AMC 10 · 2024 · #21

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

pythagorean-theoremcoordinate-geometrytangent-circlessimilar-triangles identify-subproblemsconvert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremcoordinate-geometryarea-circles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

Two straight pipes (circular cylinders), with radii $1$ and $\frac{1}{4}$ , lie parallel and in contact on a flat floor. The figure below shows a head-on view. What is the sum of the possible radii of a third parallel pipe lying on the same floor and in contact with both?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~rac{1}{9}$

(B)

(C)

$~rac{10}{9}$

(D)

$~rac{11}{9}$

(E)

$~rac{19}{9}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 $1$ 과 $\tfrac{1}{4}$ 인 두 원기둥 파이프가 평평한 바닥 위에 서로 닿아 놓여 있습니다. 같은 바닥 위에 반지름 $r$ 인 세 번째 파이프가 놓여 두 파이프 모두에 닿을 때, $r$ 의 가능한 값은 정확히 두 가지입니다. 그 두 값을 더한 값을 구하세요.

주어진 것: 파이프 $A$ 는 반지름 $r_1 = 1$, 바닥 위에 놓임; 파이프 $B$ 는 반지름 $r_2 = \tfrac{1}{4}$, 바닥 위에 놓임; $A$ 와 $B$ 는 서로 닿아 있음; 세 번째 파이프(반지름 $r$ 미지)도 바닥 위에 놓여 $A, B$ 둘 다와 닿음; 선택지: (A) $\tfrac{1}{9}$, (B) $1$, (C) $\tfrac{10}{9}$, (D) $\tfrac{11}{9}$, (E) $\tfrac{19}{9}$

구하는 것: 가능한 두 반지름의 합 $r_{\text{작}} + r_{\text{큰}}$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기, #14 경우 나누기

전체가 한 장의 정면도이므로 도구 #1(그림 그리기)이 출발입니다. 바닥을 가로선으로 두고 두 원을 심어 두면, 바닥에 놓인 반지름 $\rho$ 인 원의 중심은 높이 $\rho$ 에 있다는 사실이 한눈에 들어옵니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 핵심 재사용 도구를 만들어 줍니다 — 바닥에 놓인 두 원이 외접할 때 두 중심의 수평 거리는 피타고라스 정리에서 한 줄에 $2\sqrt{\rho_1 \rho_2}$ 로 나옵니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "새 파이프가 두 기존 파이프에 닿는다" 를 $\sqrt{r}$ 에 대한 수평 거리 방정식 두 개로 옮기고, 도구 #14(경우 나누기)로 새 파이프 위치 두 가지(사이 vs 바깥)를 $|x - 1|$ 의 $\pm$ 한 번으로 처리합니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

좌표를 잡습니다.
바닥은 직선 $y = 0$.
바닥에 놓인 반지름 $\rho$ 인 원은 $y = 0$ 에 접하므로 중심의 높이가 $\rho$.
큰 파이프 중심은 $A = (0, 1)$, 작은 파이프 중심은 $x_B > 0$ 인 $B = (x_B, \tfrac{1}{4})$.

$$A = (0, 1), \quad B = (x_B, \tfrac{1}{4})$$

💡 바닥을 수직선처럼 보고 각 원의 중심을 "닿는 점 바로 위" 에 두는 5학년식 좌표 표현.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

두 파이프가 닿는다는 조건 $|AB| = 1 + \tfrac{1}{4} = \tfrac{5}{4}$ 로 $x_B$ 를 정합니다.
수직 차이는 $1 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}$ 이므로 피타고라스로 $x_B^2 + (\tfrac{3}{4})^2 = (\tfrac{5}{4})^2$, 즉 $x_B^2 = \tfrac{25}{16} - \tfrac{9}{16} = 1$, 따라서 $x_B = 1$.

$$x_B^2 = \left(\tfrac{5}{4}\right)^2 - \left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = \tfrac{25 - 9}{16} = 1 \;\Rightarrow\; x_B = 1$$

💡 두 중심을 잇는 선분을 빗변으로 하는 직각삼각형 — 8학년 피타고라스가 수평 거리를 곧장 알려 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 3

재사용 가능한 지름길을 뽑습니다.
바닥에 놓인 두 원(반지름 $\rho_1, \rho_2$)이 외접일 때 같은 계산이 수평 거리 $\sqrt{(\rho_1 + \rho_2)^2 - (\rho_1 - \rho_2)^2} = \sqrt{4\rho_1 \rho_2} = 2\sqrt{\rho_1 \rho_2}$ 를 줍니다.
(확인: $\rho_1 = 1, \rho_2 = \tfrac{1}{4}$ 이면 $2\sqrt{1/4} = 1 = x_B$.) 이 공식을 세 번 씁니다.

$$\Delta x(\rho_1, \rho_2) = \sqrt{(\rho_1+\rho_2)^2 - (\rho_1-\rho_2)^2} = 2\sqrt{\rho_1 \rho_2}$$

💡 8학년 제곱근·차의 제곱 정리가 같은 피타고라스 단계를 한 줄짜리 재사용 도구로 압축.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

세 번째 파이프를 세웁니다.
반지름 $r$, 중심 $C = (x, r)$.
$A = (0, 1)$ 과의 수평 거리는 $|x|$, $B = (1, \tfrac{1}{4})$ 와의 수평 거리는 $|x - 1|$.
$A$ 와의 외접 → $|x| = 2\sqrt{1 \cdot r} = 2\sqrt{r}$.
$B$ 와의 외접 → $|x - 1| = 2\sqrt{\tfrac{1}{4} \cdot r} = \sqrt{r}$.

$$|x| = 2\sqrt{r}, \quad |x - 1| = \sqrt{r}$$

💡 8학년식 "말 → 방정식": 새 파이프가 한 기존 파이프와 닿는다는 조건 하나당 수평 거리 방정식 하나.

#14 경우 나누기 8.EE.A.2 단계 5

$B$ 를 기준으로 새 파이프의 위치를 두 경우로 나눕니다.
(i) 새 파이프가 $A$ 의 오른쪽이면서 $B$ 의 왼쪽 — 즉 $0 < x < 1$: $|x| = x$, $|x - 1| = 1 - x$ → $x = 2\sqrt{r}$, $1 - x = \sqrt{r}$.
더하면 $1 = 3\sqrt{r}$, $\sqrt{r} = \tfrac{1}{3}$, $r = \tfrac{1}{9}$.
(ii) 새 파이프가 $B$ 의 오른쪽 — 즉 $x > 1$: $|x| = x$, $|x - 1| = x - 1$ → $x = 2\sqrt{r}$, $x - 1 = \sqrt{r}$.
빼면 $1 = \sqrt{r}$, $r = 1$.

$$(\text{i})\; 3\sqrt{r} = 1 \Rightarrow r = \tfrac{1}{9}, \qquad (\text{ii})\; \sqrt{r} = 1 \Rightarrow r = 1$$

💡 8학년 경우 나누기: $|x - 1|$ 안의 $\pm$ 부호가 곧 "사이 vs 바깥" 두 그림.

#13 대수로 바꾸기 7.NS.A.1 단계 6

두 가능한 반지름을 더해 답을 냅니다.

$$r_{\text{작}} + r_{\text{큰}} = \tfrac{1}{9} + 1 = \tfrac{10}{9} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 7학년 분수 덧셈으로 마무리 — $\tfrac{1}{9} + \tfrac{9}{9} = \tfrac{10}{9}$.

[1] #1 5.G.A.2 좌표를 잡습니다. 바닥은 직선 $y = 0$. 바닥에 놓인 반지름 $\rho$ 인 원은 $y = 0$ 에 접하므로 중심의 높이가 $\rho$.

[2] #7 8.G.B.7 두 파이프가 닿는다는 조건 $|AB| = 1 + \tfrac{1}{4} = \tfrac{5}{4}$ 로 $x_B$ 를 정합니다. 수직 차이는 $

[3] #7 8.EE.A.2 재사용 가능한 지름길을 뽑습니다. 바닥에 놓인 두 원(반지름 $\rho_1, \rho_2$)이 외접일 때 같은 계산이 수평 거리 $\sqrt{(

[4] #13 8.EE.C.7 세 번째 파이프를 세웁니다. 반지름 $r$, 중심 $C = (x, r)$. $A = (0, 1)$ 과의 수평 거리는 $|x|$, $B = (1,

[5] #14 8.EE.A.2 $B$ 를 기준으로 새 파이프의 위치를 두 경우로 나눕니다. (i) 새 파이프가 $A$ 의 오른쪽이면서 $B$ 의 왼쪽 — 즉 $0 < x <

[6] #13 7.NS.A.1 두 가능한 반지름을 더해 답을 냅니다.

검토

합리성 확인: 두 답 모두 그림에 어울립니다. $r = \tfrac{1}{9}$ 은 $\tfrac{1}{4}$ 보다 훨씬 작아 두 기존 파이프 사이 좁은 틈에 쏙 들어가는 크기 — 그림과 맞습니다. $r = 1$ 은 큰 파이프와 같은 크기이며 작은 파이프 반대쪽에서 두 파이프를 안듯이 닿습니다 — 대칭적으로 자연스럽습니다. 합 $\tfrac{10}{9} \approx 1.11$ 은 (C). 가까운 오답 중 (A) $\tfrac{1}{9}$ 는 "바깥 큰 답" 을 빠뜨리고, (B) $1$ 은 "틈새 작은 답" 을 빠뜨리므로 문제의 "두 가지" 조건과 맞지 않습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)로 접근. 틈새 반지름은 분명 $\tfrac{1}{4}$ 보다 작아야 하고, 선택지에서 그 조건을 만족하는 후보는 $\tfrac{1}{9}$ 뿐. 따라서 $r_{\text{작}} = \tfrac{1}{9}$. 그러면 합은 $\tfrac{1}{9} + (\text{무엇})$ 의 꼴이므로 (A) 가 즉시 탈락하고, (C), (D), (E) 가 각각 $r_{\text{큰}} = 1, \tfrac{10}{9}, 2$ 에 대응. 그림을 한 번 그려 보면 바깥 파이프는 대략 큰 파이프 정도로 보이므로 $r_{\text{큰}} = 1$ → (C). 본격 대수 없이 답이 잡힙니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.G.A.2 좌표평면의 제1사분면에서 실생활·수학 문제를 점으로 나타내기 (바닥을 $x$-축으로 두고 두 파이프 중심을 반지름 높이에 배치 — $A = (0, 1)$, $B = (1, \tfrac{1}{4})$.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 미지의 변의 길이 구하기 (두 중심을 잇는 선분을 빗변으로 하는 직각삼각형에서 수평 거리 $\sqrt{(\rho_1+\rho_2)^2 - (\rho_1-\rho_2)^2}$ 계산.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 $x^2 = p, x^3 = p$ 의 해를 표현하고 작은 완전제곱수의 제곱근 평가하기 ($\sqrt{(\rho_1+\rho_2)^2 - (\rho_1-\rho_2)^2} = 2\sqrt{\rho_1 \rho_2}$ 정리와 $|x - 1|$ 의 $\pm$ 경우 처리.)
8.EE.C.7 한 변수 일차방정식 풀기 ($3\sqrt{r} = 1$ 과 $\sqrt{r} = 1$ 을 $u = \sqrt{r}$ 에 대한 일차방정식으로 보고 풀어 두 반지름을 추출.)
7.NS.A.1 유리수의 덧셈·뺄셈에 대한 이해를 확장해 적용하기 (마지막에 $\tfrac{1}{9} + 1 = \tfrac{10}{9}$ 로 답을 합산.)

⭐ 같은 바닥에 놓인 두 원이 닿을 때 두 중심의 수평 거리는 $2\sqrt{\rho_1 \rho_2}$ — 피타고라스에서 한 줄로 나오는 지름길입니다. 새 파이프에도 이 지름길을 두 번 쓰고, "사이" 와 "바깥" 두 경우로 나누면 $\tfrac{1}{9}$ 과 $1$ 이 곧장 나옵니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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