AMC 10 · 2024 · #13

학년 8 algebra

perfect-squaresprime-factorizationsystematic-enumeration convert-to-algebraidentify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: perfect-squaresprime-factorizationlinear-equations-two-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Positive integers $x$ and $y$ satisfy the equation $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}$ . What is the minimum possible value of $x+y$ ?

$\textbf{(A) } 585 \qquad\textbf{(B) } 595 \qquad\textbf{(C) } 623 \qquad\textbf{(D) } 700 \qquad\textbf{(E) } 791$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

585

(B)

595

(C)

623

(D)

700

(E)

791

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 정수 $x, y$ 가 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}$ 을 만족합니다. $x + y$ 의 최솟값을 구하세요.

주어진 것: $x, y$ 는 양의 정수; $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}$; 선택지: (A) $585$, (B) $595$, (C) $623$, (D) $700$, (E) $791$

구하는 것: $x + y$ 의 최솟값

이해

문제 재정리: 양의 정수 $x, y$ 가 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}$ 을 만족합니다. $x + y$ 의 최솟값을 구하세요.

주어진 것: $x, y$ 는 양의 정수; $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}$; 선택지: (A) $585$, (B) $595$, (C) $623$, (D) $700$, (E) $791$

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기

양쪽 모두 무리수 제곱근이 있으니, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 $\sqrt{1183}$ 의 무리수 부분을 먼저 드러냅니다. $\sqrt{1183} = 13\sqrt{7}$ 이 되고 나면, 두 양의 정수 제곱근의 합이 $13\sqrt{7}$ 이 되려면 둘 다 "$\text{(정수)} \cdot \sqrt{7}$" 꼴이어야 합니다 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 이 단계를 깔끔히 갈라줍니다: 먼저 $x = 7a^2$, $y = 7b^2$ 꼴임을 강제하고, 그다음에 최소화. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 유한한 최소화 단계를 처리 — $a + b = 13$ 인 양의 정수쌍을 모두 나열하고 $a^2 + b^2$ 가 가장 작은 쌍을 선택. "합이 고정될 때 제곱의 합 최소화" 의 고전: 가장 가까운 두 수일 때 최소.

실행 — 정답: B

#13 대수로 바꾸기 6.NS.B.4 단계 1

$1183$ 을 소인수분해해서 $\sqrt{1183}$ 을 단순화.
작은 소수를 시험: $1183 / 7 = 169 = 13^2$ 이므로 $1183 = 7 \cdot 13^2$.
따라서 $\sqrt{1183} = 13\sqrt{7}$, 식은 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 13\sqrt{7}$ 가 됩니다.

$$1183 = 7 \cdot 13^2 \;\Longrightarrow\; \sqrt{x} + \sqrt{y} = 13\sqrt{7}$$

💡 근호 안에서 완전제곱 인자를 먼저 꺼냅니다 — 진짜 중요한 건 $\sqrt{7}$ 이라는 무리수 "향" 입니다.

#13 대수로 바꾸기 8.NS.A.1 단계 2

$x, y$ 의 꼴 결정.
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 13\sqrt{7}$ 이고 $x, y$ 가 정수일 때, $\sqrt{x}$ 와 $\sqrt{y}$ 는 둘 다 $\sqrt{7}$ 의 정수배여야 합니다 (유리수 부분이 남으면 무리수 $\sqrt{7}$ 이 다른 무리수로 상쇄될 수 없으니 불가).
그래서 양의 정수 $a, b$ 에 대해 $x = 7a^2$, $y = 7b^2$ 이고 $\sqrt{x} = a\sqrt{7}$, $\sqrt{y} = b\sqrt{7}$.

$$x = 7a^2, \;\; y = 7b^2 \;\Longrightarrow\; a\sqrt{7} + b\sqrt{7} = 13\sqrt{7} \;\Longrightarrow\; a + b = 13$$

💡 두 정수 제곱근이 $\sqrt{7}$ 의 무리 배수로 합쳐지려면 둘 다 같은 "$\sqrt{7}$ 꼴" 이어야 합니다 — 8학년 무리수는 다른 종류끼리 섞이지 않습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 3

목표식을 다시 씁니다.
$x = 7a^2$, $y = 7b^2$ 을 $x + y$ 에 대입하고 $7$ 을 묶어냅니다.

$$x + y = 7a^2 + 7b^2 = 7(a^2 + b^2)$$

💡 공통인자 $7$ 을 꺼내면 최소화 대상이 $a^2 + b^2$ 하나로 줄어듭니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

$a + b = 13$ 인 양의 정수쌍에 대해 $a^2 + b^2$ 를 최소화.
가능한 쌍을 순서대로 나열: $(1,12), (2,11), (3,10), (4,9), (5,8), (6,7)$.
제곱의 합은 $1+144=145$, $4+121=125$, $9+100=109$, $16+81=97$, $25+64=89$, $36+49=85$.
최소는 $85$, $(a, b) = (6, 7)$ 일 때 (가장 가까운 쌍).

$$\min_{a+b=13} (a^2 + b^2) = 6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$$

💡 쌍을 순서대로 훑으면 — 합이 고정된 두 수의 제곱합은 두 수가 비슷할수록 작아집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.5 단계 5

원래 식에 다시 대입.
최소 $x + y = 7 \cdot 85 = 595$.
확인: $x = 7 \cdot 36 = 252$, $y = 7 \cdot 49 = 343$ 이고 $\sqrt{252} + \sqrt{343} = 6\sqrt{7} + 7\sqrt{7} = 13\sqrt{7} = \sqrt{1183}$.

$$x + y = 7 \cdot 85 = 595 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 곱셈으로 값을 내고 두 수를 원래 식에 대입해 검증 — 5학년 암산 수준이면 충분.

[1] #13 6.NS.B.4 $1183$ 을 소인수분해해서 $\sqrt{1183}$ 을 단순화. 작은 소수를 시험: $1183 / 7 = 169 = 13^2$ 이므로 $11

[2] #13 8.NS.A.1 $x, y$ 의 꼴 결정. $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 13\sqrt{7}$ 이고 $x, y$ 가 정수일 때, $\sqrt{x}$

[3] #7 6.EE.A.3 목표식을 다시 씁니다. $x = 7a^2$, $y = 7b^2$ 을 $x + y$ 에 대입하고 $7$ 을 묶어냅니다.

[4] #2 4.OA.B.4 $a + b = 13$ 인 양의 정수쌍에 대해 $a^2 + b^2$ 를 최소화. 가능한 쌍을 순서대로 나열: $(1,12), (2,11), (3

[5] #7 5.NBT.B.5 원래 식에 다시 대입. 최소 $x + y = 7 \cdot 85 = 595$. 확인: $x = 7 \cdot 36 = 252$, $y = 7 \

검토

합리성 확인: 답 $595$ 는 선택지 한가운데에 있는데, 평범한 (그러나 자명하지 않은) 최솟값에 어울리는 자리입니다. 교차 확인: 다음 쌍 $(a, b) = (5, 8)$ 은 $7 \cdot (25 + 64) = 7 \cdot 89 = 623$ — 정확히 (C); $(4, 9)$ 는 $7 \cdot 97 = 679$ (선택지 없음), $(3, 10)$ 은 $7 \cdot 109 = 763$. 선택지 (A)$=585$, (B)$=595$, (C)$=623$, (E)$=791$ 이 실제 제곱합 사다리와 깔끔히 맞물려 (B) 가 최솟값, (C) 가 그다음이라는 패턴이 보입니다 — 대수가 옳다는 강한 신호.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) + AM-QM 부등식: 양의 실수 $a, b$ 의 합이 고정될 때 $a^2 + b^2$ 은 $a = b$ 에서 최소. $a + b = 13$ (홀수) 이므로 정수 조건에서 가장 균등하게 쪼개면 $\{6, 7\}$. 나열 없이 한 줄에 $(6, 7)$ 에 도달 — 같은 답 (B) $= 595$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($1183 = 7 \cdot 13^2$ 의 소인수분해로 근호 밖에 완전제곱 인자 $13^2$ 를 빼내는 데 사용.)
8.NS.A.1 유리수가 아닌 수를 무리수라 한다는 것을 알기 ($\sqrt{7}$ 이 무리수임을 인식해, $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 13\sqrt{7}$ 이 되려면 $\sqrt{x}$ 와 $\sqrt{y}$ 가 각각 $\sqrt{7}$ 의 정수배여야 함을 도출 — $x = 7a^2$, $y = 7b^2$ 강제.)
6.EE.A.3 연산의 성질로 동치인 식 만들기 ($x + y = 7a^2 + 7b^2 = 7(a^2 + b^2)$ 로 다시 써서 최소화 대상을 $a^2 + b^2$ 로 줄이는 데 사용.)
4.OA.B.4 자연수의 인수쌍 구하기와 배수 식별 ($a + b = 13$ 인 양의 정수쌍을 순서대로 나열해 $a^2 + b^2$ 가 가장 작은 쌍을 고르는 데 사용.)
5.NBT.B.5 여러 자리 자연수 곱셈 능숙히 하기 ($7 \cdot 85 = 595$ 의 계산과 $252 + 343 = 595$ 의 마지막 검증에 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "무리수는 섞이지 않는다" 와 4학년 "인수쌍 빠짐없이 나열" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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