AMC 10 · 2024 · #2
학년 8 algebrarate-ratio문제
A model used to estimate the time it will take to hike to the top of the mountain on a trail is of the form where and are constants, is the time in minutes, is the length of the trail in miles, and is the altitude gain in feet. The model estimates that it will take minutes to hike to the top if a trail is miles long and ascends feet, as well as if a trail is miles long and ascends feet. How many minutes does the model estimates it will take to hike to the top if the trail is miles long and ascends feet?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 등산 시간을 추정하는 모델이 $T = aL + bG$ 입니다. 여기서 $L$ 은 등산로 길이(마일), $G$ 는 고도 상승(피트), $T$ 는 시간(분)이고 $a, b$ 는 미지의 상수입니다. 서로 다른 두 등산로가 둘 다 $69$ 분 걸립니다 — 하나는 $1.5$ 마일에 $800$ 피트 상승, 다른 하나는 $1.2$ 마일에 $1100$ 피트 상승. 같은 모델로 $4.2$ 마일·$4000$ 피트 상승 등산로의 $T$ 를 구하세요.
주어진 것: 모델: $T = aL + bG$, 상수 $a, b$ 는 미지; 등산로 1: $L=1.5,\ G=800,\ T=69$; 등산로 2: $L=1.2,\ G=1100,\ T=69$; 목표 등산로: $L=4.2,\ G=4000$; 선택지: (A) $240$, (B) $246$, (C) $252$, (D) $258$, (E) $264$
구하는 것: $L=4.2,\ G=4000$ 등산로의 추정 시간 $T$
이해
문제 재정리: 등산 시간을 추정하는 모델이 $T = aL + bG$ 입니다. 여기서 $L$ 은 등산로 길이(마일), $G$ 는 고도 상승(피트), $T$ 는 시간(분)이고 $a, b$ 는 미지의 상수입니다. 서로 다른 두 등산로가 둘 다 $69$ 분 걸립니다 — 하나는 $1.5$ 마일에 $800$ 피트 상승, 다른 하나는 $1.2$ 마일에 $1100$ 피트 상승. 같은 모델로 $4.2$ 마일·$4000$ 피트 상승 등산로의 $T$ 를 구하세요.
주어진 것: 모델: $T = aL + bG$, 상수 $a, b$ 는 미지; 등산로 1: $L=1.5,\ G=800,\ T=69$; 등산로 2: $L=1.2,\ G=1100,\ T=69$; 목표 등산로: $L=4.2,\ G=4000$; 선택지: (A) $240$, (B) $246$, (C) $252$, (D) $258$, (E) $264$
계획
주요 도구: #13 대수로 바꾸기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
미지 상수 두 개를 가진 공식과 데이터 두 개가 주어진 전형적인 도구 #13(대수로 바꾸기) 상황입니다 — 각 등산로를 일차방정식 하나로 옮긴 뒤 $2\times 2$ 연립방정식을 풉니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 단계로 나눕니다: (i) 등산로 1·2에서 상수 $a, b$ 를 복원하고, (ii) 그 상수를 $T = aL + bG$ 에 대입해 목표 등산로의 시간을 계산. 두 시나리오 모두 $T = 69$ 로 같다는 점 덕분에 두 식을 빼면 $T$ 가 사라지고 $a$ 와 $b$ 사이의 한 줄 관계식이 바로 나옵니다.
실행 — 정답: B
8.F.B.4 단계 1 - 첫 번째 작은 문제: 각 등산로마다 일차방정식 하나를 세웁니다.
- $(L, G, T)$ 를 $T = aL + bG$ 에 대입합니다.
💡 8학년 "데이터로 함수 만들기": 각 등산로가 $(L, G) \mapsto T$ 데이터 한 점이고, 두 점을 모두 지나는 선형 모델을 잡는 과정입니다.
8.EE.C.8 단계 2 - 두 식의 우변이 모두 $69$ 이므로 좌변끼리 같습니다.
- 등산로 1에서 등산로 2를 빼면 상수항이 사라지고 $a, b$ 의 관계식이 바로 나옵니다.
💡 8학년 연립방정식: $T$ 값이 같다는 것을 이용해 두 식을 빼면 두 변수 연립이 한 줄짜리 관계 $a = 1000b$ 로 줄어듭니다.
7.EE.B.4 단계 3 $a = 1000b$ 를 등산로 1에 다시 대입해 $b$ 를 구하고, 거기서 $a$ 를 읽어냅니다.
💡 7학년 일변수 방정식: 한 미지수를 다른 미지수로 표현하면 시스템이 $2300b = 69$ 한 줄로 줄어들고 깔끔하게 나눠집니다.
8.F.B.4 단계 4 두 번째 작은 문제: 구한 상수와 새 등산로 $(L, G) = (4.2,\ 4000)$ 을 모델에 대입합니다.
💡 이제 모델이 완전히 알려졌으니 새 $(L, G)$ 에 적용하는 일은 대입 한 번 — 두 번째 작은 문제는 산수 한 줄로 끝납니다.
8.F.B.4 첫 번째 작은 문제: 각 등산로마다 일차방정식 하나를 세웁니다. $(L, G, T)$ 를 $T = aL + bG$ 에 대입합니다. 8.EE.C.8 두 식의 우변이 모두 $69$ 이므로 좌변끼리 같습니다. 등산로 1에서 등산로 2를 빼면 상수항이 사라지고 $a, b$ 의 관계식이 바로 나옵니 7.EE.B.4 $a = 1000b$ 를 등산로 1에 다시 대입해 $b$ 를 구하고, 거기서 $a$ 를 읽어냅니다. 8.F.B.4 두 번째 작은 문제: 구한 상수와 새 등산로 $(L, G) = (4.2,\ 4000)$ 을 모델에 대입합니다. 검토
합리성 확인: 구한 상수를 등산로 2에 다시 넣어 확인: $1.2(30) + 1100(0.03) = 36 + 33 = 69$. 맞습니다. 단위도 자연스럽습니다 — $a = 30$ 분/마일, $b = 0.03$ 분/피트이므로 더 길고 더 가파른 등산로일수록 시간이 더 걸립니다. 목표 등산로의 길이 $4.2$ 마일은 등산로 1의 약 $3$ 배, 고도 $4000$ 피트는 $5$ 배이므로 $246 \approx 3.5 \times 69$ 분은 합리적인 크기입니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): $a = 30,\ b = 3/100$ 을 알면 각 선택지에 직접 대입해 $30(4.2) + 0.03(4000) = 246$ 이 (B) 와만 맞는다는 것을 확인할 수 있습니다. 연립을 안 풀고 $4.2 = 1.5 + 1.2 + 1.5$, $4000 = 800 + 1100 + ?$ 같은 일차결합 트릭도 떠올릴 수 있지만 그 길은 오히려 더 지저분합니다 — 그래서 도구 #13(연립 풀기)이 더 깔끔한 주된 선택입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.EE.C.8두 일차방정식으로 이루어진 연립방정식을 분석하고 풀기 ($1.5a + 800b = 69$, $1.2a + 1100b = 69$ 의 $2\times 2$ 연립을 세우고 상수 $a, b$ 를 푸는 데 사용.)8.F.B.4두 양 사이의 일차 관계를 모델링하는 함수 만들기 ($T = aL + bG$ 를 $L, G$ 에 대한 일차 모델로 읽고 두 데이터 점에 맞춰 $(L, G) = (4.2,\ 4000)$ 에 적용하는 데 사용.)7.EE.B.4변수를 사용해 수량을 나타내고 간단한 방정식·부등식을 세우기 (시스템을 일변수 방정식 $2300b = 69$ 으로 줄여 $b$ 를 구하고 다시 $a$ 를 구하는 데 사용.)
⭐ 시간이 같은 두 등산로가 같은 두 미지수에 대한 방정식 두 개를 준다 — 작은 연립을 한 번 풀어 두면 그 모델로 새 등산로의 시간도 바로 계산할 수 있어요.
⭐ 시간이 같은 두 등산로가 같은 두 미지수에 대한 방정식 두 개를 준다 — 작은 연립을 한 번 풀어 두면 그 모델로 새 등산로의 시간도 바로 계산할 수 있어요.