AMC 8 · 2000 · #2

학년 6 arithmetic

fraction-arithmeticsystematic-enumerationparity systematic-enumerationcaseworkguess-and-check ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Which of these numbers is less than its reciprocal?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-2

(B)

-1

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 개의 수 $-2, -1, 0, 1, 2$ 중에서 자기 자신의 역수보다 작은 (엄격히 $<$) 수를 찾으세요.

주어진 것: 후보 수는 $-2, -1, 0, 1, 2$ 다섯 개; $0$ 이 아닌 수 $x$ 의 역수는 $\dfrac{1}{x}$; 선택지: (A) $-2$, (B) $-1$, (C) $0$, (D) $1$, (E) $2$

구하는 것: $x < \dfrac{1}{x}$ 를 만족하는 단 하나의 선택지 $x$

이해

문제 재정리: 다섯 개의 수 $-2, -1, 0, 1, 2$ 중에서 자기 자신의 역수보다 작은 (엄격히 $<$) 수를 찾으세요.

주어진 것: 후보 수는 $-2, -1, 0, 1, 2$ 다섯 개; $0$ 이 아닌 수 $x$ 의 역수는 $\dfrac{1}{x}$; 선택지: (A) $-2$, (B) $-1$, (C) $0$, (D) $1$, (E) $2$

계획

주요 도구: #6 추측과 확인

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

후보가 다섯 개뿐이므로 도구 #6(추측과 확인) 으로 선택지를 직접 대입하는 길이 가장 짧아요. 각 $x$ 의 역수 $\tfrac{1}{x}$ 를 계산해 $x < \tfrac{1}{x}$ 가 참인지만 확인하면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 다섯 줄짜리 표에 정리하면 빠짐도 중복도 없고, "예" 가 나오는 한 줄이 눈에 바로 들어옵니다. 부호별 케이스 분석이나 대수는 필요 없습니다.

실행 — 정답: A

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.A.1 단계 1

선택지마다 한 줄씩, 표를 만듭니다.
각 $x$ 옆에 역수 $\tfrac{1}{x}$ 를 적고, $x < \tfrac{1}{x}$ 가 참인지 판단합니다.
$x = 0$ 은 역수가 존재하지 않으므로 자동으로 탈락입니다.

$$\begin{array}{c|c|c} x & \tfrac{1}{x} & x < \tfrac{1}{x}? \\ \hline -2 & -\tfrac{1}{2} & ? \\ -1 & -1 & ? \\ 0 & \text{정의 안 됨} & \text{탈락} \\ 1 & 1 & ? \\ 2 & \tfrac{1}{2} & ? \end{array}$$

💡 6학년에서 배우는 역수는 그냥 $1 \div x$ 입니다. 한 열에 모든 $\tfrac{1}{x}$ 를 적어 두면 좌우 비교가 한눈에 보여요.

#6 추측과 확인 6.NS.C.7 단계 2

각 줄을 차례로 확인합니다.
$x = -2$: 수직선에서 $-2$ 는 $-\tfrac{1}{2}$ 보다 왼쪽에 있으므로 $-2 < -\tfrac{1}{2}$ 는 참.
$x = -1$ 과 $x = 1$ 은 수와 역수가 같아 엄격한 $<$ 가 성립하지 않음.
$x = 2$ 는 $2 > \tfrac{1}{2}$ 이므로 $<$ 가 거짓.

$$\begin{array}{c|c|c} x & \tfrac{1}{x} & x < \tfrac{1}{x}? \\ \hline -2 & -\tfrac{1}{2} & \text{예} \\ -1 & -1 & \text{아니오 (같음)} \\ 0 & \text{정의 안 됨} & \text{아니오} \\ 1 & 1 & \text{아니오 (같음)} \\ 2 & \tfrac{1}{2} & \text{아니오} \end{array}$$

💡 음수에서는 "$0$ 에서 더 멀리 떨어진" 수가 더 작습니다. $-2$ 가 $-\tfrac{1}{2}$ 보다 왼쪽, 즉 더 작은 수예요.

#6 추측과 확인 6.EE.B.5 단계 3

"예" 가 나오는 줄은 단 하나, $x = -2$.
답은 선택지 (A) 입니다.

$$-2 < -\tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 주어진 다섯 값 중 부등식을 참으로 만드는 값은 단 하나이므로, 그 값이 정답입니다.

[1] #2 6.NS.A.1 선택지마다 한 줄씩, 표를 만듭니다. 각 $x$ 옆에 역수 $\tfrac{1}{x}$ 를 적고, $x < \tfrac{1}{x}$ 가 참인지 판

[2] #6 6.NS.C.7 각 줄을 차례로 확인합니다. $x = -2$: 수직선에서 $-2$ 는 $-\tfrac{1}{2}$ 보다 왼쪽에 있으므로 $-2 < -\tfrac

[3] #6 6.EE.B.5 "예" 가 나오는 줄은 단 하나, $x = -2$. 답은 선택지 (A) 입니다.

검토

합리성 확인: 정답을 다시 점검합니다. $-2$ 와 $-\tfrac{1}{2}$ 둘 다 음수인데, $-2$ 는 $0$ 에서 왼쪽으로 두 칸, $-\tfrac{1}{2}$ 는 반 칸만 떨어져 있어요. 수직선에서 더 왼쪽이 더 작은 값이므로 $-2 < -\tfrac{1}{2}$ 가 정말 성립합니다. "아니오" 줄도 확인됩니다: $-1 = -1$, $1 = 1$ 은 같으니 엄격한 $<$ 실패, $2$ 는 $\tfrac{1}{2}$ 보다 명확히 큼. 일반 규칙 "$x < \tfrac{1}{x}$ 는 $x < -1$ 또는 $0 < x < 1$ 일 때만 성립" 과도 일치하고, 선택지 중 그 구간에 든 수는 $-2$ 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #5(규칙성 찾기) 로 부호와 크기를 함께 봅니다. $x$ 와 $\tfrac{1}{x}$ 는 항상 같은 부호이고, $x < \tfrac{1}{x}$ 가 성립하려면 음수 쪽에서는 $x < -1$, 양수 쪽에서는 $0 < x < 1$ 이어야 해요. 다섯 선택지 중 그 두 구간에 드는 수는 $-2$ 뿐이므로 각 역수를 직접 계산하지 않고도 답이 (A) 임을 알 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.NS.A.1 분수의 나눗셈을 해석·계산하고, 나눗셈으로 역수 이해하기 (각 후보의 역수 $\tfrac{1}{x}$ 를 $1 \div x$ 로 적고, $1 \div 0$ 이 정의되지 않음을 확인하는 데 사용.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해, 수직선 위의 음수 포함 ($-2$ 와 $-\tfrac{1}{2}$ 를 비교해 $-2 < -\tfrac{1}{2}$ 임을 확인 — 유일한 "예" 줄.)
6.EE.B.5 주어진 값들 중 부등식을 참으로 만드는 값을 가려내는 과정으로 부등식 풀이 이해 (다섯 후보 중 $x < \tfrac{1}{x}$ 를 참으로 만드는 단 하나의 값을 읽어내는 데 사용.)

⭐ 후보가 다섯 개뿐이면, 각 수 옆에 역수를 적고 "수가 더 작은가?" 만 물으면 돼요. $-2$ 는 $-\tfrac{1}{2}$ 보다 왼쪽이라 작은 쪽이고, 나머지는 같거나 더 크니까 답은 (A) 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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