AMC 10 · 2024 · #10

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

similar-trianglesarea-trianglesratio-proportioncoordinate-geometry identify-subproblemscoordinate-geometryarea-difference ↑ 선수 지식: similar-trianglesarea-trianglesratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Quadrilateral $ABCD$ is a parallelogram, and $E$ is the midpoint of the side $\overline{AD}$ . Let $F$ be the intersection of lines $EB$ and $AC$ . What is the ratio of the area of
quadrilateral $CDEF$ to the area of $\triangle CFB$ ?

$\textbf{(A) } 5:4 \qquad\textbf{(B) } 4:3 \qquad\textbf{(C) } 3:2 \qquad\textbf{(D) } 5:3 \qquad\textbf{(E) } 2:1$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

5:4

(B)

4:3

(C)

3:2

(D)

5:3

(E)

2:1

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $ABCD$ 가 평행사변형이고 $E$ 는 변 $\overline{AD}$ 의 중점입니다. $F$ 는 직선 $EB$ 와 대각선 $AC$ 의 교점이라 할 때, 사각형 $CDEF$ 의 넓이와 $\triangle CFB$ 의 넓이의 비를 구하세요.

주어진 것: $ABCD$ 는 평행사변형 — $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$ 이고 $AD = BC$; $E$ 는 $\overline{AD}$ 의 중점 — $AE = \tfrac{1}{2} AD = \tfrac{1}{2} BC$; $F = \overline{EB} \cap \overline{AC}$; 선택지: (A) $5:4$, (B) $4:3$, (C) $3:2$, (D) $5:3$, (E) $2:1$

구하는 것: $\text{넓이}(CDEF)$ 와 $\text{넓이}(\triangle CFB)$ 의 비

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제는 순수 기하 — 평행사변형, 중점, 대각선, 교점 한 곳. 도구 #1(그림 그리기) 로 모든 길이와 삼각형을 한 장에 펼치면 닮은 삼각형 쌍이 한눈에 보입니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 일을 깔끔히 토막냅니다 — (a) $\triangle AEF$ 와 $\triangle CBF$ 의 닮음비 구하기, (b) 그 비로 $\triangle AEF, \triangle CBF, \triangle ABF$ 의 넓이를 한 미지수 $x$ 로 묶기, (c) 대각선으로 $\triangle ADC$ 의 넓이 알아내기, (d) 빼서 $\text{넓이}(CDEF)$ 를 구한 뒤 요구된 비를 만들기.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 1

그림에서 닮은 삼각형을 잡습니다.
$\overline{AD} \parallel \overline{BC}$ 이므로, 횡단선 $\overline{AC}$ 가 $\angle FAE = \angle FCB$ 를 주고 횡단선 $\overline{EB}$ 가 $\angle FEA = \angle FBC$ 를 줍니다.
$F$ 에서의 맞꼭지각까지 더하면 세 각이 모두 같습니다.

$$\triangle AEF \sim \triangle CBF$$

💡 평행선과 횡단선은 엇각을 같게 만들고 — 8학년 비형식적 각 논증으로 AA 닮음이 즉시 따라옴.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.4 단계 2

쪼개기 A: 닮음비를 구합니다.
$E$ 가 $\overline{AD}$ 의 중점이므로 $AE = \tfrac{1}{2} AD = \tfrac{1}{2} BC$.
대응변 $AE$ 와 $CB$ 의 비가 $1:2$, 그러니 모든 대응 길이가 이 비를 따릅니다.

$$\dfrac{AE}{CB} = \dfrac{1}{2}, \quad \dfrac{AF}{FC} = \dfrac{1}{2}$$

💡 닮은 도형은 모든 길이를 같은 비로 줄이거나 늘림 — 8학년 닮음 개념. $E$ 가 중점이라 비가 정확히 $\tfrac{1}{2}$.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.4 단계 3

쪼개기 B: 길이의 비를 넓이의 비로 바꿉니다.
닮은 삼각형의 넓이비는 길이비의 제곱.
$[\triangle AEF] = x$ 라 두면 $[\triangle CBF] = 4x$.
또 $\triangle ABF$ 와 $\triangle CBF$ 는 꼭짓점 $B$ 를 공유하고 밑변 $\overline{AF}$, $\overline{FC}$ 위에 같은 높이를 가지므로 넓이는 밑변비 $AF:FC = 1:2$ 를 따라 $[\triangle ABF] = 2x$.

$$[\triangle AEF] = x, \quad [\triangle CBF] = 4x, \quad [\triangle ABF] = \tfrac{1}{2}[\triangle CBF] = 2x$$

💡 닮은 삼각형 넓이비 $= $ (길이비)$^2$, 같은 높이 삼각형은 밑변비로 넓이 분할 — 8학년 닮음 두 사실의 콤보.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

쪼개기 C: 대각선으로 $[\triangle ADC]$ 구하기.
대각선 $\overline{AC}$ 는 평행사변형을 합동인 두 삼각형으로 나누므로 $[\triangle ABC] = [\triangle ADC]$.
그리고 $[\triangle ABC] = [\triangle ABF] + [\triangle CBF] = 2x + 4x = 6x$, 따라서 $[\triangle ADC] = 6x$.

$$[\triangle ABC] = 2x + 4x = 6x = [\triangle ADC]$$

💡 평행사변형 대각선은 넓이를 합동인 두 삼각형으로 정확히 반토막 — 6학년 "도형의 분할·합성" 으로 충분.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

쪼개기 D: 요구된 비 계산.
사각형 $CDEF$ 는 $\triangle ADC$ 에서 $\triangle AEF$ 를 떼어낸 것이므로 $[CDEF] = 6x - x = 5x$.
$[\triangle CBF] = 4x$ 와 비교.

$$\dfrac{[CDEF]}{[\triangle CBF]} = \dfrac{5x}{4x} = \dfrac{5}{4} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 $CDEF$ 는 $\triangle ADC$ 에서 $\triangle AEF$ 를 뺀 영역 — 넓이의 더하기·빼기는 6학년 "다각형 구성·분해" 그대로.

[1] #1 8.G.A.5 그림에서 닮은 삼각형을 잡습니다. $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$ 이므로, 횡단선 $\overline{A

[2] #7 8.G.A.4 쪼개기 A: 닮음비를 구합니다. $E$ 가 $\overline{AD}$ 의 중점이므로 $AE = \tfrac{1}{2} AD = \tfrac{1

[3] #7 8.G.A.4 쪼개기 B: 길이의 비를 넓이의 비로 바꿉니다. 닮은 삼각형의 넓이비는 길이비의 제곱. $[\triangle AEF] = x$ 라 두면 $[\t

[4] #7 6.G.A.1 쪼개기 C: 대각선으로 $[\triangle ADC]$ 구하기. 대각선 $\overline{AC}$ 는 평행사변형을 합동인 두 삼각형으로 나누므

[5] #7 6.G.A.1 쪼개기 D: 요구된 비 계산. 사각형 $CDEF$ 는 $\triangle ADC$ 에서 $\triangle AEF$ 를 떼어낸 것이므로 $[CD

검토

합리성 확인: 부품 검산: 평행사변형 전체 넓이는 $12x$ ($6x + 6x$). 내부에 이름 붙인 네 부분 — $\triangle AEF$ ($x$), $\triangle CBF$ ($4x$), $\triangle ABF$ ($2x$), 사각형 $CDEF$ ($5x$) — 의 합은 $x + 4x + 2x + 5x = 12x$ 로 평행사변형 전체와 정확히 일치. 비 $5:4$ 는 $1:1$ 보다 크고 $3:2$ 보다 작은 유일한 선택지이기도 해, $CDEF$ 가 $\triangle CBF$ 보다 "조금만 크다" 는 직관과도 맞습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 좌표 버전: $A = (0,0)$, $B = (2,0)$, $C = (3,2)$, $D = (1,2)$ 로 두면 $E = $ $\overline{AD}$ 의 중점 $= (1/2, 1)$. 대각선 $\overline{AC}$ 의 식은 $y = \tfrac{2}{3} x$. 직선 $\overline{EB}$ 는 $(1/2, 1)$, $(2, 0)$ 을 지납니다. 두 직선을 연립하면 $F = (1, 2/3)$. 신발끈 공식으로 $[CDEF] = 5/3$, $[\triangle CBF] = 4/3$, 비는 $\tfrac{5/3}{4/3} = \tfrac{5}{4}$ — 답 (A) 와 동일.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 각의 합과 외각에 관한 사실을 비형식적 논증으로 확립 ($\overline{AD} \parallel \overline{BC}$ 와 횡단선 $\overline{AC}$, $\overline{EB}$ 의 엇각, 그리고 $F$ 에서의 맞꼭지각으로 $\triangle AEF \sim \triangle CBF$ 를 AA 로 보임.)
8.G.A.4 변환을 이용해 두 도형의 닮음 이해 ($AE = \tfrac{1}{2} BC$ 로부터 닮음비를 $\tfrac{1}{2}$ 로 잡고, 길이비의 제곱을 이용해 $[\triangle AEF] : [\triangle CBF] = 1:4$ 를 얻음.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 구성으로 구하기 ($[\triangle ABF] + [\triangle CBF] = 6x$ 로 $[\triangle ABC]$ 를 만들고, 대각선으로 $[\triangle ABC] = [\triangle ADC]$ 임을 이용하며, $[\triangle ADC] - [\triangle AEF] = 5x = [CDEF]$ 로 마무리.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 닮은 삼각형만 알면 풀 수 있어요 — 중점이 $1:2$ 변비를 만들고 그것이 $1:4$ 넓이비가 되며, 나머지는 삼각형 넓이의 더하기·빼기로 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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