AMC 10 · 2024 · #4

학년 6 arithmeticnumber-theory

multi-digit-arithmeticbound-inequality-then-enumerateinterval-arithmetic bound-inequality-then-enumerateoptimization-counting ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmultiples

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The number $2024$ is written as the sum of not necessarily distinct two-digit numbers. What is the least number of two-digit numbers needed to write this sum?

$\textbf{(A) }20\qquad\textbf{(B) }21\qquad\textbf{(C) }22\qquad\textbf{(D) }23\qquad\textbf{(E) }24$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2024$ 를 두 자리 수들의 합으로 나타냅니다(중복 허용). 가장 적게 사용했을 때 두 자리 수는 몇 개가 필요한가요?

주어진 것: 목표 합은 $2024$; 각 항은 두 자리 양의 정수, 즉 $10$ 이상 $99$ 이하; 같은 수를 여러 번 써도 된다; 선택지: (A) $20$, (B) $21$, (C) $22$, (D) $23$, (E) $24$

구하는 것: 필요한 두 자리 수의 최소 개수

이해

문제 재정리: $2024$ 를 두 자리 수들의 합으로 나타냅니다(중복 허용). 가장 적게 사용했을 때 두 자리 수는 몇 개가 필요한가요?

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

"최소 몇 개" 문제는 사실 두 개의 작은 문제를 품고 있어, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 정리하면 깔끔합니다. 작은 문제 A: 적어도 몇 개는 있어야 하는가? 각 항은 최대 $99$ 이므로 $n$ 개로 만들 수 있는 최대 합은 $99n$ 이고, 이걸로 $n$ 의 하한을 구합니다. 작은 문제 B: 그 하한을 실제 두 자리 수로 만들어낼 수 있는가? 여기에 도구 #6(추측하고 확인하기)을 붙여 경계값 $n = 20$ 과 $n = 21$ 을 직접 시험합니다. 하나는 부족하고 하나는 가능하므로 답이 곧바로 결정됩니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.8 단계 1

작은 문제 A — 하한을 구합니다.
두 자리 수 $n$ 개를 쓰면 각 항은 최대 $99$ 이므로 총합은 $99n$ 을 넘을 수 없습니다.
합이 $2024$ 가 되려면 $99n \ge 2024$ 가 성립해야 합니다.

$$99n \ge 2024 \;\Rightarrow\; n \ge \dfrac{2024}{99}$$

💡 조건을 부등식으로 옮기는 것은 6학년의 "$n \ge c$" 그대로입니다. $n$ 은 적어도 $\tfrac{2024}{99}$ 만큼은 되어야 합니다.

#6 추측하고 확인하기 6.NS.B.2 단계 2

곱셈으로 부등식을 수로 옮깁니다.
$99 \times 20 = 1980 < 2024$ 이므로 $n = 20$ 은 부족합니다.
$n = 21$ 을 시도하면 $99 \times 21 = 2079 \ge 2024$ 이므로 경계를 넘습니다.

$$99 \times 20 = 1980 \;\;\text{(부족)}, \quad 99 \times 21 = 2079 \;\;\text{(충분)}$$

💡 6학년 능숙한 다자리 계산: $99$ 에 $20$ 과 $21$ 을 곱해, 어느 쪽이 처음으로 $2024$ 를 넘는지만 확인하면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.2 단계 3

작은 문제 B — $n = 21$ 이 실제로 가능한지 보입니다.
두 자리 수 $21$ 개의 합으로 $2024$ 를 만들어야 합니다.
$2024 = 99 \times 20 + r$ 로 두고 $r$ 을 구합니다.

$$2024 - 20 \times 99 = 2024 - 1980 = 44$$

💡 $99$ 를 스무 개 쓰고 나면 $44$ 가 남는데, $44$ 자체가 두 자리 수이므로 $21$ 번째 항으로 그대로 쓰면 됩니다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.5 단계 4

예시를 조립해 마무리합니다.
$99$ 가 스무 개에 $44$ 한 개를 더하면 정확히 두 자리 수 $21$ 개로 $2024$ 가 됩니다.
단계 2의 하한과 합치면 최솟값은 $21$ 입니다.

$$\underbrace{99 + 99 + \cdots + 99}_{20 \text{ 개}} + 44 = 1980 + 44 = 2024 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 후보 $n = 21$ 이 실제 합으로 확인되었으므로 부등식의 하한이 도달 가능합니다 — 6학년 "이 $n$ 이 해가 되나?" 검산이 문제를 마무리합니다.

[1] #7 6.EE.B.8 작은 문제 A — 하한을 구합니다. 두 자리 수 $n$ 개를 쓰면 각 항은 최대 $99$ 이므로 총합은 $99n$ 을 넘을 수 없습니다. 합이

[2] #6 6.NS.B.2 곱셈으로 부등식을 수로 옮깁니다. $99 \times 20 = 1980 < 2024$ 이므로 $n = 20$ 은 부족합니다. $n = 21$ 을

[3] #7 6.NS.B.2 작은 문제 B — $n = 21$ 이 실제로 가능한지 보입니다. 두 자리 수 $21$ 개의 합으로 $2024$ 를 만들어야 합니다. $2024

[4] #6 6.EE.B.5 예시를 조립해 마무리합니다. $99$ 가 스무 개에 $44$ 한 개를 더하면 정확히 두 자리 수 $21$ 개로 $2024$ 가 됩니다. 단계 2

검토

합리성 확인: 경계를 다시 확인해 봅시다. $20$ 개를 쓰면 가능한 최대 합이 $20 \times 99 = 1980$ 이라 $2024$ 에서 $44$ 가 부족합니다. 모든 항이 이미 최댓값이라 더 보탤 여지가 없으므로 $20$ 개는 불가능합니다. $21$ 개로는 합이 정확히 $2024$ 가 되는 예시를 직접 만들었으므로 가능합니다. 따라서 답은 $21$, (B) 와 일치합니다. 게다가 사용한 값이 $99$ 와 $44$ 두 종류뿐이라 구성도 단순합니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 문제를 작게 바꿉니다. "$20$ 을 한 자리 수($1$ ~ $9$)들의 합으로 가장 적게 만들어라." 한 자리 수 최댓값은 $9$ 이고 $9 \times 2 = 18 < 20$, $9 \times 3 = 27 \ge 20$ 이므로 최소는 $3$ 개(예: $9 + 9 + 2$). 같은 원리, 즉 "목표를 최댓값으로 올림 나눗셈" 입니다. 원 문제에 적용하면 $\lceil 2024 / 99 \rceil = 21$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식 쓰기와 수직선 위 표현 ("각 항은 최대 $99$" 라는 조건을 부등식 $99n \ge 2024$ 로 옮겨 항의 개수 하한을 정하는 데 사용.)
6.NS.B.2 표준 알고리즘으로 다자리 수 나눗셈을 능숙하게 수행 ($99 \times 20 = 1980$ 과 $99 \times 21 = 2079$ 를 계산해 $2024$ 를 사이에 끼우고, $2024 - 1980 = 44$ 로 남는 항을 구하는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식·부등식을 푸는 것은 값을 찾는 과정임을 이해 ($n = 21$ 이 단지 산술적 하한이 아니라 실제로 해가 됨을 (예시 구성으로) 확인하는 데 사용.)

⭐ "가장 적게" 문제는 "한 조각은 가장 크게?"로 뒤집어 보면 쉬워집니다 — AMC 10 의 앞쪽 문제는 이런 6학년 부등식 + 검산 한 수가 자주 통합니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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