AMC 10 · 2024 · #9

학년 8 arithmetic

mean-median-mode-rangeperfect-squareslinear-equations-two-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangelinear-equations-one-var

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Real numbers $a, b,$ and $c$ have arithmetic mean 0. The arithmetic mean of $a^2, b^2,$ and $c^2$ is 10. What is the arithmetic mean of $ab, ac,$ and $bc$ ?

$\textbf{(A) } -5 \qquad\textbf{(B) } -\dfrac{10}{3} \qquad\textbf{(C) } -\dfrac{10}{9} \qquad\textbf{(D) } 0 \qquad\textbf{(E) } \dfrac{10}{9}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-5

(B)

$-\dfrac{10}{3}$

(C)

$-\dfrac{10}{9}$

(D)

(E)

$\dfrac{10}{9}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 실수 $a, b, c$ 의 산술평균이 $0$ 이고, 제곱 $a^2, b^2, c^2$ 의 산술평균이 $10$ 입니다. 세 쌍 곱 $ab, ac, bc$ 의 산술평균을 구하세요.

주어진 것: $a, b, c$ 의 평균이 $0$ 이므로 $a + b + c = 0$; $a^2, b^2, c^2$ 의 평균이 $10$ 이므로 $a^2 + b^2 + c^2 = 30$; 선택지: (A) $-5$, (B) $-\tfrac{10}{3}$, (C) $-\tfrac{10}{9}$, (D) $0$, (E) $\tfrac{10}{9}$

구하는 것: 산술평균 $\tfrac{ab + ac + bc}{3}$

이해

문제 재정리: 세 실수 $a, b, c$ 의 산술평균이 $0$ 이고, 제곱 $a^2, b^2, c^2$ 의 산술평균이 $10$ 입니다. 세 쌍 곱 $ab, ac, bc$ 의 산술평균을 구하세요.

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기

$a, b, c$ 의 개별 값은 필요 없고 오직 대칭 조합 $ab + ac + bc$ 만 알면 됩니다 — 이것이 도구 #13(대수로 바꾸기)의 신호입니다. 두 "평균" 문장을 깔끔한 등식으로 옮긴 뒤, 세 합 $(a + b + c)$, $(a^2 + b^2 + c^2)$, $(ab + ac + bc)$ 를 동시에 묶어주는 항등식을 찾으면 됩니다. 세 항을 정확히 잇는 다리가 $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)$. 이어서 도구 #11(거꾸로 풀기)이 $ab + ac + bc$ 를 미지수로 보고 알려진 합들을 대입한 뒤 역연산으로 끄집어냅니다.

실행 — 정답: A

#13 대수로 바꾸기 6.SP.A.3 단계 1

두 "평균" 문장을 합 형태로 옮깁니다.
각 평균에 $3$ 을 곱하면 분수가 사라지고, 다음 단계에서 다룰 두 합이 깔끔히 드러납니다.

$$a + b + c = 0, \quad a^2 + b^2 + c^2 = 30$$

💡 평균 $\times$ 개수 = 합 — 6학년 "중심 측도가 자료를 한 수로 요약한다" 그대로.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 2

삼항식 제곱 항등식을 떠올립니다.
$(a + b + c)^2$ 을 전개하면 모든 제곱과 모든 쌍 곱의 두 배가 나와, 우리가 가진 두 합과 미지의 합을 정확히 잇는 다리가 됩니다.

$$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)$$

💡 이 항등식은 "큰 정사각형을 세 정사각형과 여섯 개의 같은 직사각형으로 가른다" 의 대수 버전 — 8학년 일차/이차방정식 사고.

#11 거꾸로 풀기 8.EE.C.7 단계 3

알려진 합을 대입합니다.
좌변은 $0^2 = 0$, 우변의 첫 항은 $30$.
괄호 안을 미지수로 두고 역연산으로 끄집어내는 도구 #11(거꾸로 풀기) 동작입니다.

$$0 = 30 + 2(ab + ac + bc) \;\Rightarrow\; ab + ac + bc = \dfrac{0 - 30}{2} = -15$$

💡 $30$ 더하기를 되돌리고, $2$ 곱하기를 되돌리고 — 도구 #11 의 역연산 사슬 그대로.

#13 대수로 바꾸기 6.SP.A.3 단계 4

합을 $3$ 으로 나눠 문제가 요구한 평균으로 바꿉니다.

$$\text{평균} = \dfrac{ab + ac + bc}{3} = \dfrac{-15}{3} = -5 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 평균 = 합 $\div$ 개수 — 1단계에서 시작했던 6학년 정의로 다시 돌아옴.

[1] #13 6.SP.A.3 두 "평균" 문장을 합 형태로 옮깁니다. 각 평균에 $3$ 을 곱하면 분수가 사라지고, 다음 단계에서 다룰 두 합이 깔끔히 드러납니다.

[2] #13 8.EE.C.7 삼항식 제곱 항등식을 떠올립니다. $(a + b + c)^2$ 을 전개하면 모든 제곱과 모든 쌍 곱의 두 배가 나와, 우리가 가진 두 합과 미지

[3] #11 8.EE.C.7 알려진 합을 대입합니다. 좌변은 $0^2 = 0$, 우변의 첫 항은 $30$. 괄호 안을 미지수로 두고 역연산으로 끄집어내는 도구 #11(거꾸로

[4] #13 6.SP.A.3 합을 $3$ 으로 나눠 문제가 요구한 평균으로 바꿉니다.

검토

합리성 확인: 부호 확인: 제곱의 평균($10$) 은 양수인데 값의 평균은 $0$ 이므로 $a, b, c$ 의 부호가 섞여 있어야 합니다 — 그러면 쌍 곱들의 합은 음의 기여가 강해져 답 $-5$ 가 자연스럽습니다. 구체 예: $a = \sqrt{15}, b = -\sqrt{15}, c = 0$. 평균 $0\;\checkmark$, 제곱평균 $\tfrac{15 + 15 + 0}{3} = 10\;\checkmark$, 쌍 곱은 $ab = -15, ac = 0, bc = 0$, 평균 $= -5\;\checkmark$. 답 (A) 확정.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 위의 간단한 삼중쌍 ($a = \sqrt{15}, b = -\sqrt{15}, c = 0$) 으로 즉시 $-5$ 를 얻습니다. 이 값이 *모든* 적합한 $a, b, c$ 에 대해서도 같은지는 2단계의 항등식이 보장합니다 — 결과는 두 합만으로 강제되고 구체적 $(a, b, c)$ 선택과 무관. 그러므로 $-5$ 가 유일한 답 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.SP.A.3 중심 측도가 모든 값을 한 수로 요약함을 인식하기 ("$a, b, c$ 의 평균이 $0$" 를 합 $a + b + c = 0$ 으로 옮기고, 마지막에 $ab + ac + bc = -15$ 를 $3$ 으로 나눠 요구된 평균을 회복.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀기 (삼항식 제곱 항등식 $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)$ 를 적용하고, 미지수 $ab + ac + bc$ 에 대한 일차방정식을 풀어냄.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 방정식 풀이만 알면 풀 수 있어요 — 합의 제곱이 세 합을 한 식으로 묶어주고, 한 줄의 대수로 쌍 곱 평균이 뽑혀 나옵니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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