AMC 10 · 2024 · #6

학년 8 geometry-2d

factorsprime-factorizationperimeterarea-rectangles systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: prime-factorizationfactorsperimeterarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A rectangle has integer length sides and an area of 2024. What is the least possible perimeter of the rectangle?

$\textbf{(A) } 160 \qquad\textbf{(B) } 180 \qquad\textbf{(C) } 222 \qquad\textbf{(D) } 228 \qquad\textbf{(E) } 390$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

160

(B)

180

(C)

222

(D)

228

(E)

390

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 변의 길이가 모두 자연수이고 넓이가 $2024$인 직사각형이 있습니다. 이런 직사각형 중에서 둘레가 가장 짧은 경우의 둘레를 구하세요.

주어진 것: 두 변의 길이가 모두 양의 정수; 넓이 $= $ 가로 $\times$ 세로 $= 2024$; 둘레 $= 2 \times (\text{가로} + \text{세로})$; 선택지: (A) $160$, (B) $180$, (C) $222$, (D) $228$, (E) $390$

구하는 것: 둘레의 최솟값(변의 길이와 같은 단위)

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

곱이 정해진 두 양수에서 합이 가장 작은 쌍은 제곱근에 가장 가까운 쌍입니다. $\sqrt{2024} \approx 45$ 이므로 $45$ 근처의 정수만 시험하면 되고, 이는 도구 #6(추측하고 확인하기)에 딱 맞는 상황입니다 — 제곱근 추정값에서 시작해 위아래로 조정. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 둘로 나눠줍니다 — 먼저 $2024$ 를 소인수분해해 어떤 정수가 약수인지 파악하고, 다음으로 우승한 $(\ell, w)$ 쌍을 둘레로 환산.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 1

쪼개기 A: $2024$ 를 소인수분해해 어떤 정수가 변의 길이로 가능한지 알아냅니다.
$2$ 로 나눌 수 있을 만큼 나눈 뒤, 남은 수를 작은 소수들로 시험합니다.

$$2024 = 2 \times 1012 = 2 \times 2 \times 506 = 2^3 \times 253 = 2^3 \times 11 \times 23$$

💡 소인수분해는 $2024$ 의 "부품 목록" 이라, 모든 약수는 이 소수들 중 일부의 곱으로 만들 수 있어요 — 6학년 약수·배수의 정석.

#6 추측하고 확인하기 8.EE.A.2 단계 2

어디서부터 추측을 시작할지 정하기 위해 $\sqrt{2024}$ 를 어림합니다.
가장 가까운 완전제곱수가 $45^2 = 2025$ 이므로 $\sqrt{2024}$ 는 $45$ 보다 약간 작습니다.

$$44^2 = 1936, \quad 45^2 = 2025 \;\Rightarrow\; \sqrt{2024} \approx 45$$

💡 두 변이 서로 가까울수록 $\ell + w$ 가 작으므로, 최적 쌍은 $45$ 의 양옆에 있어요 — 8학년 제곱근 어림.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.B.4 단계 3

$45$ 근처에서 추측 · 확인합니다.
소인수 $\{2,2,2,11,23\}$ 을 두 그룹으로 가능한 한 비슷한 곱이 되게 묶어 봅니다.
$\ell = 2 \times 23 = 46$, $w = 2 \times 2 \times 11 = 44$ — 둘 다 $45$ 와 차이가 $1$ 입니다.

$$46 \times 44 = 2024 \;\checkmark$$

💡 $\sqrt{2024}$ 바로 옆부터 시도하는 것이 도구 #6 의 "근거 있는 추측" 입니다 — 4학년 약수쌍 사고.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.B.4 단계 4

더 가까운 쌍이 없음을 확인합니다.
$44$ 바로 아래의 약수는 $23$ 이고 짝은 $88$ 인데, 합이 $111$ 로 우리 합 $44 + 46 = 90$ 보다 훨씬 큽니다.
즉 $(44, 46)$ 이 최적.

$$\text{다음 쌍: } 23 \times 88 \Rightarrow 23 + 88 = 111 > 90$$

💡 $\sqrt{2024}$ 에서 한 발만 멀어져도 쌍은 빠르게 벌어져요 — 이웃 한 칸만 확인하면 충분.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3 단계 5

쪼개기 B: 최적 쌍을 둘레로 바꿉니다.
$P = 2(\ell + w)$ 에 $(\ell, w) = (46, 44)$ 를 대입.

$$P = 2(46 + 44) = 2 \times 90 = 180 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 직사각형 둘레 공식은 4학년 측정 단원의 정석 — 우승한 두 변만 넣으면 끝.

[1] #7 6.NS.B.4 쪼개기 A: $2024$ 를 소인수분해해 어떤 정수가 변의 길이로 가능한지 알아냅니다. $2$ 로 나눌 수 있을 만큼 나눈 뒤, 남은 수를 작은

[2] #6 8.EE.A.2 어디서부터 추측을 시작할지 정하기 위해 $\sqrt{2024}$ 를 어림합니다. 가장 가까운 완전제곱수가 $45^2 = 2025$ 이므로 $\s

[3] #6 4.OA.B.4 $45$ 근처에서 추측 · 확인합니다. 소인수 $\{2,2,2,11,23\}$ 을 두 그룹으로 가능한 한 비슷한 곱이 되게 묶어 봅니다. $\e

[4] #6 4.OA.B.4 더 가까운 쌍이 없음을 확인합니다. $44$ 바로 아래의 약수는 $23$ 이고 짝은 $88$ 인데, 합이 $111$ 로 우리 합 $44 + 46

[5] #7 4.MD.A.3 쪼개기 B: 최적 쌍을 둘레로 바꿉니다. $P = 2(\ell + w)$ 에 $(\ell, w) = (46, 44)$ 를 대입.

검토

합리성 확인: 선택지를 빠르게 점검해 봅시다. (A) $160$ 이 답이려면 $\ell + w = 80$, 즉 평균이 $40$ 인 쌍이어야 하지만 $40 \times 40 = 1600 < 2024$ 라 곱이 부족 — (A) 는 불가능. 우리 답 $180$ 은 $\ell + w = 90$, 평균 $45$ 로 $\sqrt{2024} \approx 45$ 와 정확히 맞습니다. (C), (D), (E) 는 $23 \times 88$, $11 \times 184$ 같은 한쪽으로 치우친 쌍에 해당해 모두 더 큰 값입니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 을 선택지에 적용. 각 둘레 $P$ 는 $\ell + w = P/2$ 를 강제하고, $\ell w = 2024$ 와 합치면 두 변은 $x^2 - (P/2)x + 2024 = 0$ 의 두 근. 정수 변이 되려면 판별식 $(P/2)^2 - 4 \times 2024$ 가 $0$ 이상인 완전제곱이어야 합니다. (A) 는 $80^2 - 8096 = -1696 < 0$ 으로 불가능. (B) 는 $90^2 - 8096 = 4 = 2^2$ 으로 통과해, 두 변은 $44, 46$. 그러니 (B) 가 가능한 최소 둘레.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($2024 = 2^3 \times 11 \times 23$ 의 소인수분해를 만들어 변의 길이로 가능한 모든 정수를 "소수들의 부분집합 곱" 으로 읽을 수 있게 함.)
8.EE.A.2 제곱근, 세제곱근 기호로 해를 나타내기 ($44^2 = 1936$, $45^2 = 2025$ 로부터 $\sqrt{2024} \approx 45$ 임을 어림해, 최적 약수쌍이 머물 위치를 찾는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수쌍 구하기와 배수 인식 ($\sqrt{2024}$ 에 가장 가까운 약수쌍 $(44, 46)$ 을 $\ell + w$ 최소 후보로 고르고, 이웃 쌍 $(23, 88)$ 이 더 큰 합을 줌을 확인.)
4.MD.A.3 직사각형의 넓이·둘레 공식 응용 (최적의 두 변 $(44, 46)$ 으로부터 둘레 $P = 2(\ell + w) = 180$ 을 계산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 제곱근 어림만 알면 풀 수 있어요 — $\sqrt{\text{넓이}}$ 에 가장 가까운 약수쌍을 찾으면 둘레가 곧장 결정됩니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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