AMC 8 · 1999 · #7
학년 4 arithmetic문제
The third exit on a highway is located at milepost 40 and the tenth exit is at milepost 160. There is a service center on the highway located three-fourths of the way from the third exit to the tenth exit. At what milepost would you expect to find this service center?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 고속도로의 $3$ 번 출구는 마일포스트(milepost) $40$ 에, $10$ 번 출구는 마일포스트 $160$ 에 있습니다. 휴게소는 $3$ 번 출구에서 $10$ 번 출구 방향으로 전체 거리의 $\tfrac{3}{4}$ 지점에 있다고 합니다. 휴게소의 마일포스트는 얼마일까요?
주어진 것: $3$ 번 출구는 마일포스트 $40$; $10$ 번 출구는 마일포스트 $160$; 휴게소는 $3$ 번 출구에서 $10$ 번 출구로 가는 거리의 $\tfrac{3}{4}$ 지점; 선택지: (A) $90$, (B) $100$, (C) $110$, (D) $120$, (E) $130$
구하는 것: 휴게소의 마일포스트 값
이해
문제 재정리: 고속도로의 $3$ 번 출구는 마일포스트(milepost) $40$ 에, $10$ 번 출구는 마일포스트 $160$ 에 있습니다. 휴게소는 $3$ 번 출구에서 $10$ 번 출구 방향으로 전체 거리의 $\tfrac{3}{4}$ 지점에 있다고 합니다. 휴게소의 마일포스트는 얼마일까요?
주어진 것: $3$ 번 출구는 마일포스트 $40$; $10$ 번 출구는 마일포스트 $160$; 휴게소는 $3$ 번 출구에서 $10$ 번 출구로 가는 거리의 $\tfrac{3}{4}$ 지점; 선택지: (A) $90$, (B) $100$, (C) $110$, (D) $120$, (E) $130$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 나누기
보조 도구: #1 그림 그리기
질문은 하나지만 안에 작은 작업 세 개가 숨어 있어요. 도구 #7(작은 문제로 나누기)의 신호입니다: (i) 두 출구 사이의 전체 거리를 구하고, (ii) 그 거리의 $\tfrac{3}{4}$ 을 계산하고, (iii) 결과를 출발 마일포스트에 더합니다. 도구 #1(그림 그리기)이 이를 받쳐 줍니다 — $40$ 부터 $160$ 까지 수직선을 간단히 그려 보면 "$\tfrac{3}{4}$ 지점" 이 말이 아닌 눈금으로 보이고, $160$ 의 $\tfrac{3}{4}$ 을 잘못 계산하는 흔한 실수도 막을 수 있습니다.
실행 — 정답: E
4.OA.A.3 단계 1 작은 문제 1: 두 마일포스트의 차이로 두 출구 사이의 거리를 구합니다.
💡 수직선 위 두 점 사이의 거리는 두 값의 차이입니다 — 4학년 여러 단계 문제 풀이의 첫 손길이에요.
4.NF.B.4 단계 2 - 작은 문제 2: $120$ 마일의 $\tfrac{3}{4}$ 를 구합니다.
- 분수에 자연수를 곱하는 것은 $3 \times \tfrac{120}{4}$ 과 같습니다.
💡 4학년 "전체의 분수": 분모로 나눈 뒤 분자를 곱합니다.
4.OA.A.3 단계 3 - 작은 문제 3: $3$ 번 출구의 마일포스트에서 출발해 고속도로를 따라 $90$ 마일 더 갑니다.
- 더해서 휴게소의 마일포스트를 구합니다.
💡 마일포스트는 진행 방향으로 커지므로, 출발 마일포스트에 거리만큼 더하면 도착 마일포스트가 됩니다.
4.OA.A.3 작은 문제 1: 두 마일포스트의 차이로 두 출구 사이의 거리를 구합니다. 4.NF.B.4 작은 문제 2: $120$ 마일의 $\tfrac{3}{4}$ 를 구합니다. 분수에 자연수를 곱하는 것은 $3 \times \tfrac{120}{ 4.OA.A.3 작은 문제 3: $3$ 번 출구의 마일포스트에서 출발해 고속도로를 따라 $90$ 마일 더 갑니다. 더해서 휴게소의 마일포스트를 구합니다. 검토
합리성 확인: 위치를 확인해 봅시다. $40$ 에서 $160$ 까지의 $\tfrac{3}{4}$ 지점은 $40$ 보다는 $160$ 에 훨씬 가까워야 합니다. 답 $130$ 은 $3$ 번 출구에서 $90$ 마일 떨어졌고 $10$ 번 출구까지는 $30$ 마일만 남아 있는데, $90 : 30 = 3 : 1$ — "세 부분 갔고 한 부분 남았다" 라는 "$\tfrac{3}{4}$ 지점" 의 뜻과 정확히 맞습니다. 중간 지점은 $\tfrac{40+160}{2} = 100$ 이므로 휴게소는 $100$ 과 $160$ 사이에 있어야 합니다. 이 한 가지로 (A) $90$, (B) $100$, (C) $110$ 이 한 번에 걸러지고, (D) $120$ 도 "세 부분 : 한 부분" 비율을 만족하지 않아 탈락합니다.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): $40$ 부터 $160$ 까지 수직선을 그리고 $120$ 마일의 간격을 네 등분 하면 각 칸이 $30$ 마일씩, 눈금이 $40, 70, 100, 130, 160$ 에 자리잡습니다. "$\tfrac{3}{4}$ 지점" 은 $40$ 다음으로 세 번째 눈금, 즉 $130$ — 분수 곱셈 없이 같은 간격 세 번만 세도 답 (E) 가 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.A.3사칙연산을 이용한 여러 단계 자연수 문장제 해결하기 (뺄셈(거리 구하기) → 곱셈(거리의 분수 만큼) → 덧셈(출발 마일포스트에 더하기) 의 세 작은 문제를 이어 푸는 데 사용.)4.NF.B.4곱셈에 대한 이해를 확장해 분수에 자연수를 곱하기 ($\tfrac{3}{4} \times 120 = 90$ 을 "$4$ 로 나누고 $3$ 을 곱한다" 로 계산해 $120$ 마일의 $\tfrac{3}{4}$ 을 구하는 데 사용.)
⭐ "$A$ 에서 $B$ 까지의 분수 지점" 은 항상 $B - A$ 의 분수만큼이고, 그 값을 다시 $A$ 에 더합니다. 빼고, 분수를 취하고, 다시 더하기 — 4학년 단계 셋이면 이 AMC 8 문제는 끝납니다.
⭐ "$A$ 에서 $B$ 까지의 분수 지점" 은 항상 $B - A$ 의 분수만큼이고, 그 값을 다시 $A$ 에 더합니다. 빼고, 분수를 취하고, 다시 더하기 — 4학년 단계 셋이면 이 AMC 8 문제는 끝납니다.
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