AMC 10 · 2024 · #16

학년 8 geometry-2dalgebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints

similar-figuresarea-rectanglesratio-proportionexponents convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglessimilar-figuresexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

All of the rectangles in the figure below, which is drawn to scale, are similar to the enclosing rectangle. Each number represents the area of the rectangle. What is length $AB$ ?

$\textbf{(A) }4+4\sqrt5\qquad\textbf{(B) }10\sqrt2\qquad\textbf{(C) }5+5\sqrt5\qquad\textbf{(D) }10\sqrt[4]{8}\qquad\textbf{(E) }20$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$4+4\sqrt5$

(B)

$10\sqrt2$

(C)

$5+5\sqrt5$

(D)

$10\sqrt[4]{8}$

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 큰 직사각형이 작은 직사각형들로 빈틈없이 덮여 있고, 모든 작은 직사각형은 큰 직사각형과 닮음입니다. 각 작은 직사각형에는 넓이가 표시되어 있습니다. 큰 직사각형의 윗변 $AB$ 의 길이를 구하세요.

주어진 것: 그림 속 모든 직사각형은 큰 직사각형과 닮음; 표시된 넓이들: $1, 8, 16, 18, 25, 32, 36, 49$ (그리고 큰 직사각형); 그림에서 윗변 $AB$ 는 넓이 $32, 25, 49$ 인 직사각형들의 가로 변을 합한 길이; 아랫변은 넓이 $36, 16, 8, 18$ 인 직사각형들의 가로 변을 합한 길이; 선택지: (A) $4+4\sqrt5$, (B) $10\sqrt2$, (C) $5+5\sqrt5$, (D) $10\sqrt[4]{8}$, (E) $20$

구하는 것: 윗변 $AB$ 의 길이

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

여덟 개의 다른 넓이가 모두 "같은 모양" 을 공유한다는 설정은 도구 #13(대수로 바꾸기)의 전형적 신호입니다. 넓이 $1$ 직사각형의 짧은 변과 긴 변에 $x$, $y$ 라는 이름만 붙이면, 넓이 $A$ 인 직사각형의 변은 자동으로 $x\sqrt{A}$, $y\sqrt{A}$. 모든 길이가 $(x, y)$ 식이 되니까 그림은 "윗변 = 아랫변" 이라는 단 하나의 식으로 줄어들고, 그 식이 비 $y/x$ 를 못 박아 줍니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 작업을 깔끔히 단계로 나눠줍니다 — (A) 변의 등식에서 비 구하기, (B) $xy = 1$ 에서 $x, y$ 구하기, (C) 윗변 식에 다시 대입해 $AB$ 계산. 단계별로 보면 모두 짧습니다.

실행 — 정답: D

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 1

넓이 $1$ 직사각형의 변에 이름을 붙입니다.
짧은 변을 $x$, 긴 변을 $y$ 라 하면 $xy = 1$.
모든 직사각형이 닮음이므로, 넓이 $A$ 인 직사각형의 짧은 변은 $x\sqrt{A}$, 긴 변은 $y\sqrt{A}$.

$$xy = 1, \qquad \text{넓이 } A \text{ 직사각형의 변} = (x\sqrt{A},\; y\sqrt{A})$$

💡 넓이는 길이의 제곱에 비례하므로 "넓이의 제곱근" 이 적절한 길이 단위입니다. 문자 두 개 $x, y$ 만으로 그림 속 모든 변을 한 번에 표현할 수 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.A.1 단계 2

윗변 $AB$ 를 합으로 나타냅니다.
그림에서 $AB$ 는 넓이 $32, 25, 49$ 인 직사각형들의 가로 길이의 합.
넓이 $32$ 인 직사각형은 긴 변이 가로 방향이라 $y\sqrt{32} = 4\sqrt{2}\,y$, 넓이 $25$ 와 $49$ 인 직사각형은 짧은 변이 가로 방향이라 각각 $x\sqrt{25} = 5x$, $x\sqrt{49} = 7x$ 를 기여합니다.

$$AB = y\sqrt{32} + x\sqrt{25} + x\sqrt{49} = 4\sqrt{2}\,y + 12x$$

💡 축척에 맞게 그려진 그림에서 방향을 읽어내는 것은 7학년 "축척 그림 다루기" 의 핵심 — 어떤 변이 가로인지 그림이 직접 알려줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.A.1 단계 3

아랫변도 같은 방식.
넓이 $36, 16, 8, 18$ 인 직사각형들을 가로지릅니다.
넓이 $36, 16$ 은 짧은 변이 가로 방향($6x, 4x$), 넓이 $8, 18$ 은 긴 변이 가로 방향($2\sqrt{2}\,y, 3\sqrt{2}\,y$).

$$\text{아랫변} = 6x + 4x + 2\sqrt{2}\,y + 3\sqrt{2}\,y = 10x + 5\sqrt{2}\,y$$

💡 반대편 변에서 같은 방식 — 아래쪽 네 직사각형이 네 개의 길이 기여로 깔끔히 갈라집니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 4

윗변과 아랫변이 같다는 등식으로 비 $y/x$ 를 구합니다.
두 식 모두 큰 직사각형의 같은 가로 길이를 표현하므로, 같다고 놓고 정리합니다.

$$4\sqrt{2}\,y + 12x = 10x + 5\sqrt{2}\,y \;\Rightarrow\; 2x = \sqrt{2}\,y \;\Rightarrow\; \dfrac{y}{x} = \sqrt{2}$$

💡 $x$ 항은 한쪽, $y$ 항은 다른 쪽으로 모은 뒤 나누기. 6학년의 일차방정식 — 단 하나 새로운 점은 결과가 무리수라는 점입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 5

$y = x\sqrt{2}$ 와 $xy = 1$ 을 결합해 $x, y$ 를 구합니다.

$$x(x\sqrt{2}) = 1 \;\Rightarrow\; x^2 = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}, \quad y = x\sqrt{2} = \sqrt[4]{2}$$

💡 $1/\sqrt{2}$ 의 제곱근은 $1/2$ 의 네제곱근. 8학년 지수 법칙이 근호를 깔끔한 $2$ 의 분수 거듭제곱으로 바꿔줍니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.1 단계 6

$x = 2^{-1/4}$, $y = 2^{1/4}$ 를 윗변 식 $AB = 4\sqrt{2}\,y + 12x$ 에 다시 대입합니다.

$$AB = 4\sqrt{2}\,(2^{1/4}) + 12\,(2^{-1/4}) = 4 \cdot 2^{3/4} + 6 \cdot 2^{3/4} = 10 \cdot 2^{3/4} = 10\sqrt[4]{8} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $12/2^{1/4}$ 의 분자·분모에 $2^{3/4}$ 을 곱해 근호를 풀면, 두 항이 모두 공통 인수 $2^{3/4}$ 로 묶입니다.

[1] #13 6.EE.A.2 넓이 $1$ 직사각형의 변에 이름을 붙입니다. 짧은 변을 $x$, 긴 변을 $y$ 라 하면 $xy = 1$. 모든 직사각형이 닮음이므로, 넓이

[2] #7 7.G.A.1 윗변 $AB$ 를 합으로 나타냅니다. 그림에서 $AB$ 는 넓이 $32, 25, 49$ 인 직사각형들의 가로 길이의 합. 넓이 $32$ 인 직사

[3] #7 7.G.A.1 아랫변도 같은 방식. 넓이 $36, 16, 8, 18$ 인 직사각형들을 가로지릅니다. 넓이 $36, 16$ 은 짧은 변이 가로 방향($6x, 4

[4] #13 6.EE.B.7 윗변과 아랫변이 같다는 등식으로 비 $y/x$ 를 구합니다. 두 식 모두 큰 직사각형의 같은 가로 길이를 표현하므로, 같다고 놓고 정리합니다.

[5] #7 8.EE.A.2 $y = x\sqrt{2}$ 와 $xy = 1$ 을 결합해 $x, y$ 를 구합니다.

[6] #13 8.EE.A.1 $x = 2^{-1/4}$, $y = 2^{1/4}$ 를 윗변 식 $AB = 4\sqrt{2}\,y + 12x$ 에 다시 대입합니다.

검토

합리성 확인: 비 $k = \sqrt{2}$ 는 그 유명한 $\text{A4}$ 용지의 비 — 자기 자신과 닮은 직사각형으로 타일링할 수 있는 바로 그 비율입니다. 이건 강한 합리성 신호입니다. 수치로는 $10\sqrt[4]{8} \approx 10 \cdot 1.6818 \approx 16.82$ 이고, 다른 선택지 (B) $10\sqrt{2} \approx 14.1$ 과 (E) $20$ 사이에 잘 들어맞습니다. 또 같은 $x, y$ 로 아랫변을 계산하면 $10x + 5\sqrt{2}\,y = 10 \cdot 2^{-1/4} + 5\sqrt{2}\cdot 2^{1/4} = 6 \cdot 2^{3/4} + 4 \cdot 2^{3/4} = 10 \cdot 2^{3/4}$ — 동일한 값이 나와 등식 설정이 일관적임을 확인합니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) + 측정: 그림이 축척에 맞게 그려져 있으므로, 인쇄된 그림에서 $AB$ 와 (예를 들어) 넓이 $36$ 직사각형의 한 변을 자로 재서 비를 구한 뒤 $\sqrt{36} = 6$ 에 적절한 변의 길이를 곱해 환산할 수 있습니다. 자로 재면 $\approx 16.8$ 이 나와 $10\sqrt[4]{8}$ 과 일치하고, 다른 선택지들($\approx 12.9, 14.1, 16.2, 20$) 과는 어긋납니다. 대수가 막혔을 때 시험장에서 답 후보를 거를 수 있는 방법입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (넓이 $1$ 직사각형의 변을 $x, y$ 로 명명해서 모든 직사각형의 변을 $x\sqrt{A}, y\sqrt{A}$ 로 통일된 형태로 쓸 수 있게 하는 데 사용.)
7.G.A.1 축척 그림을 활용한 도형 문제 해결 (각 작은 직사각형의 방향(짧은 변이 가로인지 긴 변이 가로인지)을 축척 그림에서 그대로 읽어, 윗변·아랫변을 길이의 합으로 적는 데 사용.)
6.EE.B.7 $x+p=q$, $px=q$ 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 (윗변 $=$ 아랫변 등식을 정리해 한 변수 방정식으로 만들고 $\dfrac{y}{x} = \sqrt{2}$ 를 얻는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 $x^2=p$, $x^3=p$ 형태의 방정식의 해 나타내기 ($x^2 = 1/\sqrt{2}$ 를 풀어 $x = 2^{-1/4}, y = 2^{1/4}$ 를 얻는 데 사용 — 8학년 제곱근/분수 거듭제곱 다루기.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 적용하기 ($2^{1/2} \cdot 2^{1/4} = 2^{3/4}$ 와 $1/2^{1/4} = 2^{-1/4}$ 를 이용해 $AB$ 의 두 항을 공통 인수 $10 \cdot 2^{3/4} = 10\sqrt[4]{8}$ 로 묶는 데 사용.)

⭐ 닮은 직사각형들은 변의 비 $k$ 하나를 공유합니다. 단위 직사각형의 변을 $x, y$ 로 명명하면 그림 속 모든 길이가 $x$ 와 $y$ 의 배수로 정리되고, 큰 직사각형의 마주 보는 두 변이 같다는 한 줄 식이 $k = \sqrt{2}$ — A4 용지와 똑같은 비 — 를 못 박아 줍니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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