AMC 10 · 2024 · #9
학년 7 counting문제
In how many ways can juniors and seniors form disjoint teams of people so
that each team has juniors and seniors?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $6$ 명의 11학년과 $6$ 명의 12학년 학생 $12$ 명을, 각 팀이 정확히 11학년 $2$ 명과 12학년 $2$ 명으로 이루어진 $4$ 인 팀 $3$ 개로 나누는 방법의 수를 구하세요. 단, 팀에는 이름이 없습니다.
주어진 것: 11학년 $6$ 명, 12학년 $6$ 명, 합 $12$ 명; 정확히 $3$ 개의 팀, 각 팀은 $4$ 명; 각 팀은 11학년 $2$ 명과 12학년 $2$ 명; 선택지: (A) $720$, (B) $1350$, (C) $2700$, (D) $3280$, (E) $8100$
구하는 것: 세 팀으로 나누는 방법의 수
이해
문제 재정리: $6$ 명의 11학년과 $6$ 명의 12학년 학생 $12$ 명을, 각 팀이 정확히 11학년 $2$ 명과 12학년 $2$ 명으로 이루어진 $4$ 인 팀 $3$ 개로 나누는 방법의 수를 구하세요. 단, 팀에는 이름이 없습니다.
주어진 것: 11학년 $6$ 명, 12학년 $6$ 명, 합 $12$ 명; 정확히 $3$ 개의 팀, 각 팀은 $4$ 명; 각 팀은 11학년 $2$ 명과 12학년 $2$ 명; 선택지: (A) $720$, (B) $1350$, (C) $2700$, (D) $3280$, (E) $8100$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #16 관점 바꾸기
11학년·12학년 두 갈래의 선택과 세 팀이 한데 얽혀 있어, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 부르는 신호입니다. 첫 팀의 11학년 $2$ 명과 12학년 $2$ 명을 고르고, 다음으로 둘째 팀, 마지막으로 셋째 팀을 차례로 고르면 각 단계가 깔끔한 $\binom{n}{2}$ 계산이 되고, 그 곱이 "순서가 있는" 팀 배치(A팀, B팀, C팀)의 수입니다. 그런데 문제는 "3개의 서로소 팀"이라고만 했으니 팀에 이름이 없습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 시야를 바꿔 보면, 같은 팀 조합 하나가 라벨 배치에 따라 $3!$ 번씩 세어졌음을 알 수 있고, $3!$ 로 나누면 라벨 없는 진짜 답이 나옵니다.
실행 — 정답: B
7.SP.C.8 단계 1 - 작은 문제 1: 첫 번째 팀(편의상 A팀)을 만듭니다.
- $6$ 명의 11학년 중 $2$ 명, $6$ 명의 12학년 중 $2$ 명을 고릅니다.
- 두 선택은 독립이므로 곱합니다.
💡 $\binom{6}{2}=15$ 는 "$6$ 명에서 $2$ 명 고르기"입니다. 11학년 선택과 12학년 선택을 짝짓는 것은 7학년의 곱셈 원리입니다.
7.SP.C.8 단계 2 - 작은 문제 2: 두 번째 팀(B팀)을 남은 11학년 $4$ 명, 12학년 $4$ 명에서 만듭니다.
- 같은 방식, 풀만 줄어들었습니다.
💡 각 그룹에서 $2$ 명씩 빠지고 $4$ 명씩 남았습니다. 구조는 같고 모집단만 작아졌습니다.
7.SP.C.8 단계 3 - 작은 문제 3: 세 번째 팀(C팀)은 자동으로 정해집니다.
- 11학년 $2$ 명과 12학년 $2$ 명만 남았고 모두 함께 들어가야 합니다.
- 경우의 수는 단 하나.
💡 풀과 고를 인원이 같으면 $\binom{n}{n}=1$ — 남은 사람이 곧 팀입니다.
7.SP.C.8 단계 4 세 단계의 결과를 곱해 라벨이 있는 팀 배치(A팀-B팀-C팀 순서)의 수를 구합니다.
💡 세 독립 단계를 곱셈으로 이어 붙이면, 순서가 있는 팀 순서쌍의 총수가 됩니다.
7.SP.C.8 단계 5 - 관점을 바꿉니다.
- 문제의 팀에는 이름이 없습니다.
- 라벨 없는 한 가지 분할은, 같은 세 팀에 A·B·C 이름을 어떻게 붙이느냐에 따라 $3!=6$ 번 중복 계산되어 있습니다.
- $3!$ 로 나눠 중복을 없앱니다.
💡 "순서 있는 팀"에서 "순서 없는 팀"으로 바꿔 보는 것이 도구 #16 의 핵심 — 쉬운 라벨 버전을 먼저 세고 라벨 바꾸기 가짓수 $3!$ 로 나눕니다.
7.SP.C.8 작은 문제 1: 첫 번째 팀(편의상 A팀)을 만듭니다. $6$ 명의 11학년 중 $2$ 명, $6$ 명의 12학년 중 $2$ 명을 고릅니다. 두 7.SP.C.8 작은 문제 2: 두 번째 팀(B팀)을 남은 11학년 $4$ 명, 12학년 $4$ 명에서 만듭니다. 같은 방식, 풀만 줄어들었습니다. 7.SP.C.8 작은 문제 3: 세 번째 팀(C팀)은 자동으로 정해집니다. 11학년 $2$ 명과 12학년 $2$ 명만 남았고 모두 함께 들어가야 합니다. 경우의 7.SP.C.8 세 단계의 결과를 곱해 라벨이 있는 팀 배치(A팀-B팀-C팀 순서)의 수를 구합니다. 7.SP.C.8 관점을 바꿉니다. 문제의 팀에는 이름이 없습니다. 라벨 없는 한 가지 분할은, 같은 세 팀에 A·B·C 이름을 어떻게 붙이느냐에 따라 $3!=6 검토
합리성 확인: $3!$ 로 나누는 보정을 작은 경우로 점검합니다. 11학년 $\{J_1, J_2\}$, 12학년 $\{S_1, S_2\}$ 를 $1$ 팀(4명)으로 만드는 경우: 라벨 있는 수는 $\binom{2}{2}\binom{2}{2}=1$, 라벨 없는 수도 $1$ — $1/1!=1$ 과 일치. 11학년 $4$ 명, 12학년 $4$ 명을 $2$ 팀으로 나누는 경우: 라벨 있는 수는 $\binom{4}{2}\binom{4}{2}\cdot\binom{2}{2}\binom{2}{2}=36$, 라벨 없는 수는 $36/2!=18$. 한 팀의 11학년 쌍을 $6$ 가지, 12학년 쌍을 $6$ 가지로 짝짓고 라벨 맞바꿈 $2!$ 로 나누면 같은 $18$ 이 나옵니다. 본 문제의 $\div 3!$ 도 같은 원리입니다. 또한 선택지 (E) $8100$ 은 정확히 라벨 있는 수이므로, 라벨 보정을 빠뜨린 학생이 빠질 함정이고 (B) $1350$ 은 그것의 $1/6$ 로 자연스럽게 맞습니다.
대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 11학년 $2$ 명·12학년 $2$ 명·팀 $1$ 개 → 답 $1$. 11학년 $4$ 명·12학년 $4$ 명·팀 $2$ 개 → 라벨 있는 수 $36$, 라벨 없는 수 $36/2!=18$. 패턴 $\dfrac{\prod \binom{2k}{2}\binom{2k}{2}}{k!}$ 가 일반화되며 $k=3$ 에서 $\dfrac{225\cdot 36\cdot 1}{6}=1350$ 이 나옵니다. 작은 경우로 감을 잡은 뒤 본 문제로 확장한 같은 답입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.8조직적 목록·표·나무 그림·시뮬레이션으로 복합 사건의 경우의 수 구하기 (각 팀을 만드는 과정을 복합 사건으로 보고 11학년 선택과 12학년 선택을 독립적으로 곱한 뒤, 세 팀 단계를 이어 붙이는 데 사용.)7.NS.A.2유리수의 곱셈과 나눗셈을 확장하기 (세 단계의 결과를 곱해 $225 \times 36 \times 1 = 8100$ 을 얻고, 라벨 중복을 없애기 위해 $3!=6$ 으로 나누는 데 사용.)6.EE.A.1자연수 지수가 들어간 수식 쓰고 계산하기 ($\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$ 와 마지막 나눗셈에 쓰이는 $3! = 3\times 2\times 1 = 6$ 을 식으로 쓰고 계산하는 데 사용.)
⭐ 팀을 하나씩 차례로 뽑고 마지막에 $3!$ 로 나눠 라벨을 잊으면 — AMC 10 의 경우의 수 문제가 7학년 "복합 사건" 계산으로 줄어듭니다.
⭐ 팀을 하나씩 차례로 뽑고 마지막에 $3!$ 로 나눠 라벨을 잊으면 — AMC 10 의 경우의 수 문제가 7학년 "복합 사건" 계산으로 줄어듭니다.
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