각형으로 구성된 2차원 도형의 넓이 문제 해결 (목표 영역을 "연 $ODCE$ $-$ 부채꼴 $ODE$" 로 분해하고 각 조각의 넓이를 따로 계산.)
8.G.B.7 직각삼각형의 미지 변 길이를 피타고라스 정리로 구하기 (피타고라스의 직접 따름인 $30$-$60$-$90$ 변 비 $1 : \sqrt{3} : 2$ 로 반지름 $OE = 12$ 에서 접선 길이 $CE = 4\sqrt{3}$ 를 즉시 환산.)
6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산 (계산 결과 $48\sqrt{3} - 24\pi$ 를 꼴 $a\sqrt{b} - c\pi$ 에 맞춰 $a = 48$, $b = 3$, $c = 24$ 를 읽고 합하는 데 사용.)

⭐ 그림을 그리고 꼭짓점에서 "연 $+$ 부채꼴" 구조를 찾으면, 이 AMC 10 문제는 $30$-$60$-$90$ 직각삼각형 하나와 전체 원의 $\tfrac{1}{6}$ 부채꼴 하나로 끝나는 7-8학년 도형 문제입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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