AMC 10 · 2024 · #6
학년 4 counting문제
What is the minimum number of successive swaps of adjacent letters in the string that are needed to change the string to (For example, swaps are required to change to one such sequence of swaps is
)
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 문자열 $ABCDEF$ 에서 이웃한 두 문자를 한 번에 한 쌍씩 바꿔 가며 거꾸로 뒤집은 문자열 $FEDCBA$ 를 만들려고 합니다. 이때 필요한 인접 교환 횟수의 최솟값을 구하세요.
주어진 것: 시작 문자열: $ABCDEF$ (길이 $6$); 목표 문자열: $FEDCBA$ (뒤집은 형태); 한 번의 동작은 옆에 붙어 있는 두 문자만 자리 바꾸기; 예시: $ABC \to BAC \to BCA \to CBA$ 는 $3$ 번 교환; 선택지: (A) $6$, (B) $10$, (C) $12$, (D) $15$, (E) $24$
구하는 것: 길이 $6$ 문자열을 뒤집는 데 필요한 인접 교환의 최소 횟수
이해
문제 재정리: 문자열 $ABCDEF$ 에서 이웃한 두 문자를 한 번에 한 쌍씩 바꿔 가며 거꾸로 뒤집은 문자열 $FEDCBA$ 를 만들려고 합니다. 이때 필요한 인접 교환 횟수의 최솟값을 구하세요.
주어진 것: 시작 문자열: $ABCDEF$ (길이 $6$); 목표 문자열: $FEDCBA$ (뒤집은 형태); 한 번의 동작은 옆에 붙어 있는 두 문자만 자리 바꾸기; 예시: $ABC \to BAC \to BCA \to CBA$ 는 $3$ 번 교환; 선택지: (A) $6$, (B) $10$, (C) $12$, (D) $15$, (E) $24$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #5 패턴 찾기
길이 $6$ 짜리를 한 번에 셈하기는 헷갈리기 쉽습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)에 따라 길이를 줄여 봅시다. 문제가 이미 $ABC$(길이 $3$)는 $3$ 번이라고 알려 줬으니, 길이 $2$, $4$, $5$ 까지 우리가 직접 세어 보면 됩니다. 작은 경우들이 모이면 도구 #5(패턴 찾기)로 $1, 3, 6, 10, \ldots$ 의 규칙(길이가 하나 커질 때마다 다음 정수만큼 증가)을 알아내고, 그 규칙으로 길이 $6$ 의 답을 대수 없이 끌어낼 수 있습니다.
실행 — 정답: D
3.OA.D.8 단계 1 - 쉬운 경우: 길이 $2$.
- $AB$ 를 $BA$ 로 뒤집으려면 한 번이면 됩니다.
- 기록: 길이 $2 \Rightarrow 1$ 번.
💡 가장 작은 경우부터 시작하면 셈에서 헤맬 일이 없습니다.
3.OA.D.8 단계 2 - 쉬운 경우: 길이 $3$.
- 문제에서 이미 $ABC \to BAC \to BCA \to CBA$ 가 $3$ 번이라고 알려 줬습니다.
- 기록: 길이 $3 \Rightarrow 3$ 번.
💡 문제가 준 예시를 그대로 쓰면 시간도 아끼고 셈 방식도 확정할 수 있습니다.
3.OA.D.8 단계 3 - 쉬운 경우: 길이 $4$.
- 마지막 문자 $D$ 를 맨 앞으로 옮기는 데 $3$ 번, 남은 $ABC$ 를 안에서 뒤집는 데 길이-$3$ 결과로 다시 $3$ 번.
- 합계 $3 + 3 = 6$ 번.
💡 마지막 문자를 맨 앞으로 보내는 비용은 항상 (길이 $-1$) 번이고, 그 다음은 한 단계 더 짧은 같은 문제가 됩니다.
3.OA.D.8 단계 4 - 쉬운 경우: 길이 $5$.
- 같은 방법으로 $E$ 를 맨 앞으로 보내는 데 $4$ 번, 남은 $ABCD$ 를 뒤집는 데 $6$ 번.
- 합계 $4 + 6 = 10$ 번.
💡 맨 뒤에 추가된 문자는 (길이 $-1$) 번 만에 맨 앞으로 보내고, 그 다음은 더 작은 답이 그대로 이어집니다.
4.OA.C.5 단계 5 - 패턴을 봅시다.
- 답을 표로 늘어놓고 차이를 봅니다.
💡 각 줄은 바로 앞 줄보다 하나 더 큰 수만큼 늘어납니다. 이것이 삼각수 $1, 3, 6, 10, 15, \ldots$ 입니다.
4.OA.A.3 단계 6 - 패턴을 한 줄 더 늘려 길이 $6$ 까지 갑시다.
- 다음 증가는 $+5$, 그러므로 답은 $10 + 5 = 15$.
💡 같은 규칙(마지막 문자를 앞으로 $5$ 번, 그 뒤에 길이-$5$ 의 $10$ 번)으로 확인해도 $5 + 10 = 15$ 로 같습니다.
3.OA.D.8 쉬운 경우: 길이 $2$. $AB$ 를 $BA$ 로 뒤집으려면 한 번이면 됩니다. 기록: 길이 $2 \Rightarrow 1$ 번. 3.OA.D.8 쉬운 경우: 길이 $3$. 문제에서 이미 $ABC \to BAC \to BCA \to CBA$ 가 $3$ 번이라고 알려 줬습니다. 기록: 길이 3.OA.D.8 쉬운 경우: 길이 $4$. 마지막 문자 $D$ 를 맨 앞으로 옮기는 데 $3$ 번, 남은 $ABC$ 를 안에서 뒤집는 데 길이-$3$ 결과로 다 3.OA.D.8 쉬운 경우: 길이 $5$. 같은 방법으로 $E$ 를 맨 앞으로 보내는 데 $4$ 번, 남은 $ABCD$ 를 뒤집는 데 $6$ 번. 합계 $4 + 4.OA.C.5 패턴을 봅시다. 답을 표로 늘어놓고 차이를 봅니다. 4.OA.A.3 패턴을 한 줄 더 늘려 길이 $6$ 까지 갑시다. 다음 증가는 $+5$, 그러므로 답은 $10 + 5 = 15$. 검토
합리성 확인: 다른 셈 방식으로도 확인해 봅시다. 처음과 끝에서 순서가 "뒤집힌" 문자 쌍이 몇 개일까요? $ABCDEF$ 에서는 모든 쌍이 알파벳 순서이고, $FEDCBA$ 에서는 모든 쌍이 반대 순서입니다. 따라서 모든 쌍이 정확히 한 번씩 엇갈려야 하고, 인접 교환 한 번은 정확히 한 쌍만 뒤집습니다. $6$ 개 문자 중 두 개를 고르는 쌍의 개수는 $\dfrac{6 \cdot 5}{2} = 15$, 그래서 최솟값도 $15$. (D) 와 일치합니다. 또한 (A) $6$ 과 (B) $10$ 은 너무 작고(길이-$5$ 만 해도 $10$), (E) $24$ 는 낭비, (C) $12$ 는 삼각수 단에 걸리지 않으므로 자연스러운 풀이가 없습니다.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기)로 같은 자료를 공식으로 정리하면, 길이 $2, 3, 4, 5, 6$ 의 답 $1, 3, 6, 10, 15$ 는 삼각수 $T_{n-1} = \dfrac{(n-1)n}{2}$. $n = 6$ 을 넣으면 $T_5 = \dfrac{5 \cdot 6}{2} = 15$, 다시 (D). 위의 "쌍의 개수" 셈과 같은 발상을 식으로 적은 것뿐입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.OA.D.8사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결하기 (길이 $2$, $3$, $4$, $5$ 의 교환 수를 "마지막 문자를 앞으로 보내고, 나머지를 뒤집기" 두 단계로 나누어 세는 데 사용.)4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수 패턴을 만들고 그 특징을 알아보기 (작은 경우의 답 $1, 3, 6, 10$ 을 늘어놓고 "다음 항마다 하나 더 큰 수만큼 증가" 라는 삼각수 규칙을 알아내는 데 사용.)4.OA.A.3사칙연산을 이용한 자연수의 여러 단계 문장제 해결하기 (패턴을 한 단계 늘려 $10 + 5 = 15$ 로 길이 $6$ 의 답을 마무리하는 데 사용.)
⭐ 문자열이 너무 길게 느껴질 땐 먼저 짧게 줄여 보자. 길이 $2, 3, 4, 5$ 는 $1, 3, 6, 10$ 번 — 다음 계단은 $+5$ 이므로 길이 $6$ 은 $15$ 번.
⭐ 문자열이 너무 길게 느껴질 땐 먼저 짧게 줄여 보자. 길이 $2, 3, 4, 5$ 는 $1, 3, 6, 10$ 번 — 다음 계단은 $+5$ 이므로 길이 $6$ 은 $15$ 번.
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