AMC 10 · 2024 · #8

학년 6 rate-ratioalgebra

rateunit-conversionlinear-equations-one-var identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Amy, Bomani, Charlie, and Daria work in a chocolate factory. On Monday Amy, Bomani, and Charlie started working at $1:00 \ \mathrm{PM}$ and were able to pack $4$ , $3$ , and $3$ packages, respectively, every $3$ minutes. At some later time, Daria joined the group, and Daria was able to pack $5$ packages every $4$ minutes. Together, they finished packing $450$ packages at exactly $2:45\ \mathrm{PM}$ . At what time did Daria join the group?

$\textbf{(A) }1:25\text{ PM}\qquad\textbf{(B) }1:35\text{ PM}\qquad\textbf{(C) }1:45\text{ PM}\qquad\textbf{(D) }1:55\text{ PM}\qquad\textbf{(E) }2:05\text{ PM}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$1:25 ext{ PM}$

(B)

$1:35 ext{ PM}$

(C)

$1:45 ext{ PM}$

(D)

$1:55 ext{ PM}$

(E)

$2:05 ext{ PM}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 에이미, 보마니, 찰리가 $1{:}00$ PM에 포장을 시작하며 $3$ 분마다 각각 $4$, $3$, $3$ 개의 박스를 포장합니다. 다리아는 나중에 합류해 $4$ 분마다 $5$ 개를 포장합니다. 네 명이 함께 $2{:}45$ PM에 정확히 $450$ 개를 끝냈습니다. 다리아가 합류한 시각은 언제일까요?

주어진 것: 에이미, 보마니, 찰리는 $1{:}00$ PM에 시작하며 $3$ 분마다 각각 $4$, $3$, $3$ 개를 포장한다; 다리아는 $4$ 분마다 $5$ 개를 포장한다; 전체 작업은 $2{:}45$ PM에 $450$ 개로 마무리된다; 선택지: (A) $1{:}25$ PM, (B) $1{:}35$ PM, (C) $1{:}45$ PM, (D) $1{:}55$ PM, (E) $2{:}05$ PM

구하는 것: 다리아가 합류한 시각

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기

문제 속에는 두 개의 작업이 숨어 있습니다. 첫째, 세 사람이 전체 근무 시간 동안 얼마나 포장했는가. 둘째, $450$ 개를 채우기 위해 다리아가 얼마를 더해야 했는가. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)에 따라 이 둘을 분리합니다. 세 사람의 속도를 합쳐 $105$ 분에 곱하면 그들의 몫이 나오고, $450$ 에서 빼면 다리아의 몫이 남습니다. 다리아가 포장한 개수를 알면 그녀의 속도로 일한 시간을 계산할 수 있습니다. 그다음은 도구 #11(거꾸로 풀기)의 자리입니다. 끝낸 시각($2{:}45$ PM)과 일한 시간을 알고 있으니 거꾸로 시계를 돌려 시작 시각을 찾으면 됩니다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.2 단계 1

작은 문제 1: 세 사람의 속도를 합칩니다.
에이미, 보마니, 찰리 모두 "$3$ 분당 ___ 개" 라는 같은 시간 단위로 속도를 알려 주므로 박스 개수를 그대로 더하면 됩니다.

$$\text{A+B+C 속도} = 4 + 3 + 3 = 10 \text{ 개/3분}$$

💡 시간 단위가 같은 속도들은 그대로 더할 수 있다는 6학년 단위율 발상입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 2

작은 문제 2: 세 사람이 근무 시간 전체에 포장한 양을 셉니다.
작업 시간은 $2{:}45$ PM $- 1{:}00$ PM $= 1$ 시간 $45$ 분 $= 105$ 분.
이걸 $3$ 분짜리 토막으로 나누면 $105 \div 3 = 35$ 토막, 한 토막에 $10$ 개씩 포장합니다.

$$35 \times 10 = 350 \text{ 개 (A, B, C)}$$

💡 "$3$ 분당 $10$ 개" 라는 속도가 정해지면 총량은 (토막 수) $\times$ (토막당 개수) 만으로 끝납니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

작은 문제 3: 총합 $450$ 개라는 제약으로 다리아의 몫을 뽑아냅니다.
세 사람이 채우지 못한 만큼이 곧 다리아의 포장량입니다.

$$\text{다리아 포장} = 450 - 350 = 100$$

💡 전체 합은 제약 역할을 합니다 — 알고 있는 부분을 빼면 모르는 부분이 드러납니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 4

작은 문제 4: 다리아의 포장량을 그녀의 속도로 시간으로 바꿉니다.
다리아는 $4$ 분에 $5$ 개를 포장하므로 박스 하나당 $\tfrac{4}{5}$ 분이 걸립니다.

$$\text{다리아 작업 시간} = 100 \times \dfrac{4}{5} = 80 \text{ 분}$$

💡 속도의 역수를 곱하면 "몇 개" 가 "몇 분" 으로 바뀝니다 — 6학년 단위율의 기본기.

#11 거꾸로 풀기 4.MD.A.2 단계 5

끝 시각에서 거꾸로 감아 다리아의 시작 시각을 찾습니다.
그녀는 $2{:}45$ PM에 멈췄고 $80$ 분($1$ 시간 $20$ 분) 동안 일했으니 이 구간만큼 시계를 뒤로 돌립니다.

$$2{:}45 \text{ PM} - 1\text{시간 }20\text{분} = 1{:}45 \text{ PM} - 20 \text{ 분} = 1{:}25 \text{ PM} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 끝 시각에서 경과 시간을 빼는 것은 4학년 측정 영역의 기본기 — 수직선을 거꾸로 따라가는 것과 같습니다.

[1] #7 6.RP.A.2 작은 문제 1: 세 사람의 속도를 합칩니다. 에이미, 보마니, 찰리 모두 "$3$ 분당 ___ 개" 라는 같은 시간 단위로 속도를 알려 주므로

[2] #7 6.RP.A.3 작은 문제 2: 세 사람이 근무 시간 전체에 포장한 양을 셉니다. 작업 시간은 $2{:}45$ PM $- 1{:}00$ PM $= 1$ 시간 $

[3] #7 4.OA.A.3 작은 문제 3: 총합 $450$ 개라는 제약으로 다리아의 몫을 뽑아냅니다. 세 사람이 채우지 못한 만큼이 곧 다리아의 포장량입니다.

[4] #7 6.RP.A.3 작은 문제 4: 다리아의 포장량을 그녀의 속도로 시간으로 바꿉니다. 다리아는 $4$ 분에 $5$ 개를 포장하므로 박스 하나당 $\tfrac{4}

[5] #11 4.MD.A.2 끝 시각에서 거꾸로 감아 다리아의 시작 시각을 찾습니다. 그녀는 $2{:}45$ PM에 멈췄고 $80$ 분($1$ 시간 $20$ 분) 동안 일했

검토

합리성 확인: $1{:}25$ PM 부터 앞으로 계산해 검증합니다. 에이미·보마니·찰리는 $105$ 분 동안 $3$ 분당 $10$ 개로 $350$ 개를 포장. 다리아는 $1{:}25$ PM부터 $2{:}45$ PM 까지 $80$ 분 동안 $4$ 분당 $5$ 개로 $\tfrac{80}{4} \times 5 = 20 \times 5 = 100$ 개. 합치면 $350 + 100 = 450$ — 문제 조건과 정확히 일치하므로 $1{:}25$ PM 이 맞습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지를 직접 확인할 수도 있습니다. 각 선택지마다 다리아의 작업 시간(끝 시각 $-$ 시작 시각)을 구해 $4$ 분당 $5$ 개의 속도로 박스 수를 계산하고, 고정된 $350$ 개를 더해 $450$ 이 되는지 봅니다. (A) $1{:}25$ PM 은 $80$ 분 $\Rightarrow 100$ 개 $\Rightarrow 450$ 총합. 나머지 선택지는 모두 부족하므로 답은 (A). 작은 문제로 쪼개는 깔끔함은 잃지만 선택지를 직접 훑어 본다는 장점이 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.2 비 $a{:}b$ 와 결합된 단위율 $a/b$ 의 개념 이해 (각 일꾼의 "$3$ 분당 ___ 개" 를 단위율형 비로 읽고, 같은 $3$ 분 창에서 세 속도를 합치는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론을 이용해 실세계·수학 문제 해결 ($3$ 분당 $10$ 개의 합성 속도를 $105$ 분 전체로 늘리고, 다리아의 $100$ 개를 $5$/$4$ 분 속도로 $80$ 분으로 환산하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 자연수 문제 해결 (총합 $450$ 개라는 제약을 이용해 A·B·C 의 $350$ 개를 빼고 다리아의 $100$ 개를 분리하는 데 사용.)
4.MD.A.2 거리·시간 간격·돈 관련 문제를 사칙연산으로 해결 (다리아의 $80$ 분 작업 구간을 $2{:}45$ PM 끝 시각에서 빼서 $1{:}25$ PM 시작 시각을 찾는 데 사용.)

⭐ 작업을 둘로 나누고 — 세 사람이 전체 시간을 채우고, 다리아가 모자란 만큼을 메우고 — $2{:}45$ PM 에서 $80$ 분만 거꾸로 감으면 이 AMC 10 문제는 6학년 비율·시계 문제로 풀려요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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