AMC 8 · 1999 · #21
학년 7 geometry-2d문제
The degree measure of angle is
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 선분들이 서로 교차해 만들어진 별 모양의 닫힌 도형 안에, 세 개의 작은 삼각형 영역에 각각 $40^\circ$(왼쪽 아래 끝), $100^\circ$(가운데 삼각형), $110^\circ$($A$ 근처 삼각형)가 표시되어 있습니다. 각 $A$ 의 크기를 구하세요.
주어진 것: 도형 안에 표시된 세 각: $40^\circ$, $100^\circ$, $110^\circ$; 각 $A$ 는 바깥쪽 다각형의 한 꼭짓점에 있다; 선택지: (A) $20$, (B) $30$, (C) $35$, (D) $40$, (E) $45$
구하는 것: 각 $A$ 의 크기
이해
문제 재정리: 선분들이 서로 교차해 만들어진 별 모양의 닫힌 도형 안에, 세 개의 작은 삼각형 영역에 각각 $40^\circ$(왼쪽 아래 끝), $100^\circ$(가운데 삼각형), $110^\circ$($A$ 근처 삼각형)가 표시되어 있습니다. 각 $A$ 의 크기를 구하세요.
주어진 것: 도형 안에 표시된 세 각: $40^\circ$, $100^\circ$, $110^\circ$; 각 $A$ 는 바깥쪽 다각형의 한 꼭짓점에 있다; 선택지: (A) $20$, (B) $30$, (C) $35$, (D) $40$, (E) $45$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 나누기
보조 도구: #1 그림 그리기
도형은 복잡해 보이지만, 표시된 세 각은 각각 교차로 생긴 작은 삼각형 안에 들어 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)을 쓰면 그림을 두 개의 작은 삼각형으로 쪼갤 수 있어요. 첫 번째 삼각형은 $100^\circ$ 와 $40^\circ$ 를 품고 있고, 두 번째 삼각형은 $110^\circ$ 와 각 $A$ 를 품고 있습니다. 두 삼각형은 한 변을 공유하므로, 첫 번째 삼각형의 세 번째 각이 그대로 두 번째 삼각형의 한 내각으로 다시 등장합니다. 도구 #1(그림 그리기)은 새로 알아낸 각을 그림 위에 표시해 두 삼각형 사이의 연결을 눈에 보이게 만들어 줍니다. 대수는 필요 없고, 삼각형 내각의 합 규칙만 두 번 쓰면 됩니다.
실행 — 정답: B
7.G.B.5 단계 1 - 첫 번째 작은 문제를 고릅니다: $100^\circ$ 와 $40^\circ$ 가 들어 있는 삼각형.
- 세 내각의 합은 $180^\circ$ 이므로 나머지 한 각이 자동으로 정해집니다.
💡 삼각형에서 두 각을 알면 남은 한 각은 그저 $180^\circ$ 에서 두 각의 합을 뺀 값입니다.
4.G.A.1 단계 2 - 새로 찾은 $40^\circ$ 를 두 삼각형이 공유하는 꼭짓점에 표시합니다.
- 첫 번째 삼각형의 한 변은 두 번째 삼각형(각 $A$ 와 $110^\circ$ 가 들어 있는 삼각형)의 한 변이기도 하므로, 그 공유변에 붙은 $40^\circ$ 는 두 번째 삼각형의 한 내각이기도 합니다.
💡 두 삼각형이 한 변을 공유하면 그 변에 붙은 각은 양쪽 삼각형 모두에서 같은 각입니다. 그림에 표시해 두면 재사용이 확연히 보입니다.
7.G.B.5 단계 3 두 번째 작은 문제를 풉니다: 각 $A$, $110^\circ$, 옮겨 적은 $40^\circ$ 가 들어 있는 삼각형에 다시 한 번 내각의 합 규칙을 적용합니다.
💡 첫 번째 삼각형을 닫아 준 규칙이 두 번째 삼각형도 닫아 줍니다. "세 각의 합은 $180^\circ$" 를 두 번 쓰는 것이 전부예요.
7.G.B.5 첫 번째 작은 문제를 고릅니다: $100^\circ$ 와 $40^\circ$ 가 들어 있는 삼각형. 세 내각의 합은 $180^\circ$ 이므로 4.G.A.1 새로 찾은 $40^\circ$ 를 두 삼각형이 공유하는 꼭짓점에 표시합니다. 첫 번째 삼각형의 한 변은 두 번째 삼각형(각 $A$ 와 $110^ 7.G.B.5 두 번째 작은 문제를 풉니다: 각 $A$, $110^\circ$, 옮겨 적은 $40^\circ$ 가 들어 있는 삼각형에 다시 한 번 내각의 합 검토
합리성 확인: 두 삼각형이 모두 깔끔하게 닫힙니다. 첫 번째 삼각형: $100 + 40 + 40 = 180$, 두 번째 삼각형: $110 + 40 + 30 = 180$. 답 $30^\circ$ 는 양수이고 $180^\circ$ 보다 훨씬 작으니 삼각형 내각으로서 자연스럽고, 선택지 (B) 와 일치합니다. 간단 검산: $A$ 가 들어 있는 삼각형에는 큰 $110^\circ$ 가 있으므로 나머지 두 각의 합은 $70^\circ$ 뿐. $40^\circ + 30^\circ$ 가 정확히 맞고, $70^\circ$ 를 넘는 답은 애초에 불가능합니다.
대안 접근: 도구 #5(규칙 찾기) — 외각 정리 활용. 그림에서 한 선분이 곧장 이어지므로, 공유 꼭짓점에서 두 번째 삼각형의 외각이 첫 번째 삼각형의 세 번째 각과 같습니다. 외각 정리에 따르면 한 삼각형의 외각은 나머지 두 내각의 합과 같으므로, 두 번째 삼각형에서 $40^\circ + A$ 가 $110^\circ$ 와 보각을 이루는 $70^\circ$ 와 같아져 $A = 30^\circ$. 어느 경로로 정리해도 답은 (B).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.G.B.5보각·여각·맞꼭지각·인접각의 성질을 이용해 도형 속 미지각을 구하는 다단계 문제 해결 (삼각형 내각의 합 규칙을 두 번 적용 — 먼저 $(100^\circ, 40^\circ, ?)$ 삼각형의 세 번째 각을 구하고, 이어서 $(A, 110^\circ, 40^\circ)$ 삼각형에서 $A$ 를 구하는 데 사용.)4.G.A.1평면도형에서 점·선·선분·반직선·각을 그리고 알아보기 (두 작은 삼각형이 공유하는 변을 알아보고, 첫 번째 삼각형의 세 번째 각 $40^\circ$ 가 두 번째 삼각형의 한 내각으로 다시 나타남을 확인하는 데 사용.)
⭐ 작은 삼각형 두 개, 공유하는 변 하나. 첫 번째 삼각형에서 $180 - 100 - 40 = 40^\circ$ 를 얻고, 그 $40^\circ$ 를 두 번째 삼각형에 그대로 넘기면 $A = 180 - 110 - 40 = 30^\circ$ — 답은 (B).
⭐ 작은 삼각형 두 개, 공유하는 변 하나. 첫 번째 삼각형에서 $180 - 100 - 40 = 40^\circ$ 를 얻고, 그 $40^\circ$ 를 두 번째 삼각형에 그대로 넘기면 $A = 180 - 110 - 40 = 30^\circ$ — 답은 (B).
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