AMC 10 · 2024 · #19

학년 6 algebranumber-theory

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints

sequences-geometricratio-proportionfactorsdigit-sum convert-to-algebrasystematic-enumerationoptimization-counting ↑ 선수 지식: sequences-geometricfraction-arithmeticfactors

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

The first three terms of a geometric sequence are the integers $a,\,720,$ and $b,$ where $a<720<b.$ What is the sum of the digits of the least possible value of $b?$

$\textbf{(A) } 9 \qquad \textbf{(B) } 12 \qquad \textbf{(C) } 16 \qquad \textbf{(D) } 18 \qquad \textbf{(E) } 21$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 정수 $a$, $720$, $b$ 가 이 순서대로 등비수열을 이루고, $a < 720 < b$ 입니다. 조건을 만족하는 $b$ 중 가장 작은 값을 찾고, 그 값의 자릿수의 합을 구하세요.

주어진 것: 등비수열의 가운데 항은 $720$; 양 끝 항 $a, b$ 는 정수이고 $a < 720 < b$; 선택지: (A) $9$, (B) $12$, (C) $16$, (D) $18$, (E) $21$

구하는 것: 가능한 $b$ 중 가장 작은 정수 값; 그 최소 $b$ 의 자릿수의 합

이해

주어진 것: 등비수열의 가운데 항은 $720$; 양 끝 항 $a, b$ 는 정수이고 $a < 720 < b$; 선택지: (A) $9$, (B) $12$, (C) $16$, (D) $18$, (E) $21$

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

"등비수열" 이라는 말은 곧장 도구 #13(대수로 바꾸기)의 신호입니다. 공비 $r$ 에 이름을 붙이고 기약분수 $r = p/q$ 로 표현하면, $a$ 와 $b$ 가 정수여야 한다는 조건이 깔끔한 정수론 조건 — "$p$ 와 $q$ 는 둘 다 $720$ 의 약수" — 로 바뀝니다. $b = 720 \cdot p/q$ 를 $p > q$ 조건 하에 최소화하려면 $p/q$ 가 $1$ 에 가장 가까워야 하므로, 곧 연속된 정수 쌍을 찾는 문제로 환원됩니다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 $720$ 의 연속된 약수 쌍만 훑으면 됩니다 — 후보가 많지 않아 그 중 가장 큰 쌍만 골라내면 끝.

실행 — 정답: E

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 1

대수식을 세웁니다.
공비를 $r$ 이라 하면 $720 = a \cdot r$, $b = 720 \cdot r$.
$r > 1$ 이므로 $r = p/q$ 를 기약분수로 쓰면 $p > q$.
따라서 $b = 720 \cdot p/q$, $a = 720 \cdot q/p$.

$$a = \dfrac{720q}{p}, \quad b = \dfrac{720p}{q}, \quad \gcd(p,q) = 1, \quad p > q$$

💡 공비라는 미지수에 문자를 붙이고 기약분수로 못박는 것은 6학년 "문자가 수를 대신한다" 정석 동작입니다. "어떤 수열" 이라는 막연한 표현이 두 개의 깔끔한 공식으로 바뀝니다.

#13 대수로 바꾸기 6.NS.B.4 단계 2

정수 조건을 옮겨 적습니다.
$\gcd(p,q) = 1$ 인 상황에서 $b = 720p/q$ 가 정수이려면 $q$ 가 $720$ 을 나눠야 합니다.
$a = 720q/p$ 에 같은 논리를 적용하면 $p$ 도 $720$ 을 나눠야 합니다.
즉 $p, q$ 는 $p > q$ 인 $720$ 의 서로소 약수 쌍.

$$p, q \mid 720, \quad \gcd(p,q) = 1, \quad p > q$$

💡 서로소 + 곱을 나눈다는 것은 6학년 GCF 규칙 그 자체입니다 — $q$ 가 $p$ 와 공약수가 없으면 $q$ 의 인수는 모두 $720$ 쪽에서 가져와야 합니다.

#13 대수로 바꾸기 6.RP.A.1 단계 3

$b$ 를 최소화합니다.
$b = 720 \cdot p/q$ 이고 $720$ 은 고정이므로, $b > 720$ 인 채로 $b$ 를 최소화하는 것은 $p/q$ 를 $1$ 위에서 최소화하는 것과 같습니다.
$(q+1)/q = 1 + 1/q$ 는 $q$ 가 커질수록 작아지므로, $1$ 보다 큰 가장 작은 $p/q$ 는 $720$ 의 가장 큰 "연속된 약수 쌍" 에서 나옵니다.

$$\min b \iff \min \dfrac{p}{q} > 1 \iff q, q+1 \mid 720 \text{ 인 } q \text{ 를 최대화}$$

💡 연속된 두 정수는 자동으로 서로소 ($\gcd(n, n+1) = 1$) 이므로 "서로소" 조건은 공짜로 만족 — 둘이 모두 $720$ 의 약수이기만 하면 됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

$720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$ 의 연속된 약수 쌍을 빠짐없이 나열합니다.
약수를 훑으면서 "바로 다음 정수도 약수인지" 만 확인.

$$(q, q+1) \in \{(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (8,9), (9,10), (15,16)\}$$

💡 $(15, 16)$ 다음으로 가려면 $q \ge 16$ 이면서 $q+1$ 도 $720$ 의 약수여야 하는데, $720$ 의 약수는 $16$ 다음에 $18, 20, 24, \ldots$ 로 뛰어버립니다. 더 큰 연속 쌍은 없습니다.

#13 대수로 바꾸기 6.NS.B.2 단계 5

답을 계산합니다.
가장 큰 연속 약수 쌍은 $(15, 16)$ 이므로 최적의 공비는 $r = 16/15$.
따라서 $b = 720 \cdot 16/15 = 48 \cdot 16 = 768$.
이에 대응하는 $a = 720 \cdot 15/16 = 45 \cdot 15 = 675$ 이고, 수열 $675, 720, 768$ 은 조건을 만족.

$$b = 768, \quad 7 + 6 + 8 = 21 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 최적의 $(p, q) = (16, 15)$ 를 $b = 720p/q$ 에 대입하는 것은 곱셈·나눗셈일 뿐. 먼저 $720$ 을 작은 인수 $15$ 로 나눠 $48$ 을 얻으면 산수가 가볍습니다.

[1] #13 6.EE.A.2 대수식을 세웁니다. 공비를 $r$ 이라 하면 $720 = a \cdot r$, $b = 720 \cdot r$. $r > 1$ 이므로 $r =

[2] #13 6.NS.B.4 정수 조건을 옮겨 적습니다. $\gcd(p,q) = 1$ 인 상황에서 $b = 720p/q$ 가 정수이려면 $q$ 가 $720$ 을 나눠야 합니

[3] #13 6.RP.A.1 $b$ 를 최소화합니다. $b = 720 \cdot p/q$ 이고 $720$ 은 고정이므로, $b > 720$ 인 채로 $b$ 를 최소화하는 것

[4] #2 4.OA.B.4 $720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$ 의 연속된 약수 쌍을 빠짐없이 나열합니다. 약수를 훑으면서 "바로 다음 정수도 약수인지"

[5] #13 6.NS.B.2 답을 계산합니다. 가장 큰 연속 약수 쌍은 $(15, 16)$ 이므로 최적의 공비는 $r = 16/15$. 따라서 $b = 720 \cdot 1

검토

합리성 확인: 수열을 직접 확인: $675 \cdot \tfrac{16}{15} = 720$, $720 \cdot \tfrac{16}{15} = 768$. 셋 다 정수이고 $675 < 720 < 768$ 이므로 조건이 만족됩니다. 최소성 확인: 그다음으로 좋은 연속 쌍 $(9, 10)$ 은 $b = 720 \cdot 10/9 = 800 > 768$, $(8, 9)$ 는 $b = 720 \cdot 9/8 = 810 > 768$. 둘 다 더 크므로 $(15, 16)$ 이 우승. 자릿수의 합 $7 + 6 + 8 = 21$ 도 선택지 (E) 와 일치.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)을 답 선택지에 적용: $720 < b < 1000$ 범위에서 세 자리 $b$ 의 자릿수 합이 $21$ 이 되는 후보는 $b \in \{768, 786, 858, 876, 939, 948, 984, \ldots\}$. $720$ 에 가장 가까운 $768$ 부터 확인하면, $a = 720^2 / 768 = 518400 / 768 = 675$ 가 정수이므로 $(a, b) = (675, 768)$ 이 곧장 작동합니다. $(720, 768)$ 사이의 어떤 후보도 더 작은 답을 주지 않으니 같은 답 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (공비를 기약분수 $r = p/q$ 로 두어 $b = 720p/q$, $a = 720q/p$ 라는 깔끔한 대수식으로 옮기는 데 사용.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($\gcd(p, q) = 1$ 이라는 사실에서 $a, b$ 가 정수이려면 $p$ 와 $q$ 각각이 $720$ 의 약수여야 함을 끌어내는 데 사용.)
6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 비의 관계를 설명하기 ($b$ 를 $720$ 위에서 최소화하는 것이 비 $p/q$ 를 $1$ 위에서 최소화하는 것과 같음을 인식하고, 연속된 정수 비로 좁히는 데 사용.)
4.OA.B.4 1-100 범위 자연수의 모든 인수쌍 구하기; 주어진 한 자리 수의 배수인지 판단하기 ($720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$ 의 약수를 훑으며 가장 큰 연속 약수 쌍 $(15, 16)$ 을 찾아내는 데 사용.)
6.NS.B.2 여러 자리 수의 표준 나눗셈 알고리즘으로 나누기 ($b = 720 \cdot 16 / 15 = 48 \cdot 16 = 768$ 과 $a = 720 \cdot 15 / 16 = 675$ 를 계산하는 데 사용.)

⭐ 등비수열이 정수에 떨어져야 할 때, 공비는 기약분수 $p/q$ 형태이고 $p$ 와 $q$ 둘 다 가운데 항을 나눠야 합니다. $b$ 를 $720$ 에 최대한 가깝게 만들려면 $720$ 의 연속된 약수 중 가장 큰 쌍을 찾으면 됩니다 — 그 쌍이 $(15, 16)$ 이므로 $b = 720 \cdot 16/15 = 768$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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