AMC 10 · 2024 · #14

학년 8 probability

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

probability-basicarea-circlescoordinate-geometryfraction-arithmetic identify-subproblemsarea-differenceconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basicarea-circlescoordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

A dartboard is the region B in the coordinate plane consisting of points $(x, y)$ such that $|x| + |y| \le 8$ . A target T is the region where $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49$ . A dart is thrown and lands at a random point in B. The probability that the dart lands in T can be expressed as $\frac{m}{n} \cdot \pi$ , where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n$ ?

$\textbf{(A) }39 \qquad \textbf{(B) }71 \qquad \textbf{(C) }73 \qquad \textbf{(D) }75 \qquad \textbf{(E) }135 \qquad$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

135

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 평면 위 영역 $B$ 는 $|x| + |y| \leq 8$ 을 만족하는 점 $(x, y)$ 전체, 영역 $T$ 는 $(x^2 + y^2 - 25)^2 \leq 49$ 를 만족하는 점 전체입니다. 다트가 $B$ 위에 균일하게 임의로 떨어질 때 $T$ 에 떨어질 확률은 기약분수꼴 $\tfrac{m}{n}\pi$ 로 쓸 수 있습니다. $m + n$ 을 구하세요.

주어진 것: 다트판: $B = \{(x,y) : |x| + |y| \leq 8\}$; 표적: $T = \{(x,y) : (x^2 + y^2 - 25)^2 \leq 49\}$; 다트는 $B$ 에 균등하게 임의로 착지; $P(\text{다트가 } T \text{ 에 떨어짐}) = \tfrac{m}{n}\pi$, $\gcd(m, n) = 1$; 선택지: (A) $39$, (B) $71$, (C) $73$, (D) $75$, (E) $135$

구하는 것: $m + n$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

두 영역 모두 평면 위에 있고 답이 넓이의 비이므로 그림이 모든 것을 결정합니다. 도구 #1(그림 그리기)이 각 부등식의 정체를 드러냅니다 — $|x| + |y| \leq 8$ 은 대각선이 좌표축 위에 있는 $45^\circ$ 회전 정사각형, $(x^2 + y^2 - 25)^2 \leq 49$ 는 원점 중심의 원환(annulus). 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 계산을 세 조각으로 나눕니다 — $B$ 의 넓이, $T$ 의 넓이, 그리고 비율. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 표적 부등식을 정리: $r^2 = x^2 + y^2$ 로 놓으면 $(r^2 - 25)^2 \leq 49$ 가 $|r^2 - 25| \leq 7$, 즉 $18 \leq r^2 \leq 32$ — 두 동심원 사이.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 7.G.B.6 단계 1

영역 $B$ 식별.
$|x| + |y| \leq 8$ 은 좌표축 위 꼭짓점 $(\pm 8, 0), (0, \pm 8)$ 을 가지는 $45^\circ$ 회전 정사각형 (각 변은 $\pm x \pm y = 8$).
대각선 두 개는 좌표축 위에 있고 길이는 각각 $16$, 그래서 Area$(B) = \tfrac{1}{2} d_1 d_2 = \tfrac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16 = 128$.

$$\text{Area}(B) = \tfrac{1}{2}(16)(16) = 128$$

💡 절댓값 합은 기울어진 정사각형 — 네 모서리 삼각형을 그리면 넓이가 한눈에 들어옵니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 2

표적 부등식을 풀어냅니다.
$r^2 = x^2 + y^2$ (원점에서의 거리 제곱) 로 두면 $(r^2 - 25)^2 \leq 49$ 는 $|r^2 - 25| \leq 7$, 즉 $-7 \leq r^2 - 25 \leq 7$, 그래서 $18 \leq r^2 \leq 32$.

$$(r^2 - 25)^2 \leq 49 \iff 18 \leq r^2 \leq 32$$

💡 제곱한 후 $49$ 이하 조건은 절댓값 $\leq 7$ 과 같습니다 — 8학년 "제곱과 제곱근은 서로의 역".

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

원환 $T$ 의 넓이 계산.
$18 \leq r^2 \leq 32$ 는 반지름 제곱이 $18$ 인 원과 $32$ 인 원 사이의 고리.
넓이는 큰 원판 $-$ 작은 원판: $\pi(32) - \pi(18) = 14\pi$.
(제곱근을 구할 필요 없음 — 넓이 공식 $\pi r^2$ 가 $r^2$ 를 직접 사용.)

$$\text{Area}(T) = \pi(32) - \pi(18) = 14\pi$$

💡 고리 $=$ 큰 원 $-$ 작은 원. 넓이는 $r^2$ 를 쓰니, $r^2 \in [18, 32]$ 라는 경계가 그대로 들어갑니다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 4

$T \subseteq B$ 인지 확인 (그래야 Area$(T)$ 를 그대로 쓸 수 있음).
$T$ 의 가장 바깥 원은 $r^2 = 32$, 즉 $r = \sqrt{32} \approx 5.66$.
$B$ 의 경계 중 원점에서 가장 가까운 점까지의 거리는 $\tfrac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \approx 5.66$.
그런데 $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ 로 정확히 같으므로, $T$ 의 바깥 원은 $B$ 의 네 변에 안쪽에서 접합니다 — $T \subseteq B$ 가 빠듯하게 성립.

$\sqrt{32} = 4\sqrt{2} = \text{dist(원점, $B$의 변)} \;\Longrightarrow\; T \subseteq B$

💡 그림 위에서 원환이 다이아몬드 안에 딱 들어가고 바깥 원이 변에 살짝 닿습니다 — 이 확인 없이는 Area$(T)$ 를 그대로 쓸 수 없습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 5

확률을 넓이의 비로 계산하고 기약화.
$P = \tfrac{14\pi}{128} = \tfrac{7\pi}{64}$.
따라서 $m = 7$, $n = 64$.
$\gcd(7, 64) = 1$ ($7$ 은 소수, $64 = 2^6$) 이므로 이미 기약.

$$\frac{m}{n}\pi = \frac{14\pi}{128} = \frac{7\pi}{64} \;\Longrightarrow\; m + n = 7 + 64 = 71 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 기하 확률은 넓이의 비 — 기약화하고 분자·분모를 더합니다.

[1] #1 7.G.B.6 영역 $B$ 식별. $|x| + |y| \leq 8$ 은 좌표축 위 꼭짓점 $(\pm 8, 0), (0, \pm 8)$ 을 가지는 $45^\ci

[2] #13 8.EE.A.2 표적 부등식을 풀어냅니다. $r^2 = x^2 + y^2$ (원점에서의 거리 제곱) 로 두면 $(r^2 - 25)^2 \leq 49$ 는 $|r

[3] #7 7.G.B.4 원환 $T$ 의 넓이 계산. $18 \leq r^2 \leq 32$ 는 반지름 제곱이 $18$ 인 원과 $32$ 인 원 사이의 고리. 넓이는 큰

[4] #1 8.G.B.7 $T \subseteq B$ 인지 확인 (그래야 Area$(T)$ 를 그대로 쓸 수 있음). $T$ 의 가장 바깥 원은 $r^2 = 32$, 즉

[5] #7 6.RP.A.3 확률을 넓이의 비로 계산하고 기약화. $P = \tfrac{14\pi}{128} = \tfrac{7\pi}{64}$. 따라서 $m = 7$, $

검토

합리성 확인: 원환 넓이 $14\pi \approx 44$, 정사각형 넓이 $128$ 이니 확률은 약 $44/128 \approx 0.34$. 다이아몬드의 꽤 큰 부분을 차지하는 두꺼운 고리에 어울리는 값입니다. 두 번째 확인: $7$ 과 $64$ 가 서로소인지 — 맞습니다. 다른 선택지들은 그럴듯한 실수에 대응: (A) $39 = 7 + 32$ 는 안쪽 원을 빼지 않은 결과, (E) $135 = 14 + 121$ 은 $\sqrt{32}$ 계산 실수에서 나옴. 우리의 (B) $= 71$ 이 깔끔한 정답.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)을 기약화에 적용: $\tfrac{14\pi}{128}$ 은 분명히 $2$ 로 약분 가능. 분자·분모를 $2$ 로 나누면 $\tfrac{7\pi}{64}$. $\gcd(7, 64)$ 확인: $7$ 은 소수, $64$ 를 나누지 않음. 끝. $7 + 64 = 71$. 사실상 도구 #3(가능성 지우기)이기도 해서 — (A), (C), (D), (E) 는 각각 하나의 사소한 산술 실수에 대응합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.6 넓이, 겉넓이, 부피와 관련된 실생활 문제 해결 (마름모 대각선 공식 $\tfrac{1}{2} d_1 d_2$ 로 회전 정사각형 $B$ 의 넓이 $128$ 을 계산하는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 해를 나타내기 ($(r^2 - 25)^2 \leq 49$ 를 $|r^2 - 25| \leq 7$, 즉 $18 \leq r^2 \leq 32$ 로 줄이는 데 사용 (제곱의 역연산).)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 (원환 넓이를 $\pi(32) - \pi(18) = 14\pi$ 로 계산하는 데 두 경계원에 $A = \pi r^2$ 를 적용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 모르는 변 구하기 ($\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ 이 원점에서 $B$ 의 변까지의 수선 거리 $\tfrac{8}{\sqrt{2}}$ 와 같음을 확인해 $T \subseteq B$ 를 보이는 데 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (기하 확률을 넓이의 비 Area$(T)$ / Area$(B) = 14\pi/128 = 7\pi/64$ 로 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 제곱근 추론과 7학년 원 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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