AMC 10 · 2024 · #25

학년 8 number-theory

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints

gcdsystems-of-equationsprime-factorizationspatial-visualizationvolume-rectangular-prism identify-subproblemsconvert-to-algebracaseworkguess-and-check ↑ 선수 지식: gcdsystems-of-equationsprime-factorizationvolume-rectangular-prism

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

Each of $27$ bricks (right rectangular prisms) has dimensions $a \times b \times c$ , where $a$ , $b$ , and $c$ are pairwise relatively prime positive integers. These bricks are arranged to form a $3 \times 3 \times 3$ block, as shown on the left below. A $28$ th brick with the same dimensions is introduced, and these bricks are reconfigured into a $2 \times 2 \times 7$ block, shown on the right. The new block is $1$ unit taller, $1$ unit wider, and $1$ unit deeper than the old one. What is $a + b + c$ ?

$\textbf{(A) }88 \qquad \textbf{(B) }89 \qquad \textbf{(C) }90 \qquad \textbf{(D) }91 \qquad \textbf{(E) }92 \qquad$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $a, b, c$ 가 양의 정수이고 쌍마다 서로소인 $a \times b \times c$ 짜리 벽돌 $27$ 개로 $3 \times 3 \times 3$ 블록을 쌓습니다. 같은 벽돌 한 개를 더해 $28$ 개로 $2 \times 2 \times 7$ 블록을 다시 쌓으면 새 블록의 세 외측 길이가 각각 옛 블록의 대응 길이보다 정확히 $1$ 만큼 큽니다. $a + b + c$ 를 구하세요.

주어진 것: 벽돌 크기: $a \times b \times c$, $\gcd(a,b) = \gcd(b,c) = \gcd(a,c) = 1$; $3 \times 3 \times 3$ 쌓기 ($27$ 개): 외측 세 길이는 $\{3a, 3b, 3c\}$ 의 순열; $2 \times 2 \times 7$ 쌓기 ($28$ 개): 외측 세 길이는 $\{2x, 2y, 7z\}$ 의 순열, 여기서 $\{x, y, z\} = \{a, b, c\}$; 새 블록의 각 외측 길이는 옛 블록의 대응 길이보다 정확히 $1$ 만큼 큼; 선택지: (A) $88$, (B) $89$, (C) $90$, (D) $91$, (E) $92$

구하는 것: $a + b + c$ — 그리고 도중에 $a, b, c$ 각 값

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #13 대수로 바꾸기, #14 경우 나누기, #6 추측하고 확인하기

도구 #1(그림 그리기)로 시작: $3 \times 3 \times 3$ 쌓기의 외측 길이는 어느 축이든 $3a, 3b, 3c$ 중 하나이고, $2 \times 2 \times 7$ 쌓기는 $2x, 2y, 7z$. 한 번의 스케치로 끝. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 이를 세 축의 독립적 "새 길이 = 옛 길이 + $1$" 매칭 셋으로 분해하고, 도구 #13(대수로 바꾸기)이 세 일차방정식으로 옮깁니다. 도구 #14(경우 나누기)는 "$7$ 의 슬롯에 $a, b, c$ 중 어느 글자가 들어가는가" 라는 모호함을 처리 — $3 \cdot (\text{어떤 글자}) + 1 = 7 \cdot (\text{어떤 글자})$ 가 양의 정수해를 갖는 단 하나의 순환 배정($3a+1=2b, 3b+1=2c, 3c+1=7a$)만 살아남습니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 마지막에 쌍서로소 조건을 검증.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 5.MD.C.5 단계 1

그림에서 외측 길이를 읽습니다.
$3 \times 3 \times 3$ 쌓기는 각 축 방향으로 벽돌 $3$ 개씩, 외측 세 길이는 어떤 순열로 $3a, 3b, 3c$.
$2 \times 2 \times 7$ 쌓기는 두 축이 $2$ 개, 한 축이 $7$ 개라 외측 세 길이는 $2x, 2y, 7z$, 단 $\{x, y, z\}$ 는 $\{a, b, c\}$ 의 어떤 순열.

$$\text{옛: } \{3a, 3b, 3c\}, \quad \text{새: } \{2x, 2y, 7z\}, \; \{x,y,z\} = \{a,b,c\}$$

💡 5학년 "단위 상자를 쌓아 부피 재기" — 축마다 벽돌 개수를 세면 외측 길이가 곧 읽힘.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 2

"새 길이가 모두 옛보다 $1$ 크다" 를 식으로 옮깁니다.
다중집합 $\{3a+1, 3b+1, 3c+1\}$ (옛 길이 + $1$) 가 $\{2x, 2y, 7z\}$ (새 길이) 와 같아야 합니다.
결정적 슬롯은 $7z$ — 이것이 $3a+1, 3b+1, 3c+1$ 중 하나여야 하고, 나머지 두 슬롯 ($2x, 2y$) 이 남은 두 식을 차지.

$$\{3a+1, 3b+1, 3c+1\} = \{2x, 2y, 7z\}, \quad \{x,y,z\} \sim \{a,b,c\}$$

💡 8학년 연립방정식 세팅: 집합 등식은 원소 짝짓기로 세 개의 일차방정식.

#14 경우 나누기 8.EE.C.8 단계 3

순환 배정 $3a+1 = 2b, \; 3b+1 = 2c, \; 3c+1 = 7a$ 를 선택.
(다른 배정은 같은 글자를 반복해야 하거나 — $a, b, c$ 가 모두 다르므로 금지 — 아니면 $3a+1 = 7a$, 즉 $6a = 1$ 같은 양의 정수해 없는 식을 강제.
양의 정수와 잘 맞는 순환은 $a \to b \to c \to a$ 하나.)

$$\begin{cases} 3a + 1 = 2b \\ 3b + 1 = 2c \\ 3c + 1 = 7a \end{cases}$$

💡 8학년 경우 나누기: $7$-슬롯은 흔치 않으니 먼저 시도해 빠르게 유일 순환을 좁힘.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 4

대입법으로 풀이.
(1) → $b = \dfrac{3a + 1}{2}$.
(2) 에 대입: $3 \cdot \dfrac{3a + 1}{2} + 1 = 2c$ → $\dfrac{9a + 3 + 2}{2} = 2c$ → $c = \dfrac{9a + 5}{4}$.
(3) 에 대입: $3 \cdot \dfrac{9a + 5}{4} + 1 = 7a$ → $\dfrac{27a + 15 + 4}{4} = 7a$ → $27a + 19 = 28a$ → $a = 19$.

$$b = \tfrac{3a+1}{2}, \; c = \tfrac{9a+5}{4}, \; \tfrac{27a + 19}{4} = 7a \Rightarrow a = 19$$

💡 8학년 대입과 분모 없애기 — 세 일차방정식이 한 수로 수렴.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 5

역대입으로 $b, c$.
$b = \tfrac{3 \cdot 19 + 1}{2} = \tfrac{58}{2} = 29$.
$c = \tfrac{9 \cdot 19 + 5}{4} = \tfrac{176}{4} = 44$.
벽돌은 $19 \times 29 \times 44$.

$$a = 19, \; b = 29, \; c = 44$$

💡 8학년 일차방정식 — 한 값이 정해지면 나머지가 줄줄이 따라옴.

#6 추측하고 확인하기 6.NS.B.4 단계 6

조건을 검증.
쌍서로소: $\gcd(19, 29) = 1$ (둘 다 소수), $\gcd(19, 44) = 1$ ($19$ 소수, $44 = 2^2 \cdot 11$), $\gcd(29, 44) = 1$ ($29$ 소수, $44 = 2^2 \cdot 11$).
외측 길이 매칭: 옛 $\{3 \cdot 19, 3 \cdot 29, 3 \cdot 44\} = \{57, 87, 132\}$, 새 $\{7 \cdot 19, 2 \cdot 29, 2 \cdot 44\} = \{133, 58, 88\}$.
짝지으면 $57 + 1 = 58$, $87 + 1 = 88$, $132 + 1 = 133$.
세 축 모두 정확히 $+1$ 확인.

$\{57, 87, 132\} + 1 = \{58, 88, 133\} = \{2b, 2c, 7a\}$ ✓

💡 6학년 GCF 확인 + 수치 검증 — 원래 조건을 모두 통과.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 7

요청된 합을 계산.

$$a + b + c = 19 + 29 + 44 = 92 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 4학년 세 수 덧셈으로 마무리.

[1] #1 5.MD.C.5 그림에서 외측 길이를 읽습니다. $3 \times 3 \times 3$ 쌓기는 각 축 방향으로 벽돌 $3$ 개씩, 외측 세 길이는 어떤 순열로

[2] #13 8.EE.C.8 "새 길이가 모두 옛보다 $1$ 크다" 를 식으로 옮깁니다. 다중집합 $\{3a+1, 3b+1, 3c+1\}$ (옛 길이 + $1$) 가 ${

[3] #14 8.EE.C.8 순환 배정 $3a+1 = 2b, \; 3b+1 = 2c, \; 3c+1 = 7a$ 를 선택. (다른 배정은 같은 글자를 반복해야 하거나 — $a

[4] #13 8.EE.C.8 대입법으로 풀이. (1) → $b = \dfrac{3a + 1}{2}$. (2) 에 대입: $3 \cdot \dfrac{3a + 1}{2} +

[5] #13 8.EE.C.7 역대입으로 $b, c$. $b = \tfrac{3 \cdot 19 + 1}{2} = \tfrac{58}{2} = 29$. $c = \tfrac{

[6] #6 6.NS.B.4 조건을 검증. 쌍서로소: $\gcd(19, 29) = 1$ (둘 다 소수), $\gcd(19, 44) = 1$ ($19$ 소수, $44 = 2^

[7] #7 4.NBT.B.4 요청된 합을 계산.

검토

합리성 확인: 수치들이 세 가지 독립 검증을 통과합니다. (1) 벽돌 $19 \times 29 \times 44$ 는 AMC 마지막 문제 규모에 어울리는 크기 — 너무 작지도, 너무 크지도 않음. (2) 쌍서로소 조건이 문제의 요구대로 정확히 성립. (3) 두 블록의 외측 길이 $\{57, 87, 132\}$ 대 $\{58, 88, 133\}$ 가 모두 정확히 $1$ 차이로 짝지어짐. 답 $92$ 는 선택지의 상단 (E); 인접 오답 $88, 89, 90, 91$ 은 $19 + 29 + 40$ 같은 작은 산수 실수에서 나오는데 이번 검증으로 모두 배제됩니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 선택지에 직접 접근. 합 $a + b + c \in \{88, 89, 90, 91, 92\}$ 가 작고, 가장 작은 변 $a$ 는 $3a + 1 = 2b$ ($a$ 홀수) 와 $3c + 1 = 7a$ ($7a \equiv 1 \pmod 3$, 즉 $a \equiv 1 \pmod 3$) 를 동시에 만족해야 함. 그러한 가장 작은 $a$ 부터 cascade 로 $b, c$ 가 정수가 되는지 점검하면 $a = 19$ → $b = 29, c = 44$, 합 $92$. 본격 대수 없이 (E) 가 좁혀집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.MD.C.5 부피를 곱셈·덧셈과 연관 짓고 부피 관련 실생활·수학 문제 풀기 ($3 \times 3 \times 3$ 벽돌 쌓기의 외측 길이를 $3a, 3b, 3c$, $2 \times 2 \times 7$ 쌓기의 외측 길이를 $2x, 2y, 7z$ 로 읽기.)
8.EE.C.7 한 변수 일차방정식 풀기 (축약된 식 $27a + 19 = 28a$ 를 풀어 $a = 19$ 를 얻고, 역대입으로 $b = 29$, $c = 44$ 추출.)
8.EE.C.8 연립 일차방정식 분석하고 풀기 (집합 등식 $\{3a+1, 3b+1, 3c+1\} = \{2b, 2c, 7a\}$ 에서 세 일차방정식 $3a+1 = 2b$, $3b+1 = 2c$, $3c+1 = 7a$ 를 세우고 cascade 로 풀기.)
6.NS.B.4 100 이하 두 자연수의 최대공약수 구하기 ($\gcd(19,29) = \gcd(19,44) = \gcd(29,44) = 1$ 확인해 쌍서로소 조건 검증.)
4.NBT.B.4 표준 알고리즘으로 여러 자리 수의 덧셈·뺄셈 능숙하게 하기 (마지막 합 $a + b + c = 19 + 29 + 44 = 92$.)

⭐ 축마다 $1$ 씩 차이 나는 두 벽돌 쌓기는 "변에 이름 붙이기" 한 번으로 세 작은 식 $3a+1=2b$, $3b+1=2c$, $3c+1=7a$ 가 됩니다. cascade 로 풀면 $a = 19, b = 29, c = 44$ 이 나오고 합 $92$ → (E).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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