AMC 8 · 1999 · #22
학년 6 rate-ratio문제
In a far-off land three fish can be traded for two loaves of bread and a loaf of bread can be traded for four bags of rice. How many bags of rice is one fish worth?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 두 가지 교환 비율이 주어집니다. 물고기 $3$ 마리는 빵 $2$ 덩어리와, 빵 $1$ 덩어리는 쌀 $4$ 포대와 교환됩니다. 이 비율만 사용해서, 물고기 한 마리는 쌀 몇 포대의 가치일까요?
주어진 것: 물고기 $3$ 마리 $=$ 빵 $2$ 덩어리 (교환 가치 같음); 빵 $1$ 덩어리 $=$ 쌀 $4$ 포대 (교환 가치 같음); 선택지: (A) $\tfrac{3}{8}$, (B) $\tfrac{1}{2}$, (C) $\tfrac{3}{4}$, (D) $2\tfrac{2}{3}$, (E) $3\tfrac{1}{3}$
구하는 것: 물고기 $1$ 마리의 쌀 포대로 환산한 가치
이해
문제 재정리: 두 가지 교환 비율이 주어집니다. 물고기 $3$ 마리는 빵 $2$ 덩어리와, 빵 $1$ 덩어리는 쌀 $4$ 포대와 교환됩니다. 이 비율만 사용해서, 물고기 한 마리는 쌀 몇 포대의 가치일까요?
주어진 것: 물고기 $3$ 마리 $=$ 빵 $2$ 덩어리 (교환 가치 같음); 빵 $1$ 덩어리 $=$ 쌀 $4$ 포대 (교환 가치 같음); 선택지: (A) $\tfrac{3}{8}$, (B) $\tfrac{1}{2}$, (C) $\tfrac{3}{4}$, (D) $2\tfrac{2}{3}$, (E) $3\tfrac{1}{3}$
계획
주요 도구: #3 방정식 세우기
보조 도구: #4 변수 도입하기
두 교환 문장은 각각 가치가 같다는 식입니다. 도구 #3(방정식 세우기)으로 두 문장을 $3F = 2B$, $B = 4R$ 로 옮기고, 도구 #4(변수 도입하기)로 물고기, 빵, 쌀의 가치에 한 글자씩 이름을 붙이면 대입이 기계적이 됩니다. 빵은 두 식 모두에 등장하므로 "다리" 역할을 합니다 — 첫 식의 $B$ 를 두 번째 식의 $4R$ 로 바꾸면 빵 변수는 사라지고 물고기를 쌀로 표현한 식만 남습니다. 양변을 $3$ 으로 나누면 물고기 한 마리의 가치가 나옵니다.
실행 — 정답: D
6.EE.A.2 단계 1 - 각 품목 하나의 가치에 한 글자씩 이름을 붙입니다.
- 그래야 교환 문장이 방정식이 됩니다.
💡 세 미지수에 짧은 이름을 붙이는 순간 응용 문제가 대수로 바뀝니다.
6.RP.A.3 단계 2 - 각 교환을 방정식으로 옮깁니다.
- "물고기 $3$ 마리 $=$ 빵 $2$ 덩어리" 와 "빵 $1$ 덩어리 $=$ 쌀 $4$ 포대" 는 양쪽 가치가 같다는 등식이 됩니다.
💡 교환은 결국 가치가 같은 양변의 등식 — 교환의 양쪽에 있는 것을 그대로 적어 등호로 잇습니다.
6.EE.A.2 단계 3 - 대입으로 빵을 지웁니다.
- 두 번째 식에서 빵 $B$ 는 $4R$ 과 같으므로, 첫 식의 $B$ 를 $4R$ 로 바꿔 넣습니다.
💡 빵이 두 식 모두에 있으니 한쪽을 다른 쪽으로 바꿔 넣을 수 있습니다. 바꾸고 나면 물고기와 쌀만 남습니다.
6.EE.B.7 단계 4 양변을 $3$ 으로 나눠 물고기 한 마리의 값을 구하고, 대분수로 정리합니다.
💡 물고기 $3$ 마리가 쌀 $8$ 포대라면, 한 마리는 그 $\tfrac{1}{3}$ 인 $2\tfrac{2}{3}$ 포대입니다.
6.EE.A.2 각 품목 하나의 가치에 한 글자씩 이름을 붙입니다. 그래야 교환 문장이 방정식이 됩니다. 6.RP.A.3 각 교환을 방정식으로 옮깁니다. "물고기 $3$ 마리 $=$ 빵 $2$ 덩어리" 와 "빵 $1$ 덩어리 $=$ 쌀 $4$ 포대" 는 양쪽 가치가 6.EE.A.2 대입으로 빵을 지웁니다. 두 번째 식에서 빵 $B$ 는 $4R$ 과 같으므로, 첫 식의 $B$ 를 $4R$ 로 바꿔 넣습니다. 6.EE.B.7 양변을 $3$ 으로 나눠 물고기 한 마리의 값을 구하고, 대분수로 정리합니다. 검토
합리성 확인: 크기를 점검합니다. 물고기 한 마리는 꽤 많은 쌀에 해당해야 합니다 — 물고기는 빵과 교환되고, 빵 하나만 해도 이미 쌀 $4$ 포대이기 때문이죠. $3F = 2B$ 에서 물고기 한 마리는 빵 $\tfrac{2}{3}$ 덩어리, 그 $\tfrac{2}{3}$ 덩어리는 $\tfrac{2}{3} \times 4 = \tfrac{8}{3} = 2\tfrac{2}{3}$ 포대 — (D) 가 맞습니다. 작은 분수 선택지 (A) $\tfrac{3}{8}$, (B) $\tfrac{1}{2}$, (C) $\tfrac{3}{4}$ 는 "쌀 한 포대를 물고기로 환산한 값" 이지, "물고기 한 마리를 쌀로 환산한 값" 이 아닙니다 — 역수 함정입니다. (E) $3\tfrac{1}{3}$ 은 첫 교환의 $2$ 와 $3$ 을 뒤바꿔($2F = 3B$) 풀었을 때 나오는 값입니다.
대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기): 변수 없이 한꺼번에 환산합니다. 물고기 $3$ 마리 $\to$ 빵 $2$ 덩어리 $\to$ 쌀 $2 \times 4 = 8$ 포대. 그러므로 물고기 $3$ 마리 $=$ 쌀 $8$ 포대이고, 한 마리는 $\tfrac{8}{3} = 2\tfrac{2}{3}$ 포대 — (D). 빵이라는 다리를 통해 통째로 묶어 환산하면 변수 없이도 풀립니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.2문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (물고기, 빵, 쌀 하나의 가치에 $F, B, R$ 변수를 붙여 교환 문장을 방정식으로 옮기는 데 사용.)6.RP.A.3비와 비율을 이용해 실세계 및 수학 문제를 해결하기 (각 교환을 "같은 가치의 비" (물고기 $3$ 당 빵 $2$, 빵 $1$ 당 쌀 $4$) 로 읽고, 공통 품목인 빵을 통해 두 비를 이어 붙이는 데 사용.)6.EE.B.7$px = q$ 형태의 일차방정식을 세우고 풀어 실세계 문제 해결하기 ($3F = 8R$ 의 양변을 $3$ 으로 나눠 $F = \tfrac{8}{3}R = 2\tfrac{2}{3}R$ 을 얻는 데 사용.)
⭐ 빵이 물고기와 쌀 사이의 다리입니다. 물고기 $3$ 마리는 빵 $2$ 덩어리, 빵 $2$ 덩어리는 쌀 $8$ 포대 — 그러므로 한 마리는 $\tfrac{8}{3} = 2\tfrac{2}{3}$ 포대. 답은 (D).
⭐ 빵이 물고기와 쌀 사이의 다리입니다. 물고기 $3$ 마리는 빵 $2$ 덩어리, 빵 $2$ 덩어리는 쌀 $8$ 포대 — 그러므로 한 마리는 $\tfrac{8}{3} = 2\tfrac{2}{3}$ 포대. 답은 (D).