AMC 10 · 2024 · #15

학년 8 number-theoryalgebra

perfect-squaresfactorsunits-digit-trackingsystematic-enumeration convert-to-algebraunits-digit-trackingcasework ↑ 선수 지식: perfect-squaresprime-factorizationmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Let $M$ be the greatest integer such that both $M+1213$ and $M+3773$ are perfect squares. What is the units digit of $M$ ?

$\textbf{(A) }1\qquad\textbf{(B) }2\qquad\textbf{(C) }3\qquad\textbf{(D) }6\qquad\textbf{(E) }8$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $M + 1213$ 과 $M + 3773$ 이 모두 완전제곱수가 되도록 하는 가장 큰 정수 $M$ 을 찾고, 그 $M$ 의 일의 자리를 구하세요.

주어진 것: 어떤 음이 아닌 정수 $a$ 에 대해 $M + 1213 = a^2$; 어떤 음이 아닌 정수 $b$ 에 대해 $M + 3773 = b^2$; $M$ 은 이 두 조건을 모두 만족하는 가장 큰 정수; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $6$, (E) $8$

구하는 것: $M$ 의 일의 자리 숫자

이해

문제 재정리: $M + 1213$ 과 $M + 3773$ 이 모두 완전제곱수가 되도록 하는 가장 큰 정수 $M$ 을 찾고, 그 $M$ 의 일의 자리를 구하세요.

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

"두 수가 모두 완전제곱수"라는 말은 미지의 두 제곱수와 그 사이의 고정된 차이를 가리키는 문장 — 정확히 도구 #13(대수로 바꾸기)의 신호입니다. 두 제곱수에 $a^2$, $b^2$ 이라는 이름을 붙이고 빼면 $M$ 이 사라지고, $b^2 - a^2 = 2560$ 인 정수 쌍 $(a,b)$ 문제로 바뀝니다. 제곱의 차는 $(b-a)(b+a) = 2560$ 으로 인수분해되어, 제곱수 문제가 "$2560$ 의 인수쌍 문제"로 변신합니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 깔끔하게 둘로 나눠줍니다 — 먼저 알맞은 인수쌍으로 $a$ 를 구하고($M$ 을 최대화하려면 가장 한쪽으로 치우친 쌍), 그다음 $a$ 에서 일의 자리 산수만 써서 $a^2 - 1213$ 의 일의 자리를 뽑아냅니다.

실행 — 정답: E

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 1

두 제곱수에 이름을 붙이고 빼서 $M$ 을 없앱니다.
$M + 1213 = a^2$, $M + 3773 = b^2$ 로 두고 두 식을 빼면 $M$ 이 소거되고 고정된 "제곱의 차"만 남습니다.

$$b^2 - a^2 = (M+3773) - (M+1213) = 2560$$

💡 "완전제곱수" 조건을 둘 다 식으로 쓰면 미지수 $M$ 을 깔끔히 지울 수 있어요 — 6학년 "문자가 수를 대신한다" 단계의 정석 동작입니다.

#13 대수로 바꾸기 6.NS.B.4 단계 2

제곱의 차를 인수분해합니다.
우변은 두 정수 $b-a$ 와 $b+a$ 의 곱이 됩니다.
두 수의 합은 $2b$, 차는 $2a$ 이므로 $b-a$ 와 $b+a$ 는 같은 홀짝성을 가져야 합니다.
곱 $2560$ 이 짝수이므로 둘 다 짝수여야 합니다.

$$(b-a)(b+a) = 2560, \quad b-a \equiv b+a \pmod 2$$

💡 제곱의 차는 가로 $b-a$, 세로 $b+a$ 인 ㄱ자 띠로 $b^2 - a^2$ 를 다시 배열한 것과 같은 대수 식입니다. 같은 홀짝성은 정수 인수분해의 공짜 제약조건입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 3

쪼개기 A: $M$ 을 최대로 만드는 인수쌍 고르기.
$a = \dfrac{(b+a) - (b-a)}{2}$ 에서, $a$ 는 두 짝수 인수가 가능한 한 서로 멀리 떨어질수록 커집니다.
곱이 $2560$ 으로 고정되어 있을 때, 짝수 $\times$ 짝수 중 가장 치우친 분할은 $2 \times 1280$.

$$b - a = 2, \quad b + a = 1280 \;\Rightarrow\; b = 641, \; a = 639$$

💡 곱이 정해져 있으면 두 수는 한쪽이 규칙이 허용하는 한 작아질 때 가장 멀리 떨어집니다. "짝수만" 이라는 조건이 작은 쪽 인수를 $1$ 이 아닌 $2$ 까지만 내려가게 묶어줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.1 단계 4

쪼개기 B: $M = a^2 - 1213$ 의 일의 자리 구하기.
$a^2 = 639^2$ 의 일의 자리는 $a$ 의 일의 자리 $9$ 에만 달려 있고, $9^2 = 81$ 의 끝자리는 $1$.
거기서 $1213$ 의 끝자리 $3$ 을 빼면 됩니다 (모듈로 $10$).

$$M \equiv a^2 - 1213 \equiv 9^2 - 3 \equiv 1 - 3 \equiv -2 \equiv 8 \pmod{10} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 일의 자리는 일의 자리만으로 결정됩니다 — 모듈로 $10$ 산수가 존재하는 바로 그 이유. $639^2 = 408{,}321$ 을 전부 계산할 필요가 없습니다.

[1] #13 6.EE.A.2 두 제곱수에 이름을 붙이고 빼서 $M$ 을 없앱니다. $M + 1213 = a^2$, $M + 3773 = b^2$ 로 두고 두 식을 빼면 $M

[2] #13 6.NS.B.4 제곱의 차를 인수분해합니다. 우변은 두 정수 $b-a$ 와 $b+a$ 의 곱이 됩니다. 두 수의 합은 $2b$, 차는 $2a$ 이므로 $b-a$

[3] #7 4.OA.B.4 쪼개기 A: $M$ 을 최대로 만드는 인수쌍 고르기. $a = \dfrac{(b+a) - (b-a)}{2}$ 에서, $a$ 는 두 짝수 인수가

[4] #7 8.EE.A.1 쪼개기 B: $M = a^2 - 1213$ 의 일의 자리 구하기. $a^2 = 639^2$ 의 일의 자리는 $a$ 의 일의 자리 $9$ 에만 달

검토

합리성 확인: 끝에서 끝까지 대수로 한 번 더 확인합시다. $a = 639$ 이면 $M = 639^2 - 1213 = 408{,}321 - 1{,}213 = 407{,}108$, 그 일의 자리는 정말 $8$. 다른 조건도 점검: $M + 3773 = 407{,}108 + 3{,}773 = 410{,}881 = 641^2$. 두 조건 모두 만족하고 일의 자리는 (E) 와 일치. 최대성 확인: $2560$ 의 다른 짝수 인수쌍 — 예를 들어 $4 \times 640$ — 은 $a = 318 < 639$ 라 $M$ 이 더 작아지므로 $2 \times 1280$ 이 최적임이 확인됩니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): $b - a = 2$ 와 $b + a = 1280$ 으로 $a = 639$ 가 정해진 뒤, 다섯 일의 자리 선택지 중 답을 고르는 데 모듈러 산수 전체가 필요한 것은 아닙니다. $639^2$ 을 $(640-1)^2 = 640^2 - 2 \cdot 640 + 1$ 로 머릿셈해 보면 일의 자리는 $0 - 0 + 1 = 1$. 거기서 $1213$ 의 끝자리 $3$ 을 빼면 $1 - 3 \equiv 8$ 이 되어 (A)-(D) 가 모두 제거됩니다. 같은 답 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (두 완전제곱수에 $a^2$, $b^2$ 이라는 이름을 붙여 빼면 미지수 $M$ 이 사라지고 $b^2 - a^2 = 2560$ 만 남도록 식을 세우는 데 사용.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($(b-a)(b+a) = 2560$ 을 인수쌍 문제로 다루고, 홀짝성을 이용해 가능한 쌍을 짝수$\times$짝수로 제한하는 데 사용.)
4.OA.B.4 1-100 범위 자연수의 모든 인수쌍 구하기; 주어진 한 자리 수의 배수인지 판단하기 ($2560$ 의 가장 치우친 짝수 인수쌍 $2 \times 1280$ 을 골라 $a = (b+a - (b-a))/2$ 를 최대로 만드는 데 사용.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 적용하기 ($639^2$ 의 일의 자리는 $639$ 의 일의 자리만으로 결정된다는 사실을 써서 $639^2 \equiv 9^2 \equiv 1 \pmod{10}$ 로 줄이고, $1213 \equiv 3 \pmod{10}$ 을 빼서 일의 자리 $8$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 두 완전제곱수의 차이가 고정되어 있을 때는 그 차이를 인수분해하세요 — 고른 인수쌍이 곧 $b - a = x$, $b + a = y$ 라는 연립방정식이 되어 두 제곱근을 한 번에 풀어줍니다. 한쪽으로 치우친 쌍일수록 제곱수가 더 커집니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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