AMC 10 · 2024 · #3

학년 8 arithmetic

interval-arithmeticestimationsystematic-enumeration convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: interval-arithmeticorder-of-operationsestimation

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

For how many integer values of $x$ is $|2x| \leq 7 \pi$

$\textbf{(A) } 16 \qquad\textbf{(B) } 17 \qquad\textbf{(C) } 19 \qquad\textbf{(D) } 20 \qquad\textbf{(E) } 21$

Modified Problem in Certain China Testpapers

For how many integer values of $x$ is $|2x| \leq 6 \pi$

$\textbf{(A) } 16 \qquad\textbf{(B) } 17 \qquad\textbf{(C) } 19 \qquad\textbf{(D) } 20 \qquad\textbf{(E) } 21$

Solution for Certain China Testpapers

Use the fact that $\pi \approx 3.14$ , and thus you can get $6\pi \approx 18.84$ . We could easily see that the answer is $\{-9,-8,...,8,9\}\implies\boxed{\text{(C) }19}$

~RULE101

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 부등식 $|2x| \leq 7\pi$ 를 만족시키는 정수 $x$ 의 개수를 구하세요.

주어진 것: 부등식 $|2x| \leq 7\pi$; $\pi \approx 3.14159$ 는 무리수이고 $\tfrac{22}{7}$ 보다 약간 작은 값; $x$ 는 정수 (양수, 음수, $0$ 모두 가능); 선택지: (A) $16$, (B) $17$, (C) $19$, (D) $20$, (E) $21$

구하는 것: $|2x| \leq 7\pi$ 를 만족하는 정수 $x$ 의 개수

이해

문제 재정리: 부등식 $|2x| \leq 7\pi$ 를 만족시키는 정수 $x$ 의 개수를 구하세요.

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

주어진 것은 절댓값 부등식과 무리수 경계 — 도구 #13(대수로 바꾸기)이 가장 자연스러운 출발점입니다. $|2x| \leq 7\pi$ 를 $-7\pi \leq 2x \leq 7\pi$ 로 풀어내고 양변을 $2$ 로 나누어 $-\tfrac{7\pi}{2} \leq x \leq \tfrac{7\pi}{2}$ 를 얻습니다. 깨끗한 수직선 구간이 잡힌 뒤에는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 마무리 — $\tfrac{7\pi}{2} \approx 10.996$ 이므로 정수 $-10, -9, \ldots, 10$ 을 순서대로 적고 개수를 세면 됩니다.

실행 — 정답: E

#13 대수로 바꾸기 6.NS.C.7 단계 1

절댓값을 풉니다.
$|2x| \leq 7\pi$ 는 $2x$ 와 $0$ 사이의 거리가 최대 $7\pi$ 라는 뜻이므로, $2x$ 는 $-7\pi$ 와 $7\pi$ 사이에 들어 있습니다.

$$|2x| \leq 7\pi \;\Longleftrightarrow\; -7\pi \leq 2x \leq 7\pi$$

💡 절댓값은 "수직선에서 $0$ 으로부터의 거리" — $|A| \leq B$ 가 $-B \leq A \leq B$ 로 풀리는 6학년 정의 그대로입니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 2

양변을 양수 $2$ 로 나누어 $x$ 만 가운데 남깁니다.
양수로 나누면 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.

$$-\tfrac{7\pi}{2} \leq x \leq \tfrac{7\pi}{2}$$

💡 연립 부등식을 양수로 나누어 미지수만 분리하는 것은 일반 방정식과 같은 7학년 부등식 풀이 동작입니다.

#13 대수로 바꾸기 8.NS.A.2 단계 3

경계를 수치로 어림합니다.
$\pi \approx 3.14159$ 를 쓰면 $7\pi \approx 21.991$, $\tfrac{7\pi}{2} \approx 10.996$.
$x$ 의 구간은 대략 $[-10.996, 10.996]$.

$$\tfrac{7\pi}{2} \approx \tfrac{21.991}{2} \approx 10.996$$

💡 $\pi$ 같은 무리수를 가까운 유리수로 어림해 크기를 결정하는 것은 8학년 "무리수의 유리수 어림" 표준 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.C.6 단계 4

구간 $[-10.996, 10.996]$ 안의 정수를 차례로 적습니다.
$10.996 < 11$ 이므로 $11$ 은 제외, $10 < 10.996$ 이므로 $10$ 은 포함.
음수 쪽은 대칭으로 처리.

$$x \in \{-10, -9, -8, \ldots, -1, 0, 1, \ldots, 9, 10\}$$

💡 수직선 위를 걸으며 구간 안의 정수를 빠짐없이 적는 것은 6학년 "수직선 위의 유리수" 사고를 좌우 대칭으로 적용한 것입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 2.OA.A.1 단계 5

리스트의 정수 개수를 셉니다.
$-10$ 부터 $10$ 까지이므로 $10 - (-10) + 1$, 또는 음수 $10$ 개 $+$ 양수 $10$ 개 $+$ $0$ 한 개.

$$10 - (-10) + 1 = 21 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 "마지막 $-$ 첫째 $+ 1$" 로 리스트 길이를 세는 것은 2학년 덧셈·뺄셈 문장제 수준의 일.

[1] #13 6.NS.C.7 절댓값을 풉니다. $|2x| \leq 7\pi$ 는 $2x$ 와 $0$ 사이의 거리가 최대 $7\pi$ 라는 뜻이므로, $2x$ 는 $-7\pi

[2] #13 7.EE.B.4 양변을 양수 $2$ 로 나누어 $x$ 만 가운데 남깁니다. 양수로 나누면 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.

[3] #13 8.NS.A.2 경계를 수치로 어림합니다. $\pi \approx 3.14159$ 를 쓰면 $7\pi \approx 21.991$, $\tfrac{7\pi}{2

[4] #2 6.NS.C.6 구간 $[-10.996, 10.996]$ 안의 정수를 차례로 적습니다. $10.996 < 11$ 이므로 $11$ 은 제외, $10 < 10.99

[5] #2 2.OA.A.1 리스트의 정수 개수를 셉니다. $-10$ 부터 $10$ 까지이므로 $10 - (-10) + 1$, 또는 음수 $10$ 개 $+$ 양수 $10$

검토

합리성 확인: 경계 확인: $x = 11$ 은 정말로 안 되는가? $|2 \cdot 11| = 22$, $7\pi \approx 21.99 < 22$ 이므로 통과 못함 — 맞음. $x = 10$ 은 되는가? $|2 \cdot 10| = 20 < 21.99$ 이므로 통과 — 맞음. 구간 $[-10, 10]$ 에는 정수 $21$ 개가 들어 있어서 (E) 와 일치.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기): 본질적으로 "$2n \leq 7\pi$ 를 만족하는 양의 정수 $n$ 이 몇 개인가" $\times 2$ 에 $0$ 을 더하는 문제입니다. $n = 10$ 일 때 $20 < 7\pi \approx 21.99$ 통과, $n = 11$ 일 때 $22 > 21.99$ 실패. 그래서 허용되는 $n$ 은 $1$ 부터 $10$ 까지 $10$ 개 — 양·음 합쳐 $20$ 개에 $0$ 한 개 더하면 $21$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

2.OA.A.1 100 이내 덧셈·뺄셈을 사용하는 한두 단계 문장제 풀기 ($-10$ 부터 $10$ 까지의 정수 개수를 "마지막 $-$ 첫째 $+ 1$" 로 세는 데 사용.)
6.NS.C.6 유리수를 수직선 위의 한 점으로 이해하기 (구간 $[-10.996, 10.996]$ 을 수직선 위에 그리고 그 안의 정수를 차례로 나열하는 데 사용.)
6.NS.C.7 유리수의 대소 관계와 절댓값 이해하기 (절댓값 $|A| \leq B$ 를 "$0$ 으로부터의 거리"로 해석해 $-7\pi \leq 2x \leq 7\pi$ 로 푸는 데 사용.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 방정식·부등식 세우기·풀기 (연립 부등식을 $2$ 로 나누어 $-\tfrac{7\pi}{2} \leq x \leq \tfrac{7\pi}{2}$ 로 $x$ 를 분리하는 데 사용.)
8.NS.A.2 무리수를 유리수로 어림하여 크기 비교하기 ($\pi \approx 3.14159$ 로 어림해 $\tfrac{7\pi}{2} \approx 10.996$ 임을 알아내고, 구간 안 정수를 결정하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "무리수 어림"과 6학년 "절댓값"만 알면, $\tfrac{7\pi}{2} \approx 10.996$ 이라는 사실로 $-10$ 부터 $10$ 까지 세서 답이 나와요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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