AMC 10 · 2024 · #16

학년 4 rate-ratio

parityinvariant-monovariantmodular-arithmeticpattern-recognition pattern-recognitionidentify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: paritymodular-arithmeticpattern-recognition

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

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문제

Jerry likes to play with numbers. One day, he wrote all the integers from $1$ to $2024$ on the whiteboard. Then he repeatedly chose four numbers on the whiteboard, erased them, and replaced them by either their sum or their product. (For example, Jerry's first step might have been to erase $1$ , $2$ , $3$ , and $5$ , and then write either $11$ , their sum, or $30$ , their product, on the whiteboard.) After repeatedly performing this operation, Jerry noticed that all the remaining numbers on the whiteboard were odd. What is the maximum possible number of integers on the whiteboard at that time?

$\textbf{(A) } 1010 \qquad \textbf{(B) } 1011 \qquad \textbf{(C) } 1012 \qquad \textbf{(D) } 1013 \qquad \textbf{(E) } 1014$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1010

(B)

1011

(C)

1012

(D)

1013

(E)

1014

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 칠판에 $1$부터 $2024$까지의 정수가 적혀 있습니다. 한 번의 동작은 칠판 위 네 수를 골라 지우고, 그 자리에 네 수의 합 또는 곱 중 하나를 적는 것입니다. 어느 시점에서 칠판 위 모든 수가 홀수가 되었습니다. 그때 칠판에 남아 있을 수 있는 수의 개수의 최댓값은?

주어진 것: 시작: 정수 $1, 2, 3, \dots, 2024$ — 짝수 $1012$개, 홀수 $1012$개; 한 동작은 $4$개를 지우고 $1$개를 적으므로 전체 개수는 $3$씩 줄어듦; 새로 적는 수는 네 수의 합 또는 네 수의 곱; 마지막 상태: 칠판 위 모든 수가 홀수; 선택지: (A) $1010$, (B) $1011$, (C) $1012$, (D) $1013$, (E) $1014$

구하는 것: 전부 홀수가 된 시점에서 칠판에 남는 수의 개수의 최댓값

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

칠판은 매 동작마다 규칙적으로 변하므로 두 가지 패턴을 찾는 일이 됩니다 — 도구 #5. 패턴 1: 전체 개수는 한 동작마다 정확히 $3$씩 줄어드므로 최종 개수는 $3$으로 나눈 나머지가 고정. 패턴 2: 칠판 위 홀수의 개수를 추적해 보면, 새로 홀수를 만드는 모든 경우에서 홀수 개수가 늘지는 않습니다(단조감소). 두 패턴(하나는 정확한 불변량, 하나는 단조량)이 답을 대수 없이 묶어 줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 (a) 모듈로 천장, (b) 홀수-개수 천장, (c) $1010$이 실제 도달 가능함을 보이는 구성 — 세 조각으로 나눕니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 두 천장을 다섯 선택지에 적용해 답을 가려냅니다 — AMC 객관식의 가장 기본 무브입니다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.C.3 단계 1

시작 시 홀짝 개수를 셉니다.
$1, 2, \dots, 2024$ 안에 짝수는 $2024 / 2 = 1012$개, 홀수도 $1012$개, 전체 $2024$개입니다.

$$\text{짝수} = 1012, \quad \text{홀수} = 1012, \quad \text{전체} = 2024$$

💡 시작 목록을 홀수와 짝수 통으로 나누는 것은 길이만 길어졌을 뿐 2학년 홀짝 개념 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

패턴 1: 매 동작에 전체 개수가 $3$씩 감소.
한 동작은 $4$개를 지우고 $1$개를 쓰므로 순 변화는 $-3$.
$k$번 동작 후 개수는 $2024 - 3k$이므로 최종 개수 $N$은 $N \equiv 2024 \equiv 2 \pmod 3$.

$$N = 2024 - 3k \;\Rightarrow\; N \equiv 2 \pmod 3$$

💡 매 단계가 같은 양만큼 변하면 그 양으로 나눈 나머지는 절대 바뀔 수 없습니다 — 4학년 "패턴 잇기" 그대로.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 3

패턴 1로 선택지를 거릅니다.
$1010, 1011, 1012, 1013, 1014$를 $3$으로 나눈 나머지를 확인하면 $1010 \equiv 2$, $1013 \equiv 2$ 만 남습니다.

$$1010 \equiv 2, \; 1011 \equiv 0, \; 1012 \equiv 1, \; 1013 \equiv 2, \; 1014 \equiv 0 \pmod 3$$

💡 $3$의 배수 판정은 4학년 배수표 수준 — 다섯 선택지 중 셋을 한 번에 떨굽니다.

#5 패턴 찾기 2.OA.C.3 단계 4

패턴 2: 홀수 개수 $D$가 한 동작에서 어떻게 변하는지.
새 값이 홀수가 되는 세 경우만 나열: (i) 홀수 네 개의 곱 → 홀수 1개 ($4$개 사용, $1$개 생성, $D$는 $-3$), (ii) 짝짝짝홀의 합 → 홀수 1개 ($1$개 사용, $1$개 생성, $D$는 $0$), (iii) 짝홀홀홀의 합 → 홀수 1개 ($3$개 사용, $1$개 생성, $D$는 $-2$).
홀수를 적게 되는 모든 동작에서 $D$는 절대 늘지 않습니다.

$$\Delta D \in \{-3, \; 0, \; -2\} \;\Rightarrow\; \Delta D \le 0$$

💡 홀수를 만드는 세 경우를 나열하는 것은 2학년 짝홀 더하기 수준 — 핵심은 세 경우 모두 홀수가 늘지 않는다는 점.

#3 가능성 지우기 1.NBT.B.3 단계 5

두 번째 천장을 도출.
$D$는 $1012$로 시작해 절대 늘지 않고, 최종 상태가 전부 홀수이므로 최종 개수 $= D_{\text{최종}} \le 1012$.
따라서 $1013$은 불가능, (D) 탈락.
남은 답은 (A) $1010$ 하나.

$$N_{\text{최종}} = D_{\text{최종}} \le 1012 \;\Rightarrow\; N_{\text{최종}} \le 1012$$

💡 최종 개수와 시작 홀수 개수 $1012$를 비교하는 것은 1학년 두 자리 수 비교.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 6

$1010$이 실제 도달 가능함을 보이는 구성.
1단계 — 짝수를 싸게 죽이기.
4단계의 경우 (iii)을 씁니다: 짝수 셋과 홀수 하나를 골라 합 (홀수).
이 동작을 $337$회 반복하면 매번 짝수 $3$개가 사라지고 홀수 개수는 $1012$로 유지 (홀수 $1$개 쓰고 $1$개 만듦).
$337$회 후 $337 \cdot 3 = 1011$개 짝수가 사라져 짝수 $1$개와 홀수 $1012$개가 남음.

$$337 \times (\text{E,E,E,O} \to \text{O}): \quad 1012 - 1011 = 1 \text{ 짝수}, \; 1012 \text{ 홀수}$$

💡 $3$씩 묶어 빼는 것은 3학년 나눗셈 그대로: $1012 \div 3 = 337$ 나머지 $1$.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.A.1 단계 7

2단계 — 마지막 짝수 처리.
경우 (iii)을 한 번 더 씁니다: 남은 짝수 $1$개와 홀수 $3$개를 합 (홀수).
이 동작은 홀수 $3$개를 쓰고 $1$개를 만들므로 홀수 개수는 $2$ 줄어 $1010$.
칠판은 모두 홀수인 $1010$개로 마무리.

$$(\text{E,O,O,O}) \to \text{O}: \quad 0 \text{ 짝수}, \; 1012 - 2 = 1010 \text{ 홀수} \;\Rightarrow\; N = 1010 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 마지막 한 조각을 맞추는 것은 2학년 빼기 문장제: $1012 - 3 + 1 = 1010$.

[1] #7 2.OA.C.3 시작 시 홀짝 개수를 셉니다. $1, 2, \dots, 2024$ 안에 짝수는 $2024 / 2 = 1012$개, 홀수도 $1012$개, 전체

[2] #5 4.OA.C.5 패턴 1: 매 동작에 전체 개수가 $3$씩 감소. 한 동작은 $4$개를 지우고 $1$개를 쓰므로 순 변화는 $-3$. $k$번 동작 후 개수는

[3] #3 4.OA.B.4 패턴 1로 선택지를 거릅니다. $1010, 1011, 1012, 1013, 1014$를 $3$으로 나눈 나머지를 확인하면 $1010 \equiv

[4] #5 2.OA.C.3 패턴 2: 홀수 개수 $D$가 한 동작에서 어떻게 변하는지. 새 값이 홀수가 되는 세 경우만 나열: (i) 홀수 네 개의 곱 → 홀수 1개 ($

[5] #3 1.NBT.B.3 두 번째 천장을 도출. $D$는 $1012$로 시작해 절대 늘지 않고, 최종 상태가 전부 홀수이므로 최종 개수 $= D_{\text{최종}} \

[6] #7 3.OA.A.3 $1010$이 실제 도달 가능함을 보이는 구성. 1단계 — 짝수를 싸게 죽이기. 4단계의 경우 (iii)을 씁니다: 짝수 셋과 홀수 하나를 골라

[7] #7 2.OA.A.1 2단계 — 마지막 짝수 처리. 경우 (iii)을 한 번 더 씁니다: 남은 짝수 $1$개와 홀수 $3$개를 합 (홀수). 이 동작은 홀수 $3$개

검토

합리성 확인: 독립적인 두 천장 — "$3$으로 나눈 나머지가 $2$" 와 "최종 개수 $\le$ 시작 홀수 개수 $= 1012$" — 만으로 다섯 선택지 중 $1010$만 남고, 구체적 구성이 정확히 $1010$을 만들어 냅니다. 추가 확인: 동작 수 $= 338$회, 총 개수 감소 $= 338 \times 3 = 1014$, $2024 - 1014 = 1010$ 으로 일치. $1010 \equiv 2 \pmod 3$도 패턴 1과 부합. 두 천장이 모두 등호로 달성되므로 (A)는 상한이면서 도달 가능합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 단독으로도: 다섯 선택지를 패턴 1의 $\bmod 3$ 규칙에 넣어 보면 (B), (C), (E)가 곧장 떨어집니다. 그다음 패턴 2("홀수 개수는 절대 늘지 않음")의 한 줄짜리 체크로 (D)까지 지웁니다. 존재성을 받아들이면 구성 단계는 생략 가능하지만, 위의 두 단계 레시피가 도달 가능성을 구체적으로 보여줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.OA.C.3 물건의 묶음이 홀수 개인지 짝수 개인지 판단하기 (시작 칠판에 짝수 $1012$개·홀수 $1012$개가 있음을 세고, 네 수의 합·곱의 홀짝을 추적하는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수·도형 패턴 만들기 (전체 개수가 매 동작마다 정확히 $3$씩 감소함을 인식해 최종 개수 $\equiv 2024 \equiv 2 \pmod 3$ 임을 유도.)
4.OA.B.4 주어진 수의 모든 인수쌍 구하기와 배수 인식 (다섯 선택지를 $3$의 배수 판정에 넣어 $1010$, $1013$만 남기는 데 사용.)
1.NBT.B.3 두 자리 수 비교 (최종 개수와 시작 홀수 개수 $1012$를 비교해 $1013$을 탈락시키는 데 사용.)
3.OA.A.3 100 이내 곱셈·나눗셈 문장제 ($1012 = 3 \times 337 + 1$ 을 계산해 짝짝짝홀 합 동작을 몇 번 반복할지 정하는 데 사용.)
2.OA.A.1 100 이내의 1·2단계 덧셈·뺄셈 문장제 (마지막 짝홀홀홀 합 동작 후 홀수 개수 $1012 - 3 + 1 = 1010$ 을 마무리 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 "패턴 잇기" 규칙만 알면 풀 수 있어요 — 한 동작에 개수는 $3$씩 줄고, 홀수 개수는 절대 늘지 않는다, 이 둘만 보면 됩니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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