AMC 10 · 2024 · #5

학년 6 number-theory

prime-factorizationfactorialdivisibility-rulesmultiples identify-subproblemsbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: prime-numbersfactorsmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

What is the least value of $n$ such that $n!$ is a multiple of $2024$ ?

$\textbf{(A) } 11\qquad\textbf{(B) } 21\qquad\textbf{(C) } 22\qquad\textbf{(D) } 23\qquad\textbf{(E) } 253$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

253

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $n!$ 이 $2024$ 의 배수가 되는 가장 작은 양의 정수 $n$ 을 구하세요.

주어진 것: $n!$ 은 $1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$ 을 의미한다; $n!$ 이 $2024$ 로 나누어떨어져야 한다 (즉 $2024 \mid n!$); 선택지: (A) $11$, (B) $21$, (C) $22$, (D) $23$, (E) $253$

구하는 것: $n!$ 이 $2024$ 의 배수가 되는 가장 작은 $n$ 의 값

이해

문제 재정리: $n!$ 이 $2024$ 의 배수가 되는 가장 작은 양의 정수 $n$ 을 구하세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 선택지 지우기

$2024 \mid n!$ 조건은 그대로 보면 막막하지만 잘게 쪼개면 쉬워집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)에 따라 먼저 $2024$ 를 소인수분해하고, 각 소수마다 $n!$ 이 그 소수를 포함하는지 따로 확인합니다 — $n!$ 이 $2024$ 의 배수가 되려면 소인수분해의 각 거듭제곱이 모두 들어 있어야 합니다. 가장 큰 소수가 $n$ 의 최저선을 정해 줍니다. 이어서 도구 #3(선택지 지우기)으로 그 최저선보다 작은 선택지를 한 번에 잘라내면, 그 선을 만족하는 가장 작은 후보가 곧 답이 됩니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

작은 문제 1: $2024$ 를 소인수분해.
짝수 인수 $2$ 를 계속 빼낸 뒤, 남은 홀수 부분을 인수분해합니다.

$$2024 = 2 \times 1012 = 2^2 \times 506 = 2^3 \times 253,\;\; 253 = 11 \times 23 \;\Rightarrow\; 2024 = 2^3 \times 11 \times 23$$

💡 $253 = 11 \times 23$ 을 알아내는 것은 4학년 "인수쌍 찾기" 단계이고, $11$ 과 $23$ 은 둘 다 소수입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 2

작은 문제 2: $2024 \mid n!$ 을 $n$ 에 대한 조건으로 바꿉니다.
$n!$ 은 $1$ 부터 $n$ 까지 모든 정수의 곱이므로 그 소인수에는 $p \le n$ 인 모든 소수 $p$ 가 들어 있습니다.
따라서 $n!$ 이 $11$ 과 $23$ 을 모두 포함하려면 $n \ge 11$ 과 $n \ge 23$ 이 동시에 성립해야 하고, 더 큰 쪽이 이깁니다.
결국 $n \ge 23$.

$$n \ge 23 \;\Longleftrightarrow\; 11 \mid n! \text{ 이고 } 23 \mid n!$$

💡 팩토리얼이 어떤 소수를 가지는지 묻는 것은 "이 수들을 모두 담는 가장 작은 그릇" 발상, 곧 6학년 GCF/LCM 의 사고와 같습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 3

작은 문제 3: $2^3$ 조건은 자동으로 채워짐을 확인.
$1, 2, \ldots, 23$ 중 짝수 $2$, $4$, $6$, $8$ 만 봐도 $2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^1 \cdot 2^3 = 2^7$, 이는 필요한 $2^3$ 보다 훨씬 큽니다.
그래서 $n \ge 23$ 이 되는 순간 $2$ 의 지수는 절대 발목 잡지 않습니다.

$$2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 = 2^{1+2+1+3} = 2^7 \;\Rightarrow\; n \ge 8 \text{ 이면 } 2^3 \mid n!$$

💡 같은 밑끼리는 지수를 더한다 — $2^a \cdot 2^b = 2^{a+b}$ — 라는 6학년 지수 법칙입니다. $7 > 3$ 이므로 $2$ 쪽은 여유롭습니다.

#3 선택지 지우기 6.NS.B.4 단계 4

$n \ge 23$ 이라는 최저선으로 선택지를 정리합니다.
(A) $11$, (B) $21$, (C) $22$ 는 모두 $23$ 보다 작으므로 그들의 팩토리얼에는 소수 $23$ 이 들어 있지 않고, 따라서 $2024$ 의 배수가 될 수 없습니다.
(E) $253$ 은 조건을 만족하지만 가장 작은 값이 아닙니다.
(D) $23$ 은 $2^3$, $11$, $23$ 을 모두 갖추므로 $23!$ 이 $2024$ 로 나누어떨어집니다.

$$\text{조건을 만족하는 가장 작은 } n = 23 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 가장 큰 소수가 최저선을 정하면 더 작은 선택지들은 한 줄로 지워집니다 — 최소공배수형 문제의 "가장 큰 소수가 병목" 정석입니다.

[1] #7 4.OA.B.4 작은 문제 1: $2024$ 를 소인수분해. 짝수 인수 $2$ 를 계속 빼낸 뒤, 남은 홀수 부분을 인수분해합니다.

[2] #7 6.NS.B.4 작은 문제 2: $2024 \mid n!$ 을 $n$ 에 대한 조건으로 바꿉니다. $n!$ 은 $1$ 부터 $n$ 까지 모든 정수의 곱이므로 그

[3] #7 6.EE.A.1 작은 문제 3: $2^3$ 조건은 자동으로 채워짐을 확인. $1, 2, \ldots, 23$ 중 짝수 $2$, $4$, $6$, $8$ 만 봐도

[4] #3 6.NS.B.4 $n \ge 23$ 이라는 최저선으로 선택지를 정리합니다. (A) $11$, (B) $21$, (C) $22$ 는 모두 $23$ 보다 작으므로

검토

합리성 확인: $n = 23$ 이 되고, $n = 22$ 가 안 되는지 확인합니다. $23! = 1 \cdot 2 \cdots 22 \cdot 23$ 에는 $23$ 이 직접 들어 있고, $11 \le 23$ 이므로 $11$ 도 들어 있고, $8 \le 23$ 이므로 $2^3$ 도 들어 있습니다. 셋의 곱이 $2024$ 이므로 $2024 \mid 23!$. 반대로 $22!$ 은 $23$ 이 소수인데 곱 $1 \cdot 2 \cdots 22$ 어디에도 등장하지 않으므로 $23 \nmid 22!$, 곧 $2024 \nmid 22!$. 양쪽이 모두 일치하므로 답이 $23$ 임을 확정할 수 있습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 선택지를 차례로 확인할 수도 있습니다. $n = 11$ ($23$ 없음 — 실패), $n = 21$ ($23$ 없음 — 실패), $n = 22$ ($23$ 없음 — 실패), $n = 23$ ($23$, $11$, $2$ 모두 충분 — 성공). 처음으로 성공한 (D) 가 답. 작은 문제로 쪼개는 깔끔함은 잃지만 선택지를 직접 훑는다는 장점이 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 모든 인수쌍을 찾고 배수를 알아보기; 소수와 합성수 판별 ($2024$ 를 소인수분해하고 $253 = 11 \times 23$ 의 두 인수가 모두 소수임을 확인하는 데 사용.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($2024 \mid n!$ 을 "$n!$ 이 $2024$ 의 모든 소수를 포함해야 한다" 는 조건으로 바꾸는 데 사용. 최소공배수의 "가장 작은 그릇" 발상과 같음.)
6.EE.A.1 자연수 지수가 들어간 수식 쓰고 계산하기 ($n!$ 안의 $2$ 의 지수를 합으로 추적: $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 = 2^{1+2+1+3} = 2^7 \ge 2^3$.)

⭐ $2024 = 2^3 \times 11 \times 23$ 으로 쪼개는 순간 이 AMC 10 문제는 6학년 문제가 됩니다 — 가장 큰 소수 $23$ 만 보면 답이 숨을 곳이 없죠.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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