AMC 8 · 2000 · #19

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

area-circlesarea-trianglesspatial-visualizationreflection-symmetry area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Three circular arcs of radius $5$ units bound the region shown. Arcs $AB$ and $AD$ are quarter-circles, and arc $BCD$ is a semicircle. What is the area, in square units, of the region?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$10+5\pi$

(C)

(D)

$50+5\pi$

(E)

$25\pi$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 모두 $5$ 인 세 개의 호로 둘러싸인 영역이 있습니다. 호 $AB$ 와 $AD$ 는 아래 두 모서리에서 안쪽으로 들어간 사분원이고, 호 $BCD$ 는 위쪽으로 볼록한 반원입니다. 이 영역의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 세 호의 반지름은 모두 $5$; 호 $AB$ 는 $(-5, 0)$ 을 중심으로 하는 사분원; 호 $AD$ 는 $(5, 0)$ 을 중심으로 하는 사분원; 호 $BCD$ 는 지름 $BD$ 위의 반원; asy 코드: $A=(0,0)$, $B=(-5,5)$, $C=(0,10)$, $D=(5,5)$; 선택지: (A) $25$, (B) $10+5\pi$, (C) $50$, (D) $50+5\pi$, (E) $25\pi$

구하는 것: 세 호로 둘러싸인 영역의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 나누기

겉모습은 구불구불하지만, asy 좌표를 보면 가운데에 깔끔한 직사각형이 숨어 있습니다. $B=(-5,5)$ 와 $D=(5,5)$ 는 $A=(0,0)$ 바로 위에 있죠. 도구 #1(그림 그리기)로 선분 $BD$ 를 그어 영역을 둘로 나눕니다. $BD$ 위는 지름이 $BD$ 인 반원, 아래는 $10 \times 5$ 직사각형의 두 아래 모서리에서 사분원만큼 파인 모양입니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 세 개의 익숙한 도형(직사각형·반원·사분원)의 넓이만 계산하면 끝. 핵심은: 위에 붙은 반원의 넓이가 아래에서 파인 사분원 두 개의 합과 정확히 같습니다($\tfrac{25\pi}{2} = 2 \cdot \tfrac{25\pi}{4}$). $\pi$ 항이 서로 상쇄되어 직사각형 넓이만 남습니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.NS.C.8 단계 1

선분 $BD$ 를 긋고 좌표를 읽습니다.
asy 코드에 따라 $A=(0,0)$, $B=(-5,5)$, $C=(0,10)$, $D=(5,5)$.
그러면 $BD$ 는 $y=5$ 높이의 가로 선분으로 $x=-5$ 에서 $x=5$ 까지, 길이 $10$.
이 선분이 영역을 두 부분으로 나눕니다: 호 $BCD$ 와 선분 $BD$ 로 둘러싸인 윗부분, 호 $AB$, $AD$ 와 선분 $BD$ 로 둘러싸인 아랫부분.

$$BD = 5 - (-5) = 10$$

💡 좌표평면 위 가로 길이는 $x$ 좌표 차이로 바로 구합니다 — 6학년 수직선 거리 개념 그대로.

#7 작은 문제로 나누기 7.G.B.4 단계 2

윗부분 넓이.
호 $BCD$ 는 지름 $BD = 10$ 인 반원이므로 반지름은 $5$.
넓이는 $\pi r^2$ 의 절반.

$$A_{\text{윗}} = \tfrac{1}{2}\pi(5)^2 = \dfrac{25\pi}{2}$$

💡 $A = \pi r^2$ 은 7학년 원 넓이 공식. 반원은 그 절반.

#7 작은 문제로 나누기 7.G.B.4 단계 3

아랫부분 넓이.
꼭짓점이 $(-5,0), (5,0), (5,5), (-5,5)$ 인 직사각형을 떠올립니다.
너비 $10$, 높이 $5$, 넓이 $50$.
호 $AB$ 와 $AD$ 는 $(-5,0)$ 과 $(5,0)$ 을 중심으로 하는 반지름 $5$ 의 사분원이고, 안쪽으로 휘어 직사각형의 두 아래 모서리에서 사분원만큼 파냅니다.
파인 부분 하나의 넓이는 $\tfrac{1}{4}\pi(5)^2 = \tfrac{25\pi}{4}$.

$$A_{\text{아랫}} = 10 \times 5 - 2 \cdot \tfrac{1}{4}\pi(5)^2 = 50 - \dfrac{25\pi}{2}$$

💡 직사각형에서 두 모서리의 사분원을 빼면 끝. 각 파인 부분은 반지름 $5$ 인 원의 사분의 일.

#7 작은 문제로 나누기 6.EE.A.3 단계 4

윗부분과 아랫부분을 더합니다.
반원이 더한 $\dfrac{25\pi}{2}$ 는 사분원 두 개가 빼낸 $\dfrac{25\pi}{2}$ 와 정확히 같아 서로 상쇄되고, 직사각형 넓이만 남습니다.

$$A_{\text{전체}} = \dfrac{25\pi}{2} + \left(50 - \dfrac{25\pi}{2}\right) = 50 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 동류항 정리: 부호가 반대인 $\pi$ 항은 합이 $0$, 상수 $50$ 만 남습니다.

[1] #1 6.NS.C.8 선분 $BD$ 를 긋고 좌표를 읽습니다. asy 코드에 따라 $A=(0,0)$, $B=(-5,5)$, $C=(0,10)$, $D=(5,5)$.

[2] #7 7.G.B.4 윗부분 넓이. 호 $BCD$ 는 지름 $BD = 10$ 인 반원이므로 반지름은 $5$. 넓이는 $\pi r^2$ 의 절반.

[3] #7 7.G.B.4 아랫부분 넓이. 꼭짓점이 $(-5,0), (5,0), (5,5), (-5,5)$ 인 직사각형을 떠올립니다. 너비 $10$, 높이 $5$, 넓이

[4] #7 6.EE.A.3 윗부분과 아랫부분을 더합니다. 반원이 더한 $\dfrac{25\pi}{2}$ 는 사분원 두 개가 빼낸 $\dfrac{25\pi}{2}$ 와 정확

검토

합리성 확인: 아래에서 파낸 사분원 두 개를 합치면 반지름 $5$ 짜리 반원이 되고, 이는 위에 붙은 반원과 똑같은 모양입니다. 파인 조각을 하나씩 들어 위 반원의 짝맞는 자리에 끼우면, 곡선 영역이 정확히 $10 \times 5$ 직사각형으로 재배열됩니다 — 넓이 $50$. 이로써 (A) $25$ 는 너무 작고(직사각형만 해도 $50$), (E) $25\pi \approx 78.5$ 는 너무 큽니다($10 \times 10$ 외접 정사각형 넓이 $100$ 안에 들어가지만 그보다는 분명 작음). (B), (D) 는 $\pi$ 항이 남아 있어야 가능한 답이므로 제외. 깔끔한 정수 $50$ 이 (C) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #11(변하지 않는 것 찾기): 전체 넓이 $=$ 외접 직사각형 넓이 $+$ 호가 더하거나 빼는 부분의 합. 반원은 $\tfrac{25\pi}{2}$ 를 더하고 사분원 둘은 각각 $\tfrac{25\pi}{4}$ 씩 빼므로, $\pi$ 항의 순합은 $\tfrac{25\pi}{2} - 2\cdot\tfrac{25\pi}{4} = 0$. 대칭에 의해 $\pi$ 항이 반드시 상쇄되므로 답에 $\pi$ 가 있을 수 없습니다. $\pi$ 가 없는 보기는 (A) $25$ 와 (C) $50$ 뿐이고, (A) 는 명백히 너무 작습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.NS.C.8 좌표평면 위의 두 점 사이 거리 구하기 (같은 $x$ 또는 $y$ 좌표를 가진 경우 포함) (가로 선분 위에 있는 $B=(-5,5)$ 와 $D=(5,5)$ 의 $x$ 좌표 차이로 $BD = 10$ 을 구하는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 이용해 동치인 식 만들기 ($\tfrac{25\pi}{2} + \left(50 - \tfrac{25\pi}{2}\right)$ 에서 $\pi$ 항을 상쇄시켜 $50$ 만 남기는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이·둘레 공식을 알고 문제 해결에 사용 ($A = \pi r^2$ 로부터 반원 넓이 $\tfrac{25\pi}{2}$ 와 사분원 넓이 $\tfrac{25\pi}{4}$ 를 계산하는 데 사용.)
7.G.B.6 삼각형·사각형 등 도형들로 이루어진 평면 도형의 넓이 구하기 (곡선 영역을 $10 \times 5$ 직사각형, 반원, 두 사분원으로 분해해 넓이를 합산하는 데 사용.)

⭐ 선분 $BD$ 로 자르면 위에 붙은 반원의 넓이가 아래 직사각형에서 파인 두 사분원의 합과 같습니다. $\pi$ 항은 깔끔하게 상쇄되고, 답은 직사각형 넓이 $10 \times 5 = 50$ 뿐입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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