AMC 10 · 2024 · #5

학년 6 algebra

sequences-arithmeticperfect-squaressystematic-enumeration convert-to-algebrabound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticlinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

In the following expression, Melanie changed some of the plus signs to minus signs:
$1+3+5+7+...+97+99$
When the new expression was evaluated, it was negative. What is the least number of plus signs that Melanie could have changed to minus signs?

$\textbf{(A) } 14 \qquad\textbf{(B) } 15 \qquad\textbf{(C) } 16 \qquad\textbf{(D) } 17 \qquad\textbf{(E) } 18$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1 + 3 + 5 + \cdots + 97 + 99$ (처음 $50$ 개 양의 홀수의 합) 에서 멜라니가 몇 개의 $+$ 부호를 $-$ 로 바꾸어 새 식의 값이 음수가 되게 했습니다. 부호를 바꾼 최소 개수는 몇 개일까요?

주어진 것: 원래 식: $1 + 3 + 5 + \cdots + 97 + 99$, 항은 $50$ 개; 원래 합 $S = 1 + 3 + \cdots + 99 = 50^2 = 2500$; 숫자 $x$ 의 부호를 한 번 뒤집으면 전체 합은 $-2x$ 만큼 변함 ($+x \to -x$); 선택지: (A) $14$, (B) $15$, (C) $16$, (D) $17$, (E) $18$

구하는 것: 새 합이 음수가 되기 위해 멜라니가 바꿔야 하는 부호의 최소 개수

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #16 관점 바꾸기

도구 #13(대수로 바꾸기) 으로 "$+$ 를 $-$ 로 바꾼다" 라는 말을 깔끔한 식으로 옮깁니다 — 숫자 $x$ 의 부호 한 번을 뒤집으면 원래 합 $S = 2500$ 에서 $2x$ 가 깎이므로, 새 합 $= 2500 - 2 \cdot (\text{뒤집힌 수들의 합})$ 이고 이게 $< 0$ 이려면 뒤집은 수들의 합이 $1250$ 보다 커야 합니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 은 전략적 통찰 — "몇 번 뒤집지?" 대신 "한 번에 얼마나 줄일 수 있지?" 로 시선을 옮기면 답은 "큰 수부터 뒤집기". 도구 #6(추측하고 확인하기) 은 마지막 마무리 — $k = 14, 15$ 두 후보를 닫힌 식에 직접 넣어 확인합니다.

실행 — 정답: B

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.3 단계 1

원래 합을 계산합니다.
처음 $50$ 개 양의 홀수의 합은 $50^2 = 2500$ 으로 잘 알려진 항등식 ($1 + 3 + \cdots + (2n-1) = n^2$).
앞뒤 짝짓기로도 확인: $1 + 99 = 100$, $3 + 97 = 100$, $\ldots$, $25$ 쌍 $\times 100 = 2500$.

$$S = 1 + 3 + 5 + \cdots + 99 = 50^2 = 2500$$

💡 첫째와 마지막을 짝지어 ($1 + 99 = 100$) 안쪽으로 들어가는 것은 등차수열 합을 동치 식으로 바꾸는 6학년 "동치 식 만들기" 기법 그대로입니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 2

부호 한 번 뒤집기의 효과를 식으로 정리합니다.
$+x$ 를 $-x$ 로 바꾸면 합은 $(-x) - (+x) = -2x$ 만큼 줄어듭니다.
멜라니가 뒤집은 수들의 합을 $F$ 라 하면 새 합은 $2500 - 2F$.

$$S_{\text{new}} = 2500 - 2F, \quad F = \sum_{\text{뒤집힌}} x$$

💡 "뒤집힌 수들의 합" 을 문자 $F$ 로 두는 순간 말이 식으로 정리됩니다 — 6학년 "문자가 수를 대신한다" 그대로.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.8 단계 3

"새 합이 음수" 조건을 $F$ 에 대한 부등식으로 옮깁니다.

$$2500 - 2F < 0 \;\Longleftrightarrow\; F > 1250$$

💡 "엄격히 $0$ 미만" 을 뒤집힌 수들의 합에 대한 "$F > 1250$" 부등식으로 바꾸는 것은 6학년 "$x > c$ 형태의 부등식" 단계입니다.

#16 관점 바꾸기 6.EE.A.3 단계 4

관점 바꾸기: 부호 뒤집기 횟수를 최소화하려면 각 뒤집기가 합을 가장 많이 깎아야 합니다.
즉 가장 큰 홀수 $99, 97, 95, \ldots$ 부터 욕심껏 뒤집습니다.
$k$ 개의 최대 홀수는 $101 - 2k$ 부터 $99$ 까지의 등차수열이고, 합은 $\tfrac{k}{2}(99 + (101 - 2k)) = k(100 - k)$.

$$k \text{ 번 뒤집기의 최대 합} = 99 + 97 + \cdots + (101 - 2k) = k(100 - k)$$

💡 "가장 적은 횟수로 가장 큰 효과를" 라는 극단 원리 — 등차수열 합 공식은 6학년 동치식 정리에 해당합니다.

#6 추측하고 확인하기 5.NBT.B.5 단계 5

$k(100 - k) > 1250$ 을 만족하는 가장 작은 $k$ 를 경계 부근 두 값으로 확인합니다.

$k = 14: \; 14 \cdot 86 = 1204 \not> 1250 \quad\text{(실패)}$ $\qquad$ $k = 15: \; 15 \cdot 85 = 1275 > 1250 \quad\text{(성공)} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$

💡 두 자리 수 곱셈 두 번이면 임계값을 깔끔히 가릅니다 — 5학년 다자릿수 곱셈으로 충분합니다.

[1] #13 6.EE.A.3 원래 합을 계산합니다. 처음 $50$ 개 양의 홀수의 합은 $50^2 = 2500$ 으로 잘 알려진 항등식 ($1 + 3 + \cdots + (

[2] #13 6.EE.A.2 부호 한 번 뒤집기의 효과를 식으로 정리합니다. $+x$ 를 $-x$ 로 바꾸면 합은 $(-x) - (+x) = -2x$ 만큼 줄어듭니다. 멜라

[3] #13 6.EE.B.8 "새 합이 음수" 조건을 $F$ 에 대한 부등식으로 옮깁니다.

[4] #16 6.EE.A.3 관점 바꾸기: 부호 뒤집기 횟수를 최소화하려면 각 뒤집기가 합을 가장 많이 깎아야 합니다. 즉 가장 큰 홀수 $99, 97, 95, \ldots

[5] #6 5.NBT.B.5 $k(100 - k) > 1250$ 을 만족하는 가장 작은 $k$ 를 경계 부근 두 값으로 확인합니다.

검토

합리성 확인: $k = 15$ 의 뒤집기를 직접 검증합니다. 가장 큰 홀수 $71, 73, \ldots, 99$ 의 $15$ 개를 뒤집으면 그들의 합 $1275$ 만큼이 양에서 음으로 옮겨가 새 합은 $2500 - 2 \cdot 1275 = -50 < 0$. 정말로 음수가 됩니다. $k = 14$ 의 가장 효율적인 뒤집기 ($73, 75, \ldots, 99$) 의 합은 $1204$ 라 새 합은 $2500 - 2 \cdot 1204 = 92 > 0$ — 불가능. 그래서 최소값은 정확히 $15$, (B) 와 일치.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 을 닫힌 식 없이 그대로 사용: 가장 큰 홀수부터 $99 + 97 + 95 + \cdots$ 를 누적해 $1250$ 을 처음 넘는 순간을 찾습니다. $14$ 개 ($73$ 까지) 의 누적 합은 $1204 < 1250$, $71$ 을 더하면 $1275 > 1250$. 그래서 $15$ 번째 뒤집기에서 임계점을 넘어 답은 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NBT.B.5 다자릿수 자연수의 곱셈을 능숙하게 수행하기 ($14 \cdot 86 = 1204$, $15 \cdot 85 = 1275$ 를 계산해 $k(100 - k) > 1250$ 을 만족하는 최소 $k$ 를 찾는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (뒤집힌 수들의 합을 문자 $F$ 로 두고 새 합을 $2500 - 2F$ 로 표현하는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 ($S = 50^2 = 2500$ 을 $1 + 99, 3 + 97, \ldots$ 짝짓기로 유도하고, $99 + 97 + \cdots + (101 - 2k) = k(100 - k)$ 의 등차수열 합 식을 만드는 데 사용.)
6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식을 쓰고 수직선에 나타내기 ("새 합이 음수" 라는 조건을 뒤집힌 수들의 합에 대한 부등식 $F > 1250$ 으로 옮기는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 부등식("새 합이 음수" 를 $F > 1250$ 으로 옮기기)과 5학년 다자릿수 곱셈만 알면, 큰 홀수부터 뒤집어서 $15$ 번에서 경계를 넘긴다는 게 보여요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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