AMC 10 · 2024 · #3

학년 4 number-theory

prime-numbersparitydigit-sumsystematic-enumeration systematic-enumerationguess-and-checkcasework ↑ 선수 지식: primality-testmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

What is the sum of the digits of the smallest prime that can be written as a sum of $5$ distinct primes?

$\textbf{(A) }5\qquad\textbf{(B) }7\qquad\textbf{(C) }8\qquad\textbf{(D) }10\qquad\textbf{(E) }13$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 서로 다른 $5$ 개의 소수의 합으로 쓸 수 있는 가장 작은 소수를 구하고, 그 소수의 각 자리 숫자를 모두 더하세요.

주어진 것: 소수 $P$ 가 서로 다른 다섯 소수의 합 $p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5$ 와 같아야 한다; 그런 $P$ 들 중에서 가장 작은 것을 찾는다; 선택지: (A) $5$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $10$, (E) $13$

구하는 것: 조건을 만족하는 가장 작은 소수 $P$ 의 각 자리 숫자의 합

이해

문제 재정리: 서로 다른 $5$ 개의 소수의 합으로 쓸 수 있는 가장 작은 소수를 구하고, 그 소수의 각 자리 숫자를 모두 더하세요.

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #3 가능성 지우기

$P$ 를 최소로 만들려면 다섯 소수도 최소여야 합니다 — 그래서 도구 #6(추측하고 확인하기)이 적합합니다. 가장 작은 후보 집합부터 시도하고, 합이 소수가 아니면 그다음 소수로 하나만 바꿔 다시 시도하면 됩니다. 그 전에 도구 #3(가능성 지우기)으로 $2$ 를 후보에서 제외합니다. $2$ 가 다섯 중 하나라면 나머지 넷은 홀수 소수이므로 합이 짝수가 되고, $2$ 보다 큰 짝수는 소수가 아니기 때문입니다. 따라서 다섯 소수는 모두 홀수 소수이며 탐색 범위가 아주 좁아집니다.

실행 — 정답: B

#3 가능성 지우기 2.OA.C.3 단계 1

소수 $2$ 를 후보에서 지웁니다.
$2$ 가 다섯 중 하나라면 나머지 넷은 서로 다른 홀수 소수이므로 합은 $2 + (\text{홀} + \text{홀} + \text{홀} + \text{홀}) = 2 + \text{짝} = \text{짝수}$ 가 됩니다.
가장 작은 그런 합은 $2+3+5+7+11 = 28$ 인데, $2$ 보다 크고 짝수이므로 소수일 수 없습니다.
$2$ 를 쓰는 모든 합이 같은 이유로 탈락합니다.

$$2 + \text{홀} + \text{홀} + \text{홀} + \text{홀} \;=\; \text{짝수} \;\geq\; 28$$

💡 홀수 네 개를 더하면 짝수가 되고, $2$ 를 더해도 여전히 짝수입니다. $2$ 보다 큰 짝수는 소수가 아니라는 2학년 홀짝 규칙으로 한 번에 정리됩니다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.4 단계 2

첫 추측: 가장 작은 다섯 개의 홀수 소수 $3, 5, 7, 11, 13$ 을 사용합니다.
합이 가능한 한 작아지니, 이것이 소수이면 즉시 끝납니다.

$$3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39$$

💡 최소 후보부터 시작하면 합도 최소가 되므로, 이보다 더 작은 곳은 없습니다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.B.4 단계 3

$39$ 가 소수인지 확인합니다.
작은 약수부터 보면 $39 = 3 \times 13$, 즉 합성수입니다.
다음 합으로 넘어가야 합니다.

$$39 = 3 \times 13 \;\Rightarrow\; 39 \text{ 은 소수가 아님}$$

💡 $3$ 의 배수 판정이 빠릅니다. 자릿수 합 $3 + 9 = 12$ 가 $3$ 의 배수이므로 $39$ 도 그렇습니다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.4 단계 4

추측을 조정합니다.
합을 가능한 한 적게 키우려면 가장 큰 소수 $13$ 만 다음 소수 $17$ 로 바꿉니다.
다른 어떤 교체도 합을 더 많이 키웁니다.

$$\{3, 5, 7, 11, 13\} \to \{3, 5, 7, 11, 17\}: \;\; 3 + 5 + 7 + 11 + 17 = 43$$

💡 $13$ 을 $17$ 로 바꾸면 합이 $4$ 만큼 증가합니다: $39 + 4 = 43$. 다음으로 가능한 가장 작은 합입니다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.B.4 단계 5

$43$ 이 소수인지 확인합니다.
$\sqrt{43} \approx 6.6$ 이므로 $2, 3, 5$ 로만 나눠 보면 됩니다.
$43$ 은 홀수, $4+3=7$ 은 $3$ 의 배수가 아니며 $0$ 또는 $5$ 로 끝나지 않습니다.
따라서 $43$ 은 소수입니다.

$$43 \text{ 은 } 2, 3, 5 \text{ 의 배수가 아님} \;\Rightarrow\; 43 \text{ 은 소수}$$

💡 $\sqrt{43}$ 이하의 소수만 확인하면 충분하므로 $2, 3, 5$ 만 검사합니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 6

더 작은 답이 없는지 확인합니다.
$39$ 와 $43$ 사이의 유일한 소수는 $41$.
가장 작은 홀수 소수 네 개의 합이 이미 $3+5+7+11 = 26$ 이므로 다섯 번째 소수는 $41 - 26 = 15$ 가 되어야 하는데, $15$ 는 소수가 아닙니다.
서로 다른 다섯 홀수 소수의 다른 어떤 조합도 합이 $43$ 이상입니다.
따라서 $43$ 이 최소입니다.

$$41 - (3 + 5 + 7 + 11) = 41 - 26 = 15, \;\; 15 = 3 \times 5 \text{ (소수 아님)}$$

💡 $39$ 와 $43$ 사이에는 $41$ 만 있는데, 어떤 허용 조합으로도 $41$ 을 만들 수 없으므로 $43$ 이 확정됩니다.

#6 추측하고 확인하기 2.NBT.A.1 단계 7

문제가 요구하는 대로 $43$ 의 각 자리 숫자를 더합니다.

$$4 + 3 = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 십의 자리 $4$ 와 일의 자리 $3$ 을 읽어 더하는 것은 2학년 자릿값 활동입니다.

[1] #3 2.OA.C.3 소수 $2$ 를 후보에서 지웁니다. $2$ 가 다섯 중 하나라면 나머지 넷은 서로 다른 홀수 소수이므로 합은 $2 + (\text{홀} + \t

[2] #6 4.NBT.B.4 첫 추측: 가장 작은 다섯 개의 홀수 소수 $3, 5, 7, 11, 13$ 을 사용합니다. 합이 가능한 한 작아지니, 이것이 소수이면 즉시 끝납

[3] #6 4.OA.B.4 $39$ 가 소수인지 확인합니다. 작은 약수부터 보면 $39 = 3 \times 13$, 즉 합성수입니다. 다음 합으로 넘어가야 합니다.

[4] #6 4.NBT.B.4 추측을 조정합니다. 합을 가능한 한 적게 키우려면 가장 큰 소수 $13$ 만 다음 소수 $17$ 로 바꿉니다. 다른 어떤 교체도 합을 더 많이

[5] #6 4.OA.B.4 $43$ 이 소수인지 확인합니다. $\sqrt{43} \approx 6.6$ 이므로 $2, 3, 5$ 로만 나눠 보면 됩니다. $43$ 은 홀수

[6] #3 4.OA.B.4 더 작은 답이 없는지 확인합니다. $39$ 와 $43$ 사이의 유일한 소수는 $41$. 가장 작은 홀수 소수 네 개의 합이 이미 $3+5+7+1

[7] #6 2.NBT.A.1 문제가 요구하는 대로 $43$ 의 각 자리 숫자를 더합니다.

검토

합리성 확인: 조건을 만족하는 합을 다시 계산: $3 + 5 + 7 + 11 + 17 = 8 + 7 + 11 + 17 = 15 + 11 + 17 = 26 + 17 = 43$. 다섯 소수는 모두 다르고 모두 홀수이며, $43$ 은 소수입니다. 자릿수 합 $4 + 3 = 7$ 은 선택지 (B). 다른 선택지는 쉽게 배제됩니다. (A) $5$ 가 나오는 두 자릿수 소수는 $23, 41$ 뿐인데 모두 $39$ 보다 작거나 다섯 소수의 합으로 만들 수 없습니다. (C) $8$ 은 $17, 53$, (D) $10$ 은 $19, 37, 73$, (E) $13$ 은 $67$ 이상 — 모두 $43$ 보다 작거나 큽니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지부터 거꾸로 접근: 답이 될 소수 $P$ 의 자릿수 합은 $\{5, 7, 8, 10, 13\}$ 중 하나이고, 홀수이며 $P \geq 3+5+7+11+13 = 39$. $39$ 보다 큰 가장 작은 후보 소수는 자릿수 합 순서대로 $41$(합 $5$), $43$(합 $7$), $53$(합 $8$), $73$(합 $10$), $67$(합 $13$). $41$ 을 먼저 검사: 다섯 번째 소수가 $15$ 가 되어야 하므로 불가능. 다음 $43$ 검사: $\{3,5,7,11,17\}$ 로 가능. 따라서 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 약수쌍 찾기 및 주어진 수가 소수인지 합성수인지 판정 ($39 = 3 \times 13$ 이 합성수임을, $43$ 이 ($\sqrt{43}$ 이하 소수에 의해 나뉘지 않으므로) 소수임을, $15$ 가 합성수임을 판정 — 탐색을 이끄는 약수 검증.)
2.OA.C.3 사물의 개수가 홀수인지 짝수인지 판단 ($2 + \text{홀} + \text{홀} + \text{홀} + \text{홀}$ 이 짝수임을 보여, $2$ 를 포함하는 어떤 합도 $2$ 보다 큰 소수가 될 수 없음을 도출.)
4.NBT.B.4 표준 알고리즘으로 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈 능숙히 수행 (후보 합 $3+5+7+11+13 = 39$ 와 $3+5+7+11+17 = 43$ 의 계산.)
2.NBT.A.1 두 자리 수가 십의 자리와 일의 자리로 이루어진다는 자릿값 이해 ($43$ 의 십의 자리와 일의 자리를 읽어 자릿수 합 $4 + 3 = 7$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 홀짝 논리로 $2$ 를 빼고, 가장 작은 다섯 홀수 소수부터 더한 뒤 합이 소수가 될 때까지 가장 큰 것만 한 칸씩 올리세요. 두 번째 시도에서 $43$ 이 나오고, 자릿수 합은 $7$ 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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