AMC 10 · 2024 · #17

학년 8 probabilityalgebra

probability-basicsystematic-enumerationlinear-equations-one-var systematic-enumerationcaseworkconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basicfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Two teams are in a best-two-out-of-three playoff: the teams will play at most $3$ games, and the winner of the playoff is the first team to win $2$ games. The first game is played on Team A's home field, and the remaining games are played on Team B's home field. Team A has a $\frac{2}{3}$ chance of winning at home, and its probability of winning when playing away from home is $p$ . Outcomes of the games are independent. The probability that Team A wins the playoff is $\frac{1}{2}$ . Then $p$ can be written in the form $\frac{1}{2}(m - \sqrt{n})$ , where $m$ and $n$ are positive integers. What is $m + n$ ?

$\textbf{(A) } 10 \qquad \textbf{(B) } 11 \qquad \textbf{(C) } 12 \qquad \textbf{(D) } 13 \qquad \textbf{(E) } 14$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 판 두 선승제 플레이오프에서 1차전은 A팀 홈(승률 $\tfrac{2}{3}$), 2·3차전은 B팀 홈(A팀의 원정 승률 $p$)에서 진행됩니다. 각 경기 결과는 독립이고, 어느 한 팀이 $2$ 승을 거두는 순간 시리즈가 끝납니다. A팀이 플레이오프에서 우승할 확률이 $\tfrac{1}{2}$ 이고 $p$ 가 $\tfrac{1}{2}(m - \sqrt{n})$ 의 형태로 (양의 정수 $m, n$) 표현될 때, $m + n$ 을 구하세요.

주어진 것: $P(\text{A가 1차전 승}) = \tfrac{2}{3}$ (홈), 따라서 $P(\text{B가 1차전 승}) = \tfrac{1}{3}$; $P(\text{A가 2차전 승}) = P(\text{A가 3차전 승}) = p$ (원정), 따라서 각 경기에서 $P(\text{B 승}) = 1 - p$; 각 경기는 독립이며, 한 팀이 $2$ 승을 한 순간 시리즈 종료; $P(\text{A 플레이오프 우승}) = \tfrac{1}{2}$; $p = \tfrac{1}{2}(m - \sqrt{n})$, $m, n$ 은 양의 정수; 선택지: (A) $10$, (B) $11$, (C) $12$, (D) $13$, (E) $14$

구하는 것: 정수 $m$, $n$ 과 그 합 $m + n$

이해

계획

주요 도구: #2 정리된 목록 만들기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

세 판 두 선승제는 가능한 경기 진행이 매우 적습니다. 그래서 도구 #2(정리된 목록 만들기)가 첫 수입니다 — A가 B보다 먼저 $2$ 승을 거두는 경기 순서를 빠짐없이 적고, 거기서 멈춥니다. 손으로 셀 만한 길이라 세 가지 — $AA$, $ABA$, $BAA$ — 가 전부입니다. 각 순서의 확률을 $p$ 의 식으로 쓰고 나면 도구 #13(대수로 바꾸기)이 이어받습니다: 세 확률을 더해 $\tfrac{1}{2}$ 과 같다고 놓으면 $p$ 에 대한 이차방정식이 나옵니다. 이차방정식의 두 근 중 $[0,1]$ 밖의 것은 도구 #3(가능성 지우기)으로 떨어내고, $p = \tfrac{1}{2}(4 - \sqrt{10})$ 만 남깁니다 — 문제가 요구한 형태와 정확히 맞습니다.

실행 — 정답: E

#2 정리된 목록 만들기 7.SP.C.8 단계 1

A팀이 우승하는 경기 진행 순서를 빠짐없이 적습니다.
어느 한 팀이 $2$ 승을 거두는 순간 시리즈가 끝나므로, 모든 순서는 A의 두 번째 승리로 끝나야 합니다.
A의 승리를 $A$, B의 승리를 $B$ 라 쓰면 A가 먼저 끝낼 수 있는 경우는 $AA$ (스윕), $ABA$ ($2$ 차전 패 후 $3$ 차전 승), $BAA$ ($1$ 차전 패 후 $2$·$3$ 차전 승) 세 가지.
$1$ 차전이나 $2$ 차전 결과가 서로 달라 모두 배반 사건입니다.

$$\text{A의 우승 경기 순서: } \{AA,\; ABA,\; BAA\}$$

💡 7학년 "정리된 목록으로 복합 사건 다루기": 표본공간이 작을 때는 머리로 세지 말고 직접 적어 두는 것이 안전합니다.

#2 정리된 목록 만들기 7.SP.C.8 단계 2

각 순서에 확률을 붙입니다.
$1$ 차전은 A의 홈이므로 $P(A) = \tfrac{2}{3}$, $P(B) = \tfrac{1}{3}$.
$2$·$3$ 차전은 B의 홈이므로 각 경기마다 $P(A) = p$, $P(B) = 1 - p$.
독립이므로 곱하기.

$$P(AA) = \tfrac{2}{3} \cdot p = \tfrac{2p}{3}, \quad P(ABA) = \tfrac{2}{3}\cdot(1-p)\cdot p = \tfrac{2p(1-p)}{3}, \quad P(BAA) = \tfrac{1}{3}\cdot p \cdot p = \tfrac{p^2}{3}$$

💡 각 경기 결과가 독립이라 한 순서의 확률은 경기별 확률의 곱 — 7학년의 표준 복합 사건 처리입니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 3

세 경우의 확률을 더해 $\tfrac{1}{2}$ 과 같다고 놓습니다.
양변에 $6$ 을 곱해 분모를 없애고 표준 이차식 형태로 정리합니다.

$$\tfrac{2p}{3} + \tfrac{2p(1-p)}{3} + \tfrac{p^2}{3} = \tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; 4p + 4p - 4p^2 + 2p^2 = 3 \;\Rightarrow\; 2p^2 - 8p + 3 = 0$$

💡 6학년의 "상황을 식으로 옮겨 풀기" 그대로: 확률 조건을 미지수 $p$ 에 대한 한 개의 방정식으로 번역합니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 4

이차방정식 $2p^2 - 8p + 3 = 0$ 을 근의 공식으로 풉니다.
판별식 안에서 $40 = 4 \cdot 10$ 이라 $2$ 가 근호 밖으로 빠져나옵니다.

$$p = \dfrac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} = \dfrac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \dfrac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \dfrac{4 \pm \sqrt{10}}{2}$$

💡 8학년의 제곱근 간단히 하기: $\sqrt{40} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{10} = 2\sqrt{10}$ 으로 근호를 줄여야 문제가 요구한 형태가 드러납니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.8 단계 5

확률이 될 수 없는 근을 지웁니다.
$\sqrt{10} \approx 3.16$ 이므로 양의 근은 $p \approx \tfrac{4 + 3.16}{2} \approx 3.58 > 1$ — 확률로 불가능.
음의 근은 $p \approx \tfrac{4 - 3.16}{2} \approx 0.42$ — $[0,1]$ 안.

$$p = \dfrac{4 - \sqrt{10}}{2} = \tfrac{1}{2}(4 - \sqrt{10}) \;\Rightarrow\; m = 4,\; n = 10$$

💡 6학년의 "제약을 부등식으로 쓰기": $0 \le p \le 1$ 이라는 제약이 한 근을 떨어내고 다른 근을 확정합니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 6

$p = \tfrac{1}{2}(m - \sqrt{n})$ 와 형태를 맞춰 $m + n$ 을 읽어냅니다.

$$m + n = 4 + 10 = 14 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 같은 형태의 두 식을 비교해 $m$ 과 $n$ 을 읽어내는 것은 6학년 "문자가 수를 대신한다" 단계의 정석입니다.

[1] #2 7.SP.C.8 A팀이 우승하는 경기 진행 순서를 빠짐없이 적습니다. 어느 한 팀이 $2$ 승을 거두는 순간 시리즈가 끝나므로, 모든 순서는 A의 두 번째 승리

[2] #2 7.SP.C.8 각 순서에 확률을 붙입니다. $1$ 차전은 A의 홈이므로 $P(A) = \tfrac{2}{3}$, $P(B) = \tfrac{1}{3}$. $2

[3] #13 6.EE.B.7 세 경우의 확률을 더해 $\tfrac{1}{2}$ 과 같다고 놓습니다. 양변에 $6$ 을 곱해 분모를 없애고 표준 이차식 형태로 정리합니다.

[4] #13 8.EE.A.2 이차방정식 $2p^2 - 8p + 3 = 0$ 을 근의 공식으로 풉니다. 판별식 안에서 $40 = 4 \cdot 10$ 이라 $2$ 가 근호 밖

[5] #3 6.EE.B.8 확률이 될 수 없는 근을 지웁니다. $\sqrt{10} \approx 3.16$ 이므로 양의 근은 $p \approx \tfrac{4 + 3.1

[6] #13 6.EE.A.2 $p = \tfrac{1}{2}(m - \sqrt{n})$ 와 형태를 맞춰 $m + n$ 을 읽어냅니다.

검토

합리성 확인: $p = \tfrac{4 - \sqrt{10}}{2}$ 를 다시 대입해 확인합니다. 수치로 $p \approx 0.4189$ 이므로 $P(AA) \approx \tfrac{2}{3}(0.4189) \approx 0.2793$, $P(ABA) \approx \tfrac{2}{3}(0.4189)(0.5811) \approx 0.1623$, $P(BAA) \approx \tfrac{1}{3}(0.4189)^2 \approx 0.0585$. 합은 $0.2793 + 0.1623 + 0.0585 \approx 0.5001 \approx \tfrac{1}{2}$. 조건이 성립합니다. 부호 점검: $\tfrac{2}{3} > \tfrac{1}{2}$ 이므로 A의 홈 이점만으로도 이미 $50\%$ 를 넘어섰고, 전체 승률을 $\tfrac{1}{2}$ 로 끌어내리려면 원정 승률 $p$ 가 $\tfrac{1}{2}$ 보다 눈에 띄게 작아야 합니다 — $0.42$ 라는 값이 그 그림과 정확히 일치합니다. 답 (E) $14$ 가 맞습니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 / 여집합 세기): A의 우승 경로 세 가지 대신 B의 우승 경로 $BB$, $BAB$, $ABB$ 의 확률을 모두 더해 $\tfrac{1}{2}$ 과 같다고 놓아도 됩니다. $P(BB) = \tfrac{1}{3}(1-p)$, $P(BAB) = \tfrac{1}{3}\cdot p \cdot (1-p)$, $P(ABB) = \tfrac{2}{3}(1-p)^2$. 더해 정리하면 같은 이차방정식 $2p^2 - 8p + 3 = 0$ 이 나오고, 따라서 같은 $p = \tfrac{1}{2}(4 - \sqrt{10})$, $m + n = 14$ 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.SP.C.8 정리된 목록·표·나무 그림·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (A팀이 우승하는 서로 배반인 세 경기 순서 ($AA$, $ABA$, $BAA$) 를 빠짐없이 나열하고, 경기별 확률을 곱해 각 순서의 확률을 구하는 데 사용.)
6.EE.B.7 실생활·수학 문제를 식을 세우고 풀어 해결하기 (전체 확률 $\tfrac{2p}{3} + \tfrac{2p(1-p)}{3} + \tfrac{p^2}{3}$ 을 $\tfrac{1}{2}$ 과 같다고 놓고 분모를 정리해 $2p^2 - 8p + 3 = 0$ 을 얻는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호의 의미를 이해하고 작은 완전제곱수의 제곱근을 계산 (근의 공식 안의 $\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ 으로 정리해 $p$ 가 문제가 요구한 $\tfrac{4 \pm \sqrt{10}}{2}$ 형태로 떨어지게 만드는 데 사용.)
6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식으로 제약 조건을 표현하기 ($0 \le p \le 1$ 이라는 확률 제약으로 $\tfrac{4 + \sqrt{10}}{2} > 1$ 인 근을 떨어내고 $p = \tfrac{4 - \sqrt{10}}{2}$ 만 남기는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 ($\tfrac{4 - \sqrt{10}}{2}$ 와 $\tfrac{1}{2}(m - \sqrt{n})$ 의 형태를 맞춰 $m = 4$, $n = 10$ 을 읽어내는 데 사용.)

⭐ 짧은 시리즈는 가능한 경기 순서가 짧다 — 다 적어 확률을 더하면, 미지의 확률이 이차방정식 하나로 풀려 나옵니다. $[0,1]$ 이라는 확률의 규칙이 두 근 중 옳은 쪽을 골라줍니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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