AMC 10 · 2024 · #11

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

similar-trianglesarea-trianglespythagorean-theoremarea-rectangles identify-subproblemsconvert-to-algebraarea-difference ↑ 선수 지식: similar-trianglesarea-trianglespythagorean-theoremarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

In the figure below $WXYZ$ is a rectangle with $WX=4$ and $WZ=8$ . Point $M$ lies $\overline{XY}$ , point $A$ lies on $\overline{YZ}$ , and $\angle WMA$ is a right angle. The areas of $\triangle WXM$ and $\triangle WAZ$ are equal. What is the area of $\triangle WMA$ ?

Note: On certain tests that took place in China, the problem asked for the area of $\triangle MAY$ .

$\textbf{(A) }13 \qquad \textbf{(B) }14 \qquad \textbf{(C) }15 \qquad \textbf{(D) }16 \qquad \textbf{(E) }17 \qquad$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $WX = 4$, $WZ = 8$ 인 직사각형 $WXYZ$ 에서, 점 $M$ 은 변 $\overline{XY}$ 위에, 점 $A$ 는 변 $\overline{YZ}$ 위에 있습니다. $\triangle WMA$ 의 점 $M$ 에서의 각은 직각이고, 두 모서리 삼각형 $\triangle WXM$ 과 $\triangle WAZ$ 의 넓이가 같습니다. $\triangle WMA$ 의 넓이를 구하세요.

주어진 것: $WXYZ$ 는 짧은 변 $WX = 4$, 긴 변 $WZ = 8$ 인 직사각형; $M$ 은 긴 변 $\overline{XY}$ 위의 점; $A$ 는 짧은 변 $\overline{YZ}$ 위의 점; $\angle WMA = 90^\circ$; $[\triangle WXM] = [\triangle WAZ]$; 선택지: (A) $13$, (B) $14$, (C) $15$, (D) $16$, (E) $17$

구하는 것: $\triangle WMA$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

이 문제는 그림이 전부입니다 — 직사각형이 $WM$ 과 $MA$ 라는 선분으로 잘려 네 삼각형이 되고, 그 넓이의 합은 $32$ 가 되어야 합니다. 도구 #1(그림 그리기)이 이 분해를 한눈에 보여줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 조건을 두 개로 깔끔히 나눕니다 — "넓이가 같다" 는 조건이 $XM$ 과 $ZA$ 를 잇고, $M$ 에서의 직각이 피타고라스 정리를 통해 같은 두 변수를 또 한 번 묶어줍니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 $XM = b$, $ZA = a$ 라는 이름을 붙여 위 두 조건을 $2 \times 2$ 연립방정식으로 만들어 $a, b$ 를 결정합니다. $a, b$ 가 정해지면 $32$ 에서 모서리 삼각형 세 개의 넓이를 빼는 것으로 답이 곧장 나옵니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

그림에 미지수를 적어둡니다.
$XM = b$, $ZA = a$ 라 두면 $MY = 8 - b$, $AY = 4 - a$.
모서리 삼각형 세 개는 각자 직사각형의 한 모서리에 두 변이 붙어 있어 넓이를 바로 읽어낼 수 있습니다.

$$[\triangle WXM] = \tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot b = 2b, \quad [\triangle WAZ] = \tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot a = 4a, \quad [\triangle MAY] = \tfrac{1}{2}(8-b)(4-a)$$

💡 그림에 변수를 적어두면 모서리 삼각형 세 개가 각각 깔끔한 식으로 바뀝니다 — 6학년 "넓이를 합성·분해로 구하기" 그대로.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 2

넓이가 같다는 조건 $[\triangle WXM] = [\triangle WAZ]$ 를 쓰면 $a$ 와 $b$ 를 잇는 첫 식이 나옵니다.

$$2b = 4a \;\Longrightarrow\; b = 2a$$

💡 문장 하나를 식 하나로 — 6학년 "$px = q$ 형태의 식 세우고 풀기" 그대로.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

$M$ 에서의 직각을 $\triangle WMA$ 에 적용합니다.
$M, A$ 근처 세 직각삼각형에 피타고라스 정리를 써서 $WM^2 + MA^2 = WA^2$ 를 만듭니다.
여기서 $WM^2 = 4^2 + b^2$, $MA^2 = (8-b)^2 + (4-a)^2$, $WA^2 = 8^2 + a^2$ ($W$ 에서 $YZ$ 로 수선을 내려서).

$$(16 + b^2) + \big((8-b)^2 + (4-a)^2\big) = 64 + a^2$$

💡 $M$ 에서의 직각은 피타고라스 신호 — 기하 조건을 수식 한 줄로 바꿔줍니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

전개한 뒤 $b = 2a$ 를 대입해 한 변수 식으로 줄입니다.
전개: $16 + b^2 + 64 - 16b + b^2 + 16 - 8a + a^2 = 64 + a^2$ 이고 정리하면 $2b^2 - 16b - 8a + 32 = 0$, 즉 $b^2 - 8b - 4a + 16 = 0$.
$b = 2a$ 를 넣으면 $4a^2 - 16a - 4a + 16 = 0$, 양변을 $4$ 로 나눠 $a^2 - 5a + 4 = 0$.

$$(a-1)(a-4) = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1 \text{ 또는 } a = 4$$

💡 직각 조건 + 넓이 조건은 결국 이차식 하나로 만난다 — 8학년 일·이차방정식 풀이로 처리.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.5 단계 5

외래근을 버립니다.
$a = 4$ 이면 $ZA = 4 = YZ$ 라 $A$ 가 $Y$ 와 겹치고, $b = 2a = 8$ 이면 $M$ 도 $Y$ 와 겹쳐 $\triangle WMA$ 가 선분으로 찌그러집니다.
따라서 $a = 1$, $b = 2$, $XM = 2$, $ZA = 1$, $MY = 6$, $AY = 3$.

$$a = 1, \;\; b = 2, \;\; MY = 6, \;\; AY = 3$$

💡 삼각형을 점으로 찌그러뜨리는 해는 진짜 해가 아닙니다 — 그림에 대입해서 거르는 6학년 "해가 실제 해인지 확인" 동작.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 6

직사각형에서 모서리 삼각형 세 개를 빼서 $[\triangle WMA]$ 를 구합니다.
$[\triangle WXM] = \tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$, $[\triangle WAZ] = \tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 1 = 4$, $[\triangle MAY] = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$.

$$[\triangle WMA] = 32 - 4 - 4 - 9 = 15 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 "큰 도형 빼기 모서리들" — 그림이 답을 다 해줍니다.

[1] #1 6.G.A.1 그림에 미지수를 적어둡니다. $XM = b$, $ZA = a$ 라 두면 $MY = 8 - b$, $AY = 4 - a$. 모서리 삼각형 세 개는

[2] #13 6.EE.B.7 넓이가 같다는 조건 $[\triangle WXM] = [\triangle WAZ]$ 를 쓰면 $a$ 와 $b$ 를 잇는 첫 식이 나옵니다.

[3] #7 8.G.B.7 $M$ 에서의 직각을 $\triangle WMA$ 에 적용합니다. $M, A$ 근처 세 직각삼각형에 피타고라스 정리를 써서 $WM^2 + MA^

[4] #13 8.EE.C.7 전개한 뒤 $b = 2a$ 를 대입해 한 변수 식으로 줄입니다. 전개: $16 + b^2 + 64 - 16b + b^2 + 16 - 8a + a

[5] #7 6.EE.B.5 외래근을 버립니다. $a = 4$ 이면 $ZA = 4 = YZ$ 라 $A$ 가 $Y$ 와 겹치고, $b = 2a = 8$ 이면 $M$ 도 $Y$

[6] #1 6.G.A.1 직사각형에서 모서리 삼각형 세 개를 빼서 $[\triangle WMA]$ 를 구합니다. $[\triangle WXM] = \tfrac{1}{2}

검토

합리성 확인: $\triangle WMA$ 의 두 직각변으로 다시 확인: $WM = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$, $MA = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$ 이므로 $\tfrac{1}{2} WM \cdot MA = \tfrac{1}{2}\sqrt{20 \cdot 45} = \tfrac{1}{2}\sqrt{900} = 15$. 같은 답. 또 $15$ 는 직사각형 전체 넓이 $32$ 의 절반보다 살짝 작은 값이라, 그림에서 $\triangle WMA$ 가 네 조각 중 가장 크지만 압도적이지는 않은 점과도 맞아떨어집니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)을 $XM = 2 \cdot ZA$ 조건에 직접 적용. 가장 작은 합리적 값 $ZA = 1$ ($\Rightarrow XM = 2$) 를 시도하고 피타고라스로 $WM^2 + MA^2 = 20 + 45 = 65 = 64 + 1 = WA^2$ 가 성립함을 확인. 첫 시도에 두 조건 모두 통과하므로 넓이 $32 - 4 - 4 - 9 = 15$ 가 바로 나옵니다. AMC 객관식에서는 이쪽이 이차방정식보다 더 빠릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 합성·분해로 구하기 (라벨이 붙은 그림에서 모서리 삼각형 세 개의 넓이 $2b$, $4a$, $\tfrac{1}{2}(8-b)(4-a)$ 를 읽어내고, 직사각형 넓이 $32$ 에서 빼서 $[\triangle WMA]$ 를 얻는 데 사용.)
6.EE.B.7 $px = q$ 형태의 방정식 세우고 풀어 실생활 문제 해결 ("넓이가 같다" 조건을 식 $2b = 4a$, 즉 $b = 2a$ 로 바꾸는 데 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 모르는 변 구하기 ($WM^2 = 16 + b^2$, $MA^2 = (8-b)^2 + (4-a)^2$, $WA^2 = 64 + a^2$ 를 쓰고 $WM^2 + MA^2 = WA^2$ 로 합치는 데 사용.)
8.EE.C.7 일변수 일·이차방정식 풀기 ($b = 2a$ 대입 후 피타고라스 식을 $a^2 - 5a + 4 = 0$ 으로 줄이고 인수분해하는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식·부등식을 푼다는 것은 값을 찾는 과정임을 이해 ($a = 4$ 가 그림에서 퇴화 삼각형을 만든다는 사실로 외래근을 거르고 $a = 1$ 만 남기는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 피타고라스 정리와 6학년 "직사각형에서 모서리 빼기" 넓이 셈만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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