AMC 10 · 2024 · #7

학년 7 number-theoryarithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search

factorsparitysystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticprime-factorization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

The product of three integers is $60$ . What is the least possible positive sum of the
three integers?

$\textbf{(A) }2\qquad\textbf{(B) }3\qquad\textbf{(C) }5\qquad\textbf{(D) }6\qquad\textbf{(E) }13$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 정수의 곱이 $60$ 입니다. 이때 가능한 합 중에서 양수이면서 가장 작은 값을 구하세요.

주어진 것: 세 정수 $a, b, c$ 에 대해 $a \cdot b \cdot c = 60$; 정수는 양수일 수도, 음수일 수도 있습니다 (양수에 한정된 표현이 아님); 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $13$

구하는 것: $a + b + c$ 가 양수인 경우의 최솟값

이해

문제 재정리: 세 정수의 곱이 $60$ 입니다. 이때 가능한 합 중에서 양수이면서 가장 작은 값을 구하세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

양수 곱이 나오려면 음수 인수의 개수가 짝수여야 한다는 부호 규칙으로 문제를 두 작은 문제로 깔끔히 쪼갤 수 있습니다 (도구 #7). 경우 A — 셋 다 양수, 경우 B — 한 개 양수와 두 개 음수. 각 경우에 등장하는 $60$ 의 인수 삼중쌍은 유한 개이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 차례대로 나열하고 합을 계산해 양수인 가장 작은 값을 추리면 됩니다. 마지막에 두 경우의 최솟값을 비교하면 전체 답이 나옵니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.2 단계 1

부호로 경우를 나눕니다.
세 정수의 곱이 $60 > 0$ 이 되려면 음수 인수의 개수가 짝수여야 합니다.
세 개 중 짝수이려면 $0$ 개(모두 양수) 또는 $2$ 개(양수 한 개, 음수 두 개).
두 경우를 따로 다룹니다.

$$\text{경우 A: } a,b,c > 0. \qquad \text{경우 B: } a > 0,\; b,c < 0.$$

💡 7학년 곱셈 부호 규칙: 음수 $\times$ 음수 $=$ 양수이므로 음수 두 개는 서로 상쇄되어 곱은 그대로 양수입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.B.4 단계 2

경우 A: $60$ 의 인수 삼중쌍을 작은 것부터 차례대로 나열합니다.
합을 작게 하려면 인수들을 서로 가깝게 모아야 한다는 감각으로 첫 인수를 $1$ 부터 키워 갑니다.

$$1 \cdot 1 \cdot 60 = 60,\; \text{합 } 62.\;\; 1 \cdot 2 \cdot 30,\; 33.\;\; 1 \cdot 3 \cdot 20,\; 24.\;\; 1 \cdot 4 \cdot 15,\; 20.\;\; 1 \cdot 5 \cdot 12,\; 18.\;\; 1 \cdot 6 \cdot 10,\; 17.\;\; 2 \cdot 2 \cdot 15,\; 19.\;\; 2 \cdot 3 \cdot 10,\; 15.\;\; 2 \cdot 5 \cdot 6,\; 13.\;\; 3 \cdot 4 \cdot 5,\; 12.$$

💡 6학년 인수 다루기: 첫 인수를 $1$ 부터 차례로 올리면서 남은 몫의 인수쌍을 함께 적어 빠짐없이 훑습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.B.4 단계 3

경우 A 의 최솟값을 읽습니다.
위 목록에서 가장 작은 합은 $3 + 4 + 5 = 12$ 이고, 인수들이 서로 가장 가까울 때 나타납니다.

$$\min_{\text{경우 A}}(a+b+c) = 3+4+5 = 12.$$

💡 곱이 고정일 때 인수들이 서로 가까울수록 합이 줄어든다는 감각 — 목록만 훑어봐도 보입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.NS.A.1 단계 4

경우 B: 삼중쌍을 $(p, -q, -r)$ 로 쓰면 ($p, q, r > 0$, $pqr = 60$), 합은 $p - q - r$ 가 됩니다.
양수이면서 작게 만들려면 $p$ 가 $q + r$ 보다 살짝만 커야 합니다.
같은 인수 삼중쌍 목록을 다시 쓰되 이번에는 가장 큰 인수를 $p$ 에 배정합니다.

$$\text{합 } = p - (q+r),\;\; \text{양수 조건: } p > q+r.$$

💡 7학년 정수 덧셈: 양수에 음수 두 개를 더하는 것은 $p$ 에서 두 절댓값의 합을 빼는 것과 같습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.NS.A.1 단계 5

경우 B 후보들을 훑습니다.
각 삼중쌍마다 가장 큰 값을 $p$ 로 두고 $p - q - r$ 을 계산.
양수인 값만 추적해 점점 줄여 갑니다.
- $\{1,1,60\}$: $60-1-1 = 58$.
- $\{1,2,30\}$: $30-1-2 = 27$.
- $\{1,3,20\}$: $20-1-3 = 16$.
- $\{1,4,15\}$: $15-1-4 = 10$.
- $\{1,5,12\}$: $12-1-5 = 6$.
- $\{1,6,10\}$: $10-1-6 = 3$.
(양수, 작음) - $\{2,2,15\}$: $15-2-2 = 11$.
- $\{2,3,10\}$: $10-2-3 = 5$.
- $\{2,5,6\}$: $6-2-5 = -1$ (양수 아님, 제외).
- $\{3,4,5\}$: $5-3-4 = -2$ (양수 아님, 제외).

$$\min_{\text{경우 B, 양수}}(p-q-r) = 10 - 6 - 1 = 3,\;\; \text{즉 } (10, -6, -1).$$

💡 $p$ 가 $q+r$ 보다 작아지는 순간 합이 음수가 되므로, 가장 작은 양의 합은 $p \approx q+r$ 인 경계에서 나옵니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.7 단계 6

두 경우의 최솟값을 비교합니다.
경우 A 는 $12$, 경우 B 는 $3$.
전체 최소 양의 합은 $3$, 선택지 (B) 입니다.

$$\min(12,\;3) = 3 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}.$$

💡 6학년 정수 크기 비교: 두 값 중 더 작은 쪽을 고르면 끝.

[1] #7 7.NS.A.2 부호로 경우를 나눕니다. 세 정수의 곱이 $60 > 0$ 이 되려면 음수 인수의 개수가 짝수여야 합니다. 세 개 중 짝수이려면 $0$ 개(모두

[2] #2 6.NS.B.4 경우 A: $60$ 의 인수 삼중쌍을 작은 것부터 차례대로 나열합니다. 합을 작게 하려면 인수들을 서로 가깝게 모아야 한다는 감각으로 첫 인수를

[3] #2 6.NS.B.4 경우 A 의 최솟값을 읽습니다. 위 목록에서 가장 작은 합은 $3 + 4 + 5 = 12$ 이고, 인수들이 서로 가장 가까울 때 나타납니다.

[4] #2 7.NS.A.1 경우 B: 삼중쌍을 $(p, -q, -r)$ 로 쓰면 ($p, q, r > 0$, $pqr = 60$), 합은 $p - q - r$ 가 됩니다.

[5] #2 7.NS.A.1 경우 B 후보들을 훑습니다. 각 삼중쌍마다 가장 큰 값을 $p$ 로 두고 $p - q - r$ 을 계산. 양수인 값만 추적해 점점 줄여 갑니다.

[6] #7 6.NS.C.7 두 경우의 최솟값을 비교합니다. 경우 A 는 $12$, 경우 B 는 $3$. 전체 최소 양의 합은 $3$, 선택지 (B) 입니다.

검토

합리성 확인: 당선 삼중쌍 $(10, -6, -1)$ 을 끝까지 검산합니다. 곱: $10 \cdot (-6) \cdot (-1) = 10 \cdot 6 = 60$, 일치. 합: $10 + (-6) + (-1) = 10 - 7 = 3$, 요구대로 양수. 합이 $1$ 또는 $2$ 가 되는 경우는 없을까요? 경우 B 에서 $p - q - r \in \{1, 2\}$ 이려면 $p = q + r + 1$ 또는 $p = q + r + 2$ 이면서 $pqr = 60$. $60$ 의 약수 삼중쌍을 모두 따져 보면: $(60,1,1) \to 58$, $(30,2,1) \to 27$, $(20,3,1) \to 16$, $(15,4,1) \to 10$, $(12,5,1) \to 6$, $(10,6,1) \to 3$, 그 이후는 모두 $3$ 보다 작거나 음수. 따라서 $3$ 이 진짜 최솟값이고 답은 (B) 로 확정됩니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기): $60$ 의 약수 삼중쌍을 가장 큰 인수 $p$ 가 큰 것부터 정렬해 보면, 경우 B 의 합 $p - q - r$ 이 단조롭게 줄어들다가 결국 음수로 떨어집니다. 그 직전의 마지막 양수가 곧 최솟값. 그 "$0$ 으로 떨어지기 직전의 양수" 가 $(10,6,1) \to 3$ 이므로, 전체를 다 확인하지 않아도 답이 (B) 임을 알 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.NS.A.2 유리수의 곱셈·나눗셈으로 곱셈에 대한 이해 확장하기 (부호 경우 나누기 — 세 정수의 곱이 양수가 되려면 음수 인수의 개수가 $0$ 또는 $2$.)
6.NS.B.4 최대공약수·최소공배수 구하기; 인수 나열·활용 (두 경우 모두에서 $60$ 의 순서 없는 인수 삼중쌍을 체계적으로 나열.)
7.NS.A.1 유리수의 덧셈·뺄셈으로 덧셈에 대한 이해 확장하기 (혼합 부호 경우에서 $p + (-q) + (-r) = p - q - r$ 을 계산하고 그 값이 양수로 남는 구간을 추적.)
6.NS.C.7 유리수의 크기 비교와 절댓값 이해 (두 경우의 최솟값 ($12$ 와 $3$) 을 비교해 더 작은 쪽 선택.)

⭐ 음수 $\times$ 음수 $=$ 양수이므로 음수 두 개를 끼우면 거대한 인수 $10$ 도 합 $3$ 으로 줄어듭니다. 먼저 부호 경우를 쪼개고 그다음에 인수 삼중쌍을 나열하는 두 단계만 거치면, 이 AMC 10 문제는 6-7학년 수준의 작업으로 바뀝니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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