AMC 10 · 2024 · #23

학년 8 algebranumber-theory

systems-of-equationsprime-factorizationfactorslinear-equations-two-var convert-to-algebracaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systems-of-equationsprime-factorization

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

Integers $a$ , $b$ , and $c$ satisfy $ab + c = 100$ , $bc + a = 87$ , and $ca + b = 60$ . What is $ab + bc + ca$ ?

$\textbf{(A) }212 \qquad \textbf{(B) }247 \qquad \textbf{(C) }258 \qquad \textbf{(D) }276 \qquad \textbf{(E) }284 \qquad$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

212

(B)

247

(C)

258

(D)

276

(E)

284

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 정수 $a$, $b$, $c$ 가 $ab + c = 100$, $bc + a = 87$, $ca + b = 60$ 을 만족합니다. $ab + bc + ca$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: $a, b, c \in \mathbb{Z}$; $ab + c = 100$; $bc + a = 87$; $ca + b = 60$; 선택지: (A) $212$, (B) $247$, (C) $258$, (D) $276$, (E) $284$

구하는 것: $ab + bc + ca$ 의 값

이해

문제 재정리: 세 정수 $a$, $b$, $c$ 가 $ab + c = 100$, $bc + a = 87$, $ca + b = 60$ 을 만족합니다. $ab + bc + ca$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: $a, b, c \in \mathbb{Z}$; $ab + c = 100$; $bc + a = 87$; $ca + b = 60$; 선택지: (A) $212$, (B) $247$, (C) $258$, (D) $276$, (E) $284$

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #2 빠짐없이 나열하기

미지수 3개·식 3개 시스템은 도구 #13(대수로 바꾸기)의 정석 신호입니다. 정수 삼중쌍을 무작정 찾는 것은 막막하지만, 두 식을 빼고 또 더하면 묶어내기로 $(a-c)(b-1) = 13$, $(a+c)(b+1) = 187$ 이 나옵니다. 여기서 "정수" 조건이 강력해집니다 — $13$ 은 소수이고 $187 = 11 \cdot 17$ 이므로 도구 #3(가능성 지우기)이 $b$ 후보를 매우 작은 집합으로 좁힙니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 네 개의 $b$ 후보를 차례로 점검해 두 식을 모두 만족하는 것을 남기면, $a$ 와 $c$ 는 $2 \times 2$ 일차 연립으로 떨어집니다.

실행 — 정답: D

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.3 단계 1

식 (1) 에서 식 (2) 를 뺀 뒤 묶어내기로 인수분해합니다.
좌변은 $b(a-c) - (a-c)$ 로 묶이고, 이는 $(a-c)(b-1)$ 입니다.

$$(ab+c) - (bc+a) = 100 - 87 \;\Rightarrow\; (a-c)(b-1) = 13$$

💡 공통인수를 묶어 차를 곱으로 바꿔쓰는 것은 6학년의 "동치 식 만들기" — 곱이 소수와 같다는 정보는 합보다 훨씬 더 강력합니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.3 단계 2

이번엔 식 (1) 과 식 (2) 를 더한 뒤 같은 방식으로 인수분해합니다.
좌변은 $b(a+c) + (a+c) = (a+c)(b+1)$.

$$(ab+c) + (bc+a) = 100 + 87 \;\Rightarrow\; (a+c)(b+1) = 187$$

💡 부호만 $-$ 에서 $+$ 로 바뀐 같은 묶기. (어떤 것) $\cdot (b \pm 1) = $ (상수) 형태 두 개가 양쪽에서 $b$ 를 조여줍니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 3

정수 조건으로 $b$ 후보를 셉니다.
$(a-c)(b-1) = 13$ 에서 $13$ 이 소수이므로 $b-1 \in \{\pm 1, \pm 13\}$, 즉 $b \in \{-12, 0, 2, 14\}$.
$(a+c)(b+1) = 187 = 11 \cdot 17$ 에서 $b+1$ 은 $187$ 의 약수, 즉 $\pm 1, \pm 11, \pm 17, \pm 187$ 중 하나여야 합니다.

$$b \in \{-12, 0, 2, 14\} \;\text{ 그리고 }\; b+1 \in \{\pm 1, \pm 11, \pm 17, \pm 187\}$$

💡 소수와 두 소수의 곱에 대한 약수 쌍 나열은 4학년의 약수 쌍 연습 — 정수 규칙이 $b-1, b+1$ 을 이 두 목록 안으로 강제합니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

두 조건의 교집합을 봅니다.
후보 $b$ 를 두 번째 목록에 대조: $b=-12$ 이면 $b+1=-11$ (약수, 통과); $b=0$ 이면 $b+1=1$ (통과); $b=2$ 이면 $b+1=3$ (약수 아님, 탈락); $b=14$ 이면 $b+1=15$ (약수 아님, 탈락).

살아남은 후보: $b \in \{-12, 0\}$

💡 두 짧은 약수 목록은 작은 논리표 — 두 목록 모두에 등장하는 값만 살아남습니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 5

$b = 0$ 을 원래 식에 넣어봅니다.
$ab+c = c = 100$ 에서 $c = 100$, $bc+a = a = 87$ 에서 $a = 87$.
세 번째 식: $ca + b = 100 \cdot 87 + 0 = 8700 \ne 60$.
탈락.

$$b = 0 \;\Rightarrow\; (a, c) = (87, 100), \; ca + b = 8700 \ne 60$$

💡 후보 값을 세 식에 모두 대입해 살아남는지 확인 — 6학년의 "값이 식을 만족하는지 점검".

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 6

$b = -12$ 를 도출 식에 대입.
$(a-c)(-13) = 13$ 에서 $a - c = -1$, $(a+c)(-11) = 187$ 에서 $a + c = -17$.
이 $2 \times 2$ 연립을 풀면 두 식을 더해 $2a = -18$, 즉 $a = -9$, 그리고 $c = -17 - a = -8$.

$$a - c = -1, \; a + c = -17 \;\Rightarrow\; a = -9, \; c = -8, \; b = -12$$

💡 두 일차식을 더해 $c$ 를 소거 — 8학년의 "연립일차방정식 소거법".

#13 대수로 바꾸기 7.NS.A.2 단계 7

$(a, b, c) = (-9, -12, -8)$ 을 원래 세 식에 검증한 뒤 목표식을 계산.
두 변수 곱: $ab = 108$, $bc = 96$, $ca = 72$.

$ab + c = 108 - 8 = 100$ ✓, $\; bc + a = 96 - 9 = 87$ ✓, $\; ca + b = 72 - 12 = 60$ ✓; $\; ab + bc + ca = 108 + 96 + 72 = 276 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$

💡 음수끼리의 곱은 양수, 양의 세 곱을 더해 깔끔히 합산 — 7학년의 유리수 곱셈.

[1] #13 6.EE.A.3 식 (1) 에서 식 (2) 를 뺀 뒤 묶어내기로 인수분해합니다. 좌변은 $b(a-c) - (a-c)$ 로 묶이고, 이는 $(a-c)(b-1)$

[2] #13 6.EE.A.3 이번엔 식 (1) 과 식 (2) 를 더한 뒤 같은 방식으로 인수분해합니다. 좌변은 $b(a+c) + (a+c) = (a+c)(b+1)$.

[3] #2 4.OA.B.4 정수 조건으로 $b$ 후보를 셉니다. $(a-c)(b-1) = 13$ 에서 $13$ 이 소수이므로 $b-1 \in {\pm 1, \pm 13\

[4] #3 4.OA.B.4 두 조건의 교집합을 봅니다. 후보 $b$ 를 두 번째 목록에 대조: $b=-12$ 이면 $b+1=-11$ (약수, 통과); $b=0$ 이면 $b

[5] #3 6.EE.B.5 $b = 0$ 을 원래 식에 넣어봅니다. $ab+c = c = 100$ 에서 $c = 100$, $bc+a = a = 87$ 에서 $a = 87

[6] #13 8.EE.C.8 $b = -12$ 를 도출 식에 대입. $(a-c)(-13) = 13$ 에서 $a - c = -1$, $(a+c)(-11) = 187$ 에서 $

[7] #13 7.NS.A.2 $(a, b, c) = (-9, -12, -8)$ 을 원래 세 식에 검증한 뒤 목표식을 계산. 두 변수 곱: $ab = 108$, $bc = 9

검토

합리성 확인: 후보 삼중쌍 $(-9, -12, -8)$ 이 원래 세 식을 모두 정확히 만족하므로 조작 과정의 부산물이 아닌 진짜 해입니다. 목표 합 $108 + 96 + 72 = 276$ 은 선택지 (D) 와 일치. 크기 점검: 우변 $100, 87, 60$ 은 $60$-$100$ 범위인데 두 변수 곱 $72, 96, 108$ 이 그 범위 근처에 자리잡고 있고, 작은 합산 항 $a, b, c$ 가 약간 빼주는 그림이 자연스럽게 들어맞습니다. 살아남는 다른 $b$ 후보가 없으므로 답은 강제됩니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)을 작은 정수 삼중쌍에 적용. 식의 좌변은 $|a|, |b|, |c|$ 가 커지면 빠르게 커지고, 우변이 $60$-$100$ 대이므로 $|a|, |b|, |c| \approx 10$ 정도가 자연스럽습니다. 게다가 우변이 $100 \to 87 \to 60$ 으로 줄어드는 것은 합산 항이 음수임을 시사 — $b$ 가 음수인 작은 범위($-15 \le b \le -1$)를 빠르게 훑으면 $(-9, -12, -8)$ 을 금방 찾고, 같은 답 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.3 연산의 성질을 활용해 동치 식 만들기 ($ab + c - bc - a$ 를 $(a-c)(b-1)$ 로, $ab + c + bc + a$ 를 $(a+c)(b+1)$ 로 묶어내기 — 시스템을 두 개의 곱 방정식으로 바꾸는 핵심 단계.)
4.OA.B.4 약수 쌍을 모두 찾고 배수·소수·합성수를 판별하기 ($13$ (소수) 과 $187 = 11 \cdot 17$ 의 정수 약수를 나열해 $b-1$, $b+1$ 의 후보 값을 모두 열거.)
6.EE.B.5 주어진 집합에서 값을 찾는 과정으로 방정식·부등식을 푸는 것을 이해하기 (살아남은 후보 $b \in \{-12, 0\}$ 을 원래 시스템에 대입해 세 식을 모두 만족하는 것을 가려냄.)
8.EE.C.8 연립일차방정식을 분석하고 풀기 ($b = -12$ 가 정해진 뒤 $a - c = -1$, $a + c = -17$ 의 $2 \times 2$ 연립을 소거법으로 풀어 $a = -9$, $c = -8$ 을 얻음.)
7.NS.A.2 유리수의 곱셈·나눗셈으로 이전 이해를 확장하기 (음의 정수 사이의 두 변수 곱 $ab = 108$, $bc = 96$, $ca = 72$ 를 계산하고 합해 $276$ 을 구함.)

⭐ 순환 구조의 세 식은 "두 식을 빼고 또 더해 묶어내기" 한 번으로 $(a-c)(b-1) = 13$, $(a+c)(b+1) = 187$ 이 됩니다. $13$ 은 소수, $187 = 11 \cdot 17$ 이라서 정수 규칙이 $b$ 후보를 단 두 개로 줄여주고, 나머지는 $2 \times 2$ 연립으로 깔끔히 마무리됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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