AMC 10 · 2024 · #22

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

area-trianglespythagorean-theoremline-symmetryangle-sum-triangle identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theoremsimilar-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Let $\mathcal K$ be the kite formed by joining two right triangles with legs $1$ and $\sqrt3$ along a common hypotenuse. Eight copies of $\mathcal K$ are used to form the polygon shown below. What is the area of triangle $\Delta ABC$ ?

$\textbf{(A) }2+3\sqrt3\qquad\textbf{(B) }\dfrac92\sqrt3\qquad\textbf{(C) }\dfrac{10+8\sqrt3}{3}\qquad\textbf{(D) }8\qquad\textbf{(E) }5\sqrt3$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2+3\sqrt3$

(B)

$\dfrac{9}{2}\sqrt3$

(C)

$\dfrac{10+8\sqrt3}{3}$

(D)

(E)

$5\sqrt3$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다리 길이가 $1$ 과 $\sqrt{3}$ 인 두 직각삼각형을 공통 빗변을 따라 붙여서 연 $\mathcal K$ 를 만듭니다. 이 연 $8$ 개를 이어 붙인 다각형 위에 큰 삼각형 $\triangle ABC$ 가 그려져 있습니다. $\triangle ABC$ 의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 연의 반쪽은 다리가 $1$ 과 $\sqrt{3}$ 인 직각삼각형; 두 직각삼각형은 빗변을 공유하고, 그 빗변이 연의 대각선이 됩니다; 연 $8$ 개로 그림의 다각형을 채웁니다; $\triangle ABC$ 는 그림에 표시된 큰 삼각형; 선택지: (A) $2+3\sqrt{3}$, (B) $\tfrac{9}{2}\sqrt{3}$, (C) $\tfrac{10+8\sqrt{3}}{3}$, (D) $8$, (E) $5\sqrt{3}$

구하는 것: $\triangle ABC$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

문제 전체가 한 장의 그림 안에 들어 있습니다. 도구 #1(그림 그리기)이 중심: 연의 실제 변 길이($1, 1, \sqrt{3}, \sqrt{3}$)와 각을 그림에 직접 표시하면, 타일링이 $AB$ 와 $C$ 에서 내린 수선의 높이가 어떤 연 변들로 만들어지는지 보여 줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 "$\triangle ABC$ 의 넓이" 를 밑변 $AB$ 와 높이 $h$ 두 개의 독립 측정으로 분해해 줍니다. 둘 다 타일링 위 작은 조각 하나에 피타고라스 정리를 짧게 적용하면 끝나고, 마지막은 6학년 넓이 공식 한 번입니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 1

먼저 연의 기하부터 확정합니다.
반쪽은 다리가 $1$ 과 $\sqrt{3}$ 인 직각삼각형이므로, 공통 빗변의 길이는 피타고라스 정리로 $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.
따라서 연의 네 변은 $1, 1, \sqrt{3}, \sqrt{3}$, 한 대각선은 $2$ (공통 빗변), 두 다리가 만나는 두 꼭짓점은 $90^\circ$.
이 값을 그림에 표시합니다.

$$\text{빗변} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$$

💡 가장 단순한 직각삼각형에 8학년 피타고라스 정리를 적용 — 다리가 이미 주어졌으니 바로 빗변.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

$\triangle ABC$ 에서 아직 모르는 두 값을 명확히 합니다: 밑변 $AB$ 와 $C$ 에서 $AB$ 에 내린 높이 $h$.
타일링의 좌우 대칭으로 수선의 발은 $AB$ 의 중점이고, $AB$ 의 양쪽 절반은 똑같습니다.
그러므로 $AB$ 의 반쪽 길이와 높이 $h$ 두 가지만 측정하면 됩니다 — 이것이 작은 문제로 쪼개기.

$$[\triangle ABC] = \tfrac{1}{2} \cdot AB \cdot h$$

💡 6학년 삼각형 넓이 공식이 "무엇을 재야 하는지" 를 정확히 두 가지로 지정 — 더도 덜도 말고.

#1 그림 그리기 8.G.A.4 단계 3

타일링에서 밑변 $AB$ 를 측정합니다.
그림을 읽으면 $AB$ 는 동일한 수평 선분 네 개로 이루어져 있고, 각 선분은 어떤 연의 $\sqrt{3}$-변의 수평 투영입니다.
그 $\sqrt{3}$-변과 수평 선분, 짧은 수직 선분이 만드는 작은 직각삼각형은 원래의 $1:\sqrt{3}:2$ 직각삼각형과 같은 각을 가지므로 닮음입니다.
빗변이 $2$ 가 아니라 $\sqrt{3}$ 이니 닮음비는 $\sqrt{3}/2$, 따라서 작은 삼각형의 두 다리는 $\sqrt{3}/2 \cdot 1 = \sqrt{3}/2$ 와 $\sqrt{3}/2 \cdot \sqrt{3} = 3/2$.
$AB$ 위에 놓인 수평 다리는 더 긴 쪽인 $3/2$.

$$AB \text{ 한 선분} = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \tfrac{3}{2} \;\Rightarrow\; AB = 4 \cdot \tfrac{3}{2} = 6$$

💡 8학년 닮음: 각이 같으면 모든 변이 같은 비율로 줄거나 늘어남 — 여기서는 빗변 비 $\sqrt{3}/2$ 가 곧 닮음비.

#1 그림 그리기 7.NS.A.1 단계 4

높이 $h$ 도 같은 방식으로 측정합니다.
$C$ 에서 내린 수선은 타일링의 두 조각을 위아래로 지납니다: (i) 앞에서 본 작은 닮음 삼각형의 수직 다리 $\sqrt{3}/2$, (ii) 그 바로 위에 수직으로 놓인 연의 $\sqrt{3}$-변 $\sqrt{3}$.
둘을 더합니다.

$$h = \sqrt{3} + \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{2\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}$$

💡 7학년 유리수 계산 — $1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}$ 과 같은 일에 공통인자 $\sqrt{3}$ 만 붙어 다니는 셈.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

밑변과 높이를 넓이 공식에 대입합니다.

$$[\triangle ABC] = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot \tfrac{3\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot \tfrac{3\sqrt{3}}{2} = \tfrac{9\sqrt{3}}{2} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 6학년 마무리 — 밑변·높이가 손에 있으면 곱하고 반으로.

[1] #1 8.G.B.7 먼저 연의 기하부터 확정합니다. 반쪽은 다리가 $1$ 과 $\sqrt{3}$ 인 직각삼각형이므로, 공통 빗변의 길이는 피타고라스 정리로 $\sq

[2] #7 6.G.A.1 $\triangle ABC$ 에서 아직 모르는 두 값을 명확히 합니다: 밑변 $AB$ 와 $C$ 에서 $AB$ 에 내린 높이 $h$. 타일링의

[3] #1 8.G.A.4 타일링에서 밑변 $AB$ 를 측정합니다. 그림을 읽으면 $AB$ 는 동일한 수평 선분 네 개로 이루어져 있고, 각 선분은 어떤 연의 $\sqrt

[4] #1 7.NS.A.1 높이 $h$ 도 같은 방식으로 측정합니다. $C$ 에서 내린 수선은 타일링의 두 조각을 위아래로 지납니다: (i) 앞에서 본 작은 닮음 삼각형의

[5] #7 6.G.A.1 밑변과 높이를 넓이 공식에 대입합니다.

검토

합리성 확인: 전체 타일링 넓이로 확인합시다. 연 한 개는 다리 $1, \sqrt{3}$ 인 직각삼각형 두 개이므로 넓이는 $2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$, 연 $8$ 개로 만든 다각형은 $8\sqrt{3} \approx 13.86$. 우리 $\triangle ABC$ 는 $\tfrac{9\sqrt{3}}{2} \approx 7.79$ 로 다각형 전체보다 한참 작고, 그림에서 "절반 이상이지만 전부는 아닌" 느낌과 잘 맞습니다. 수치 $7.79$ 는 (B) 와 정확히 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지를 직접 비교합니다. 각각을 소수로 바꾸면 (A) $2 + 3\sqrt{3} \approx 7.20$, (B) $\tfrac{9\sqrt{3}}{2} \approx 7.79$, (C) $\tfrac{10+8\sqrt{3}}{3} \approx 8.95$, (D) $8$, (E) $5\sqrt{3} \approx 8.66$. 그림에서 $AB = 6$ 을 읽으면 높이 $h$ 는 적어도 $\sqrt{3}$ (수직 연-변 하나), 많아야 $2\sqrt{3}$ (둘을 쌓은 경우) 이므로 넓이는 $3\sqrt{3} \approx 5.2$ 과 $6\sqrt{3} \approx 10.4$ 사이. 이 거친 창에는 다섯 후보 모두 들어가지만, 타일링이 정확히 "연-변 하나 + 그 절반" 으로 $h = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}$ 를 고정해 주어 (B) 가 유일하게 살아남습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 이용해 미지의 변의 길이 구하기 (연의 반쪽 직각삼각형들이 공유하는 빗변 $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$ 를 계산해 연의 대각선과 모든 변·대각선 길이를 확정.)
8.G.A.4 두 도형이 회전·반사·평행이동·확대축소의 결합으로 서로에게서 얻어질 때 닮은 도형임을 이해 (타일링 아래에 생긴 작은 직각삼각형이 연의 반쪽 삼각형과 같은 각을 가지므로 닮음이고, 닮음비 $\sqrt{3}/2$ 로 두 다리가 $\sqrt{3}/2$ 와 $3/2$ 가 됨을 보임.)
7.NS.A.1 유리수의 덧셈·뺄셈에 대한 이해를 확장해 적용하기 (높이의 두 수직 조각 $\sqrt{3} + \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}$ 를 공통인자 $\sqrt{3}$ 을 단위로 두고 더하는 데 사용.)
6.G.A.1 도형을 합성·분해하여 직각삼각형·일반 삼각형·특수 사각형의 넓이 구하기 ($[\triangle ABC] = \tfrac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot \tfrac{3\sqrt{3}}{2} = \tfrac{9\sqrt{3}}{2}$ 로 마무리.)

⭐ 도형이 같은 조각으로 타일링되어 있을 때는 조각 하나를 정확히 라벨링하고, 닮음비로 큰 삼각형의 밑변과 높이를 그림에서 직접 읽어 내는 것이 첫 수입니다. 그 뒤는 $\tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$ 한 줄로 끝납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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