AMC 10 · 2024 · #2

학년 5 arithmetic

factorialmulti-digit-arithmeticexponents identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: factorialmulti-digit-arithmeticorder-of-operations

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

What is $10! - 7! \cdot 6!$

$\textbf{(A) } -120 \qquad\textbf{(B) } 0 \qquad\textbf{(C) } 120 \qquad\textbf{(D) } 600 \qquad\textbf{(E) } 720$

[ONLY FOR CERTAIN CHINESE TESTPAPERS]

What is $10! - 7! \cdot 6! - 5!$

$\textbf{(A) } -120 \qquad\textbf{(B) } 0 \qquad\textbf{(C) } 120 \qquad\textbf{(D) } 600 \qquad\textbf{(E) } 720$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-120

(B)

(C)

120

(D)

600

(E)

720

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $n!$ 이 $1$ 부터 $n$ 까지의 자연수 곱이라고 할 때, $10! - 7! \cdot 6!$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$; $7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$; $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$; 선택지: (A) $-120$, (B) $0$, (C) $120$, (D) $600$, (E) $720$

구하는 것: $10! - 7! \cdot 6!$ 의 값

이해

문제 재정리: $n!$ 이 $1$ 부터 $n$ 까지의 자연수 곱이라고 할 때, $10! - 7! \cdot 6!$ 의 값을 구하세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기

$10!$ 과 $7! \cdot 6!$ 을 처음부터 곱하면 자릿수가 너무 커 실수의 여지가 큽니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — $10!$ 안에 $7!$ 이 이미 들어 있다는 점에 주목해 $7!$ 을 공통 인수로 묶고, 괄호 안의 작은 식이 답을 결정하게 합니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 보조 — $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 = 6!$ 이라는 "우연 같지만 정답인 일치"를 알아보는 순간이 핵심입니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.B.5 단계 1

$10!$ 에서 $7!$ 을 분리합니다.
$10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$ 이므로, 원래 식의 두 항 모두 $7!$ 을 공통 인수로 갖습니다.

$$10! - 7! \cdot 6! = (10 \cdot 9 \cdot 8) \cdot 7! - 7! \cdot 6! = 7! \cdot (10 \cdot 9 \cdot 8 - 6!)$$

💡 $10!$ 을 $(10 \cdot 9 \cdot 8) \cdot 7!$ 로 쪼개고 $7!$ 을 앞으로 묶어내는 것은 분배법칙 — $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$ 라는 3학년 곱셈의 성질 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 2

괄호 안의 $10 \cdot 9 \cdot 8$ 을 계산합니다.
둘씩 묶어서 $10 \cdot 9 = 90$, 그다음 $90 \cdot 8 = 720$.

$$10 \cdot 9 \cdot 8 = 90 \cdot 8 = 720$$

💡 $90$ 에 한 자리 수 $8$ 을 곱하는 것은 4학년 "네 자리까지의 수 $\times$ 한 자리 수" 표준 그대로라 손쉽게 계산됩니다.

#5 패턴 찾기 5.NBT.B.5 단계 3

괄호 안의 $6!$ 도 차근차근 만들어 봅니다 — $6 \cdot 5 = 30$, $30 \cdot 4 = 120$, $120 \cdot 3 = 360$, $360 \cdot 2 = 720$.

$$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$$

💡 "$6! = 720$ 이라는 익숙한 사실"이 바로 앞에서 구한 $10 \cdot 9 \cdot 8$ 의 결과와 정확히 일치한다는 것이 문제의 핵심 — 이 패턴 인식은 5학년 다자릿수 곱셈 능숙도 안에서 작동합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.B.5 단계 4

두 값을 괄호 안에 다시 넣습니다.
둘 다 $720$ 이므로 괄호는 $0$, 따라서 전체 식도 $0$ 입니다.

$$7! \cdot (720 - 720) = 7! \cdot 0 = 0 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $0$ 을 곱하면 결과도 $0$ — 3학년 곱셈 성질. $7! = 5040$ 을 계산할 필요조차 없습니다.

[1] #7 3.OA.B.5 $10!$ 에서 $7!$ 을 분리합니다. $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$ 이므로, 원래 식의 두 항 모두 $7!

[2] #7 4.NBT.B.5 괄호 안의 $10 \cdot 9 \cdot 8$ 을 계산합니다. 둘씩 묶어서 $10 \cdot 9 = 90$, 그다음 $90 \cdot 8 =

[3] #5 5.NBT.B.5 괄호 안의 $6!$ 도 차근차근 만들어 봅니다 — $6 \cdot 5 = 30$, $30 \cdot 4 = 120$, $120 \cdot 3 =

[4] #7 3.OA.B.5 두 값을 괄호 안에 다시 넣습니다. 둘 다 $720$ 이므로 괄호는 $0$, 따라서 전체 식도 $0$ 입니다.

검토

합리성 확인: 정공법으로 다시 확인합니다: $10! = 3{,}628{,}800$, $7! \cdot 6! = 5040 \cdot 720 = 3{,}628{,}800$. 차이는 정확히 $0$. 즉 $10! = 7! \cdot 6!$ 라는 등식이 정말 성립하고, 답은 (B) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): $10! - 7! \cdot 6!$ 은 "두 거대한 양의 정수의 차". $0$ 이 아니라면 그 크기는 적어도 $7! = 5040$ 의 배수만큼은 될 텐데, 그러면 선택지 어느 값과도 맞지 않습니다. $\{-120, 0, 120, 600, 720\}$ 중 $7!$ 의 배수가 될 수 있는 "작은" 값은 $0$ 뿐이므로 답은 곧장 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

3.OA.B.5 곱셈·나눗셈 전략으로 연산의 성질 적용하기 (분배법칙으로 $10! - 7! \cdot 6!$ 에서 공통 인수 $7!$ 을 묶어내고, 마지막에 "$0$ 곱셈" 성질로 답이 $0$ 임을 확정하는 데 사용.)
4.NBT.B.5 네 자리까지의 자연수와 한 자리 수의 곱셈 ($10 \cdot 9 \cdot 8 = 90 \cdot 8 = 720$ 을 한 자리 수 곱셈의 연쇄로 계산하는 데 사용.)
5.NBT.B.5 다자릿수 자연수의 곱셈을 능숙하게 수행하기 ($6! = 720$ 을 차근차근 곱해 만들고, 앞에서 구한 $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ 과 일치함을 알아보는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 다자릿수 곱셈과 3학년 분배법칙만 알면, $10 \cdot 9 \cdot 8 = 6!$ 임을 눈치채는 순간 답이 곧장 $0$ 으로 나와요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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