AMC 8 · 2000 · #25

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

area-rectanglesarea-trianglescoordinate-geometryfraction-multiplication area-differenceidentify-subproblemscoordinate-geometry ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

The area of rectangle $ABCD$ is $72$ units squared. If point $A$ and the midpoints of $\overline{BC}$ and $\overline{CD}$ are joined to form a triangle, the area of that triangle is

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 $ABCD$ 의 넓이가 $72$ 입니다. $\overline{BC}$ 의 중점을 $M$, $\overline{CD}$ 의 중점을 $N$ 이라 하고 $A$, $M$, $N$ 을 이어 삼각형을 만듭니다. $\triangle AMN$ 의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 직사각형 $ABCD$ 의 넓이는 $72$ 제곱 단위; $M$ 은 변 $\overline{BC}$ 의 중점; $N$ 은 변 $\overline{CD}$ 의 중점; 선택지: (A) $21$, (B) $27$, (C) $30$, (D) $36$, (E) $40$

구하는 것: $\triangle AMN$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

$\triangle AMN$ 의 변들은 직사각형 변과 나란하지 않아서 넓이를 직접 재기 어렵습니다. 도구 #16 (관점 바꾸기) 으로 시선을 뒤집습니다 — $A$, $M$, $N$ 이 직사각형의 세 모서리에서 직각삼각형 세 개를 잘라내고, 가운데 남는 부분이 바로 $\triangle AMN$ 입니다. 모서리의 직각삼각형들은 두 변이 직사각형 변 위에 있어 넓이가 쉽게 구해집니다. 도구 #1 (그림 그리기) 로 세 모서리 조각을 눈에 보이게 만들고, 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기) 로 넓이 $72$ 인 편한 직사각형 (예: $12 \times 6$) 을 골라 자연수 계산만 하도록 만듭니다. 중점 구성으로 만들어지는 안쪽 삼각형의 넓이는 직사각형의 모양과 무관하게 넓이에만 의존하므로 이렇게 골라도 답은 같습니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 1

직사각형과 점들을 그립니다.
문제 그림처럼 $D$ 는 왼쪽 아래, $C$ 는 오른쪽 아래, $B$ 는 오른쪽 위, $A$ 는 왼쪽 위에 놓습니다.
오른쪽 변 $\overline{BC}$ 의 한가운데를 $M$, 아래 변 $\overline{CD}$ 의 한가운데를 $N$ 으로 표시합니다.
넓이가 $72$ 인 편한 직사각형을 고릅니다 — $AB = CD = 12$, $BC = AD = 6$.
그림을 보면 모서리 $B$, $C$, $D$ 에 직각삼각형이 하나씩 끼어 있고, $\triangle AMN$ 은 그 가운데 남은 조각입니다.

$$AB = 12,\ BC = 6,\ \text{넓이}(ABCD) = 12 \times 6 = 72$$

💡 격자 위에 깔끔한 직사각형을 놓으면 모든 길이가 자연수가 되어, 모서리 삼각형 넓이는 "밑변 × 높이 ÷ 2" 한 번이면 끝납니다.

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 2

그림에서 네 가지 길이를 바로 읽어 냅니다.
$M$ 은 $\overline{BC}$ 의 중점이므로 $BM = MC = \tfrac{6}{2} = 3$.
$N$ 은 $\overline{CD}$ 의 중점이므로 $CN = ND = \tfrac{12}{2} = 6$.

$$BM = MC = 3,\quad CN = ND = 6$$

💡 "중점" 은 그저 "변의 절반" 이라는 뜻 — 그림에 표시만 해 두면 모서리 삼각형의 두 변 길이가 한눈에 보입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.G.A.1 단계 3

세 개의 모서리 직각삼각형 넓이를 계산합니다.
각 삼각형은 직사각형 꼭짓점에서 직각을 이루고, 두 변이 직사각형 변 위에 있습니다.\n\n• $\triangle ABM$ 은 $B$ 에서 직각, 두 변은 $AB = 12$ 와 $BM = 3$.
넓이 $= \tfrac{1}{2}(12)(3) = 18$.\n• $\triangle MCN$ 은 $C$ 에서 직각, 두 변은 $MC = 3$ 과 $CN = 6$.
넓이 $= \tfrac{1}{2}(3)(6) = 9$.\n• $\triangle AND$ 는 $D$ 에서 직각, 두 변은 $ND = 6$ 과 $AD = 6$.
넓이 $= \tfrac{1}{2}(6)(6) = 18$.

$$[ABM] = 18,\quad [MCN] = 9,\quad [AND] = 18$$

💡 직사각형 변 위에 두 변을 가진 직각삼각형은 넓이가 가장 쉬워요 — 그래서 이쪽을 계산해 빼는 것이 정답 전략입니다.

#16 관점 바꾸기 6.G.A.1 단계 4

직사각형 넓이에서 세 모서리 삼각형 넓이를 뺍니다.
세 모서리 삼각형이 $\triangle AMN$ 바깥쪽을 모두 덮으므로 남는 것이 곧 $\triangle AMN$ 입니다.

$$[AMN] = 72 - (18 + 9 + 18) = 72 - 45 = 27 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 구하려는 도형을 재기 어렵지만 주변이 쉬울 때는, 주변을 재서 전체에서 빼면 됩니다.

[1] #1 5.G.A.1 직사각형과 점들을 그립니다. 문제 그림처럼 $D$ 는 왼쪽 아래, $C$ 는 오른쪽 아래, $B$ 는 오른쪽 위, $A$ 는 왼쪽 위에 놓습니다

[2] #1 5.G.A.1 그림에서 네 가지 길이를 바로 읽어 냅니다. $M$ 은 $\overline{BC}$ 의 중점이므로 $BM = MC = \tfrac{6}{2} =

[3] #9 6.G.A.1 세 개의 모서리 직각삼각형 넓이를 계산합니다. 각 삼각형은 직사각형 꼭짓점에서 직각을 이루고, 두 변이 직사각형 변 위에 있습니다.\n\n• $

[4] #16 6.G.A.1 직사각형 넓이에서 세 모서리 삼각형 넓이를 뺍니다. 세 모서리 삼각형이 $\triangle AMN$ 바깥쪽을 모두 덮으므로 남는 것이 곧 $\t

검토

합리성 확인: 답이 직사각형의 모양과 무관함을 확인합니다. $AB = 9$, $BC = 8$ (역시 넓이 $72$) 로 다시 해 보면 $BM = 4$, $CN = 4.5$, $AD = 8$. 그러면 $[ABM] = \tfrac{1}{2}(9)(4) = 18$, $[MCN] = \tfrac{1}{2}(4)(4.5) = 9$, $[AND] = \tfrac{1}{2}(4.5)(8) = 18$. 합은 $45$, $[AMN] = 72 - 45 = 27$. 같은 답이 나옵니다 — 넓이는 직사각형의 넓이에만 의존한다는 것이 확인됩니다. 일반화하면 $AB = l$, $BC = w$ 일 때 $[ABM] = \tfrac{lw}{4}$, $[MCN] = \tfrac{lw}{8}$, $[AND] = \tfrac{lw}{4}$, 합은 $\tfrac{5lw}{8}$, $[AMN] = lw - \tfrac{5lw}{8} = \tfrac{3lw}{8} = \tfrac{3}{8}(72) = 27$. 답은 (B).

대안 접근: 도구 #13 (대수로 바꾸기): $D = (0,0)$, $C = (l, 0)$, $B = (l, w)$, $A = (0, w)$ 로 좌표를 잡으면 $M = (l, w/2)$, $N = (l/2, 0)$. 신발끈 공식으로 $[AMN] = \tfrac{1}{2}|x_A(y_M - y_N) + x_M(y_N - y_A) + x_N(y_A - y_M)| = \tfrac{1}{2}|0 \cdot (w/2) + l(0 - w) + (l/2)(w - w/2)| = \tfrac{1}{2}|{-lw} + lw/4| = \tfrac{3lw}{8} = \tfrac{3}{8}(72) = 27$. 같은 답 (B) 가 나오지만 공식이 무거워요 — AMC 8 학생에게는 "여집합 빼기" 쪽이 훨씬 빠릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.G.A.1 좌표평면 위에 점을 나타내고 위치를 식별하기 (넓이 $72$ 인 직사각형을 격자 위에 자연수 변 길이로 배치하고, 중점 $M$, $N$ 을 변 위에 표시해 그림에서 모든 길이를 바로 읽어내는 데 사용.)
6.G.A.1 다각형을 직각삼각형 등으로 분해·합성하여 넓이 구하기 (직사각형을 $\triangle AMN$ 과 세 모서리 직각삼각형 ($\triangle ABM$, $\triangle MCN$, $\triangle AND$) 으로 분해해, 각 직각삼각형 넓이를 $\tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$ 로 구한 뒤 빼서 $[AMN]$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 삼각형 $AMN$ 은 기울어져 있어 넓이를 바로 재기 어렵습니다. 그래서 질문을 뒤집습니다 — 모서리에 끼어 있는 세 직각삼각형 $ABM$, $MCN$, $AND$ 는 직사각형 변 위에 놓여 있어 넓이가 쉽게 구해져요 ($18 + 9 + 18 = 45$). 직사각형 넓이에서 빼면 $72 - 45 = 27$, 답은 (B). "구하려는 것 대신 주변을 세라" 는 이 전략은 넓이가 $72$ 이기만 하면 어떤 직사각형이어도 똑같이 통합니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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