AMC 10 · 2024 · #24

학년 6 arithmetic

paritymodular-arithmeticexponentsdivisibility-rules caseworkeasier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: paritymodular-arithmeticexponentsfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Let
$P(m)=\frac{m}{2}+\frac{m^2}{4}+\frac{m^4}{8}+\frac{m^8}{8}$
How many of the values $P(2022)$ , $P(2023)$ , $P(2024)$ , and $P(2025)$ are integers?

$\textbf{(A) } 0 \qquad\textbf{(B) } 1 \qquad\textbf{(C) } 2 \qquad\textbf{(D) } 3 \qquad\textbf{(E) } 4$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $P(m) = \dfrac{m}{2} + \dfrac{m^2}{4} + \dfrac{m^4}{8} + \dfrac{m^8}{8}$ 으로 정의할 때, 네 값 $P(2022), P(2023), P(2024), P(2025)$ 중 정수인 것은 몇 개일까요?

주어진 것: $P(m) = \dfrac{m}{2} + \dfrac{m^2}{4} + \dfrac{m^4}{8} + \dfrac{m^8}{8}$; 네 입력값: $m = 2022, 2023, 2024, 2025$; $2022, 2024$ 는 짝수; $2023, 2025$ 는 홀수; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

구하는 것: 네 값 중 정수인 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #5 패턴 찾기, #6 추측하고 확인하기

$2022, 2023, 2024, 2025$ 라는 큰 수가 특별해 보이지만 분모 $2, 4, 8, 8$ 은 $m \bmod 8$ 만 신경 씁니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 질문을 짝/홀 두 종류로 나눕니다 — 짝수 $2022, 2024$ 와 홀수 $2023, 2025$. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 큰 입력을 작은 대표값으로 교체 — 짝수는 $m = 2$, 홀수는 $m = 1$. 도구 #5(패턴 찾기)는 "정수냐 아니냐" 가 짝/홀 별로 모든 입력에서 같음을 보여 줍니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)이 $P(1), P(2)$ 를 몇 초 만에 직접 계산해 확신을 줍니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.C.3 단계 1

네 입력을 짝/홀로 분류.
짝수: $m = 2022, 2024$.
홀수: $m = 2023, 2025$.
짝수일 때 항상 $P(m)$ 이 정수임을, 그리고 홀수일 때도 항상 정수임을 보일 것이고, 이는 "정수냐" 가 오직 짝/홀에만 달려 있음을 의미합니다.

$$\text{짝수 경우: } 2022, 2024 \quad ; \quad \text{홀수 경우: } 2023, 2025$$

💡 2학년 짝/홀 분류로 네 경우가 두 패턴-부류로 축소.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.2 단계 2

짝수 경우 — 도구 #9 로 가장 작은 짝수 $m = 2$ 부터 시험.
$P(2) = \tfrac{2}{2} + \tfrac{4}{4} + \tfrac{16}{8} + \tfrac{256}{8} = 1 + 1 + 2 + 32 = 36$, 정수.
일반화: $m = 2k$ 로 두면 $\tfrac{m}{2} = k$, $\tfrac{m^2}{4} = \tfrac{4k^2}{4} = k^2$, $\tfrac{m^4}{8} = \tfrac{16k^4}{8} = 2k^4$, $\tfrac{m^8}{8} = \tfrac{256k^8}{8} = 32k^8$.
각 조각이 정수이므로 모든 짝수 $m$ 에 대해 $P(m)$ 정수.
따라서 $P(2022), P(2024)$ 정수.

$$P(2k) = k + k^2 + 2k^4 + 32 k^8 \in \mathbb{Z}$$

💡 6학년 "문자에 수 대입" — $m = 2k$ 로 바꾸면 각 분자가 분모의 $2$ 들을 다 갖고 있어 정수로 떨어집니다.

#6 추측하고 확인하기 5.NF.A.1 단계 3

홀수 경우 — 도구 #9 로 가장 작은 홀수 $m = 1$ 시험.
$P(1) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{4 + 2 + 1 + 1}{8} = \tfrac{8}{8} = 1$, 정수.
핵심은 네 분수 조각 $\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \tfrac{1}{8}$ 가 합쳐서 정확히 $1$ 을 만든다는 점.

$$P(1) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{8}{8} = 1$$

💡 5학년 "분모가 다른 분수 덧셈" — 공통분모 $8$ 로 통분하면 남은 조각이 한 덩어리를 정확히 채웁니다.

#5 패턴 찾기 6.NS.B.4 단계 4

홀수 경우 일반화.
모든 홀수 $m$ 에 대해 $\tfrac{m}{2}, \tfrac{m^2}{4}, \tfrac{m^4}{8}, \tfrac{m^8}{8}$ 의 소수 부분은 정확히 $\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \tfrac{1}{8}$ ($m = 1$ 일 때와 같음).
이유: 홀수 $m$ 은 $m \equiv 1 \,(\bmod\,2)$, $m^2 \equiv 1 \,(\bmod\,8)$ (홀수 제곱 $1, 9, 25, 49, 81$ 을 $8$ 로 나누면 모두 나머지 $1$).
그러면 $m^4 = (m^2)^2 \equiv 1 \,(\bmod\,8)$, $m^8 = (m^4)^2 \equiv 1 \,(\bmod\,8)$.
즉 각 분자가 분모의 배수보다 $1$ 만큼 더 큰 꼴이라 소수 부분이 $m = 1$ 일 때와 같고, 그 합이 정확히 $1$ 이므로 모든 홀수 $m$ 에서 $P(m)$ 정수.
따라서 $P(2023), P(2025)$ 정수.

$$m \text{ 홀수} \Rightarrow m \equiv 1 \,(\bmod\,2),\; m^2 \equiv m^4 \equiv m^8 \equiv 1 \,(\bmod\,8)$$

💡 6학년 배수와 나머지: 홀수 제곱이 $8$ 의 배수보다 $1$ 큰 꼴이라, 그 위로 짝수 제곱은 같은 나머지로 머무름.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.C.3 단계 5

세어 봅니다.
$P(2022), P(2023), P(2024), P(2025)$ 모두 정수 — 입력의 크기와 상관없이 짝/홀이라는 구조만 보면 충분합니다.

$$\#\{m : P(m) \in \mathbb{Z}\} \cap \{2022, 2023, 2024, 2025\} = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 2학년 세기: 짝수 둘 + 홀수 둘 = 넷.

[1] #7 2.OA.C.3 네 입력을 짝/홀로 분류. 짝수: $m = 2022, 2024$. 홀수: $m = 2023, 2025$. 짝수일 때 항상 $P(m)$ 이 정수임

[2] #9 6.EE.A.2 짝수 경우 — 도구 #9 로 가장 작은 짝수 $m = 2$ 부터 시험. $P(2) = \tfrac{2}{2} + \tfrac{4}{4} + \t

[3] #6 5.NF.A.1 홀수 경우 — 도구 #9 로 가장 작은 홀수 $m = 1$ 시험. $P(1) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfra

[4] #5 6.NS.B.4 홀수 경우 일반화. 모든 홀수 $m$ 에 대해 $\tfrac{m}{2}, \tfrac{m^2}{4}, \tfrac{m^4}{8}, \tfrac{

[5] #7 2.OA.C.3 세어 봅니다. $P(2022), P(2023), P(2024), P(2025)$ 모두 정수 — 입력의 크기와 상관없이 짝/홀이라는 구조만 보면

검토

합리성 확인: 공짜 검증 두 개. $P(2) = 36$ (2단계), $P(1) = 1$ (3단계) 모두 정수 — 가장 작은 대표값에서 짝·홀 논증을 확인. 추가 검증: $P(3) = \tfrac{3}{2} + \tfrac{9}{4} + \tfrac{81}{8} + \tfrac{6561}{8} = \tfrac{12 + 18 + 81 + 6561}{8} = \tfrac{6672}{8} = 834$ — 역시 정수, 홀수 주장과 일치. 답 $4$ 가 선택지의 상단인 것도 자연스럽습니다 — 출제자가 분모 $2, 4, 8, 8$ 을 의도적으로 골라 $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{8} = 1$ 이 되게 한 신호.

대안 접근: 도구 #15(다르게 정리하기): $P(m) = \tfrac{4m + 2m^2 + m^4 + m^8}{8}$ 로 묶고 분자가 $8$ 의 배수인지만 보면 됩니다. 짝수 $m \ge 2$: $4m$ 은 $8$ 의 배수, $2m^2$ 은 $8$ 의 배수($m^2$ 은 $4$ 의 배수), $m^4, m^8$ 는 $16$ 의 배수. 따라서 분자 $8$ 의 배수. 홀수 $m$: $4m \equiv 4, 2m^2 \equiv 2, m^4 \equiv 1, m^8 \equiv 1 \,(\bmod\,8)$ 이므로 합 $1+1+2+4 = 8 \equiv 0$. 어느 쪽이든 분자가 $8$ 의 배수라 $P(m)$ 항상 정수, 답은 네 개 전부.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

2.OA.C.3 20 이하 개체 집단의 개수가 홀수인지 짝수인지 판별하기 (네 입력을 짝수 둘($2022, 2024$)과 홀수 둘($2023, 2025$)로 분류하고 마지막에 개수 세기.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈을 동일 분모로 등가 변환해 수행하기 ($P(1) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{4 + 2 + 1 + 1}{8} = 1$ 을 공통분모 $8$ 로 계산.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 평가하기 (짝수일 때 $m = 2k$ 대입으로 $P(m) = k + k^2 + 2k^4 + 32k^8$ 을 얻어 모든 조각이 정수임을 확인.)
6.NS.B.4 100 이하 두 수의 최대공약수, 12 이하 두 수의 최소공배수 — 작은 소수의 배수와 나머지로 확장 (홀수 $m$ 에 대해 $m^2 \equiv 1 \,(\bmod\,8)$ ($1^2, 3^2, 5^2, 7^2$ 모두 $8$ 의 배수보다 $1$ 큼) 을 확인하고 $m^4 \equiv m^8 \equiv 1 \,(\bmod\,8)$ 로 확장.)

⭐ $2024$ 같은 큰 수가 무서워 보이지만 분모는 짝/홀만 신경 씁니다. 가장 작은 짝수 $m = 2$ 와 가장 작은 홀수 $m = 1$ 만 시험해도 둘 다 정수 — 따라서 어떤 정수 $m$ 에 대해서도 $P(m)$ 은 정수이고, 답은 네 개 전부.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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