AMC 10 · 2024 · #8

학년 8 arithmetic

divisor-countfactorsunits-digit-trackingprime-factorization identify-subproblemsunits-digit-trackingmodular-arithmetic-mod-10 ↑ 선수 지식: factorsprime-factorizationunits-digit-tracking

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Let $N$ be the product of all the positive integer divisors of $42$ . What is the units digit
of $N$ ?

$\textbf{(A) } 0\qquad\textbf{(B) } 2\qquad\textbf{(C) } 4\qquad\textbf{(D) } 6\qquad\textbf{(E) } 8$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $42$ 의 모든 양의 약수를 곱한 값을 $N$ 이라 합시다. $N$ 의 일의 자리 숫자를 구하세요.

주어진 것: $N = $ $42$ 의 모든 양의 약수의 곱; $42 = 2 \times 3 \times 7$ 이므로 약수는 $1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42$; 선택지: (A) $0$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $6$, (E) $8$

구하는 것: (매우 큰) 수 $N$ 의 일의 자리 숫자

이해

문제 재정리: $42$ 의 모든 양의 약수를 곱한 값을 $N$ 이라 합시다. $N$ 의 일의 자리 숫자를 구하세요.

주어진 것: $N = $ $42$ 의 모든 양의 약수의 곱; $42 = 2 \times 3 \times 7$ 이므로 약수는 $1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42$; 선택지: (A) $0$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $6$, (E) $8$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기

도구 #5(패턴 찾기)가 포착하는 패턴은 약수의 대칭성입니다 — 모든 약수 $d$ 에는 유일한 "짝" $42/d$ 가 있고, 두 수의 곱은 늘 $42$. 그러니 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 약수를 한번 정리해 두면, 4 개 짝의 곱 $42 \times 42 \times 42 \times 42 = 42^4$ 로 묶을 수 있습니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일의 자리 질문을 "$42^4$ 의 일의 자리는?" 로 줄여주고, 이건 결국 $2$ 의 $4$ 제곱의 끝자리에만 의존합니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 1

$42$ 의 모든 양의 약수를 순서대로 나열합니다.
$42 = 2 \times 3 \times 7$ 이므로 모든 약수는 $\{2, 3, 7\}$ 의 부분집합 곱으로 만들 수 있고, 총 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 개.

$$42 \text{ 의 약수: } 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42$$

💡 모든 약수를 순서대로 적는 것은 4학년 "약수쌍 모두 찾기" 그 자체 — 빠뜨릴 수 없게 해 줘요.

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 2

약수끼리 짝지웁니다.
작은 약수 $d$ 와 곱이 $42$ 가 되는 큰 짝 $42/d$ 를 매칭.
8 개의 약수가 4 개의 짝으로 나뉩니다.

$$1 \cdot 42 = 42, \quad 2 \cdot 21 = 42, \quad 3 \cdot 14 = 42, \quad 6 \cdot 7 = 42$$

💡 약수는 원래 수를 만드는 짝으로 모인다는 대칭성 — 도구 #5 가 잡아내는 패턴이자 4학년 "약수쌍" 사고.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 3

네 개의 짝의 곱을 한꺼번에 모읍니다.
각 짝이 $42$ 를 기여하므로 전체 곱 $N$ 은 $42$ 의 $4$ 제곱.

$$N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 14 \cdot 21 \cdot 42 = (1 \cdot 42)(2 \cdot 21)(3 \cdot 14)(6 \cdot 7) = 42^4$$

💡 $42$ 가 네 번 곱해지면 $42^4$ — 6학년 "자연수 지수의 수식 계산".

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.1 단계 4

이제 $42^4$ 의 일의 자리만 구합니다.
거듭제곱의 일의 자리는 밑의 일의 자리에만 의존하므로, $42^4$ 의 끝자리는 $2^4$ 의 끝자리와 같습니다.

$$42^4 \equiv 2^4 \equiv 16 \equiv 6 \pmod{10} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 곱의 일의 자리에 십의 자리 이상은 영향을 주지 않아요 — 8학년 정수 지수의 성질로 깔끔히 정리.

[1] #2 4.OA.B.4 $42$ 의 모든 양의 약수를 순서대로 나열합니다. $42 = 2 \times 3 \times 7$ 이므로 모든 약수는 $\{2, 3, 7\}$

[2] #5 4.OA.B.4 약수끼리 짝지웁니다. 작은 약수 $d$ 와 곱이 $42$ 가 되는 큰 짝 $42/d$ 를 매칭. 8 개의 약수가 4 개의 짝으로 나뉩니다.

[3] #7 6.EE.A.1 네 개의 짝의 곱을 한꺼번에 모읍니다. 각 짝이 $42$ 를 기여하므로 전체 곱 $N$ 은 $42$ 의 $4$ 제곱.

[4] #7 8.EE.A.1 이제 $42^4$ 의 일의 자리만 구합니다. 거듭제곱의 일의 자리는 밑의 일의 자리에만 의존하므로, $42^4$ 의 끝자리는 $2^4$ 의 끝자

검토

합리성 확인: 끝자리만 따라가는 "느린 길" 로도 검증해 봅시다. 각 약수의 일의 자리를 차례로 곱하기: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2$. 끝자리만 추적: $1 \to 2 \to 6 \to 6 \to 2 \to 8 \to 8 \to 6$. 일의 자리 $= 6$ 으로 답 (D) 와 일치. 짝짓기 기법은 같은 답을 훨씬 적은 산수로 얻게 해 줍니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 만 써서 짝짓기 없이 풀기: 위에서 보인 것처럼 끝자리만 순서대로 곱해 나갑니다. 짝짓기 쪽이 빠르지만, 무지성으로 한 줄씩 곱해도 결국 $6$ 이 나와 답 (D) 가 확정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.OA.B.4 약수쌍 구하기와 배수 인식 ($42$ 의 8 개 약수를 모두 나열하고, 작은 약수 $d$ 와 짝 $42/d$ 를 매칭해 각 짝의 곱이 $42$ 가 되도록 묶음.)
6.EE.A.1 자연수 지수가 있는 수식 쓰고 계산하기 (네 짝의 곱 $42 \cdot 42 \cdot 42 \cdot 42$ 를 단일 식 $42^4$ 로 표현.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 적용하기 (거듭제곱의 일의 자리는 밑의 일의 자리에만 의존한다는 사실로 $42^4 \equiv 2^4 = 16 \pmod{10}$ 을 써서 일의 자리 $6$ 을 뽑아냄.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 지수 법칙만 알면 풀 수 있어요 — $42$ 의 약수들을 곱이 $42$ 가 되도록 짝지으면 $N = 42^4$, 그 일의 자리는 $2^4 = 16$ 의 끝자리!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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