AMC 8 · 2000 · #5

학년 3 arithmetic

systematic-enumerationmulti-digit-arithmeticinterval-arithmetic systematic-enumerationoptimization-countingphysical-representation ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

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문제

Each principal of Lincoln High School serves exactly one $3$ -year term. What is the maximum number of principals this school could have during an $8$ -year period?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 링컨 고등학교의 모든 교장은 정확히 $3$ 년 임기를 한 번 채웁니다. $8$ 년 동안 이 학교에 있을 수 있는 서로 다른 교장의 최대 인원은 몇 명인가요?

주어진 것: 각 교장의 임기는 정확히 $3$ 년 연속이다; 관찰 기간은 $8$ 년이다; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $8$

구하는 것: $8$ 년 안에 임기 일부라도 걸치는 서로 다른 교장의 최대 인원

이해

주어진 것: 각 교장의 임기는 정확히 $3$ 년 연속이다; 관찰 기간은 $8$ 년이다; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $8$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

$8$ 년이라는 창문은 칸 $8$ 개짜리 띠로 그리기 좋고, $3$ 년 임기는 칸 $3$ 개를 색칠한 블록입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 문장을 시간 띠 그림으로 바꾸면 상황이 한눈에 보입니다. 최댓값을 찾을 때는 도구 #6(추측하고 확인하기)을 써서 $3$ 명, $4$ 명, $5$ 명을 차례로 시도해 봅니다. 그림은 또 한 가지 단서를 알려 줍니다 — 임기는 창문 양 끝 바깥으로 비어져 나가도 되므로, 첫 교장과 마지막 교장은 창문 안에서 $1$ 년만 근무해도 됩니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 3.MD.A.1 단계 1

$8$ 년 창문을 $1$ 년차부터 $8$ 년차까지 칸 $8$ 개로 그립니다.
각 교장의 $3$ 년 임기는 연속한 칸 $3$ 개짜리 블록이지만, 블록은 $1$ 년차 이전에서 시작하거나 $8$ 년차 이후로 이어져도 됩니다.
창문 안에 적어도 한 칸만 들어오면 그 교장은 세어집니다.

$$\boxed{1}\boxed{2}\boxed{3}\boxed{4}\boxed{5}\boxed{6}\boxed{7}\boxed{8}$$

💡 $8$ 년을 띠 그림으로 그려 두면 $3$ 년 블록을 이리저리 밀어 보며 어떻게 들어맞는지 바로 보입니다 — 3학년 "시간 구간을 표현하기" 그대로입니다.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.D.8 단계 2

$4$ 명을 시도합니다.
교장 A의 임기 마지막 해를 $1$ 년차에 맞춥니다(임기 $-1, 0, 1$ 년차).
교장 B는 $2{-}4$ 년차, 교장 C는 $5{-}7$ 년차, 교장 D는 $8$ 년차에 임기 첫 해(임기 $8, 9, 10$ 년차).
창문 안 햇수를 더하면 $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ 로 딱 맞으므로 $4$ 명은 가능합니다.

$$\underbrace{A}_{Y1}\;\underbrace{B\;B\;B}_{Y2{-}4}\;\underbrace{C\;C\;C}_{Y5{-}7}\;\underbrace{D}_{Y8}$$

💡 $1 + 3 + 3 + 1 = 8$. 첫 교장과 마지막 교장이 창문에 $1$ 년씩만 내놓으면 가운데에 $3$ 년 임기 두 개가 꽉 들어갑니다.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.D.8 단계 3

이번에는 $5$ 명이 들어가는지 확인합니다.
첫 교장과 마지막 교장은 창문 안에 최소 $1$ 년씩, 나머지 $3$ 명의 "가운데" 교장은 임기 전체가 창문 안에 있으므로 각자 $3$ 년을 차지합니다.
필요한 햇수는 최소 $1 + 3 + 3 + 3 + 1 = 11$ 년인데, 창문은 $8$ 년뿐이므로 $5$ 명은 불가능합니다.

$$1 + 3(5-2) + 1 = 11 > 8$$

💡 더 쪼개려 해도 소용없습니다. 가운데 교장이 한 명만 있어도 그 교장의 $3$ 년 전체가 창문 안에 있어야 하니, 가운데 세 명만으로도 이미 $9 > 8$ 년이 필요합니다.

#1 그림 그리기 3.OA.D.8 단계 4

$4$ 명이 들어가는 배치를 직접 만들었고, $5$ 명은 불가능함을 보였습니다.
따라서 최댓값은 $4$ 이고 정답은 $\textbf{(C)}$ 입니다.

$$\text{최댓값} = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 그림으로 확인됩니다: 양끝 교장이 $1$ 년씩만 내놓으면 $4$ 명이 $8$ 년을 정확히 채웁니다.

[1] #1 3.MD.A.1 $8$ 년 창문을 $1$ 년차부터 $8$ 년차까지 칸 $8$ 개로 그립니다. 각 교장의 $3$ 년 임기는 연속한 칸 $3$ 개짜리 블록이지만,

[2] #6 3.OA.D.8 $4$ 명을 시도합니다. 교장 A의 임기 마지막 해를 $1$ 년차에 맞춥니다(임기 $-1, 0, 1$ 년차). 교장 B는 $2{-}4$ 년차,

[3] #6 3.OA.D.8 이번에는 $5$ 명이 들어가는지 확인합니다. 첫 교장과 마지막 교장은 창문 안에 최소 $1$ 년씩, 나머지 $3$ 명의 "가운데" 교장은 임기

[4] #1 3.OA.D.8 $4$ 명이 들어가는 배치를 직접 만들었고, $5$ 명은 불가능함을 보였습니다. 따라서 최댓값은 $4$ 이고 정답은 $\textbf{(C)}$

검토

합리성 확인: 구성을 그대로 확인합니다. A 는 $1$ 년차, B 는 $2{-}4$ 년차, C 는 $5{-}7$ 년차, D 는 $8$ 년차 — 모든 해가 정확히 한 교장에게 덮이고, 겹침은 없으며, 각 임기는 여전히 $3$ 년입니다(A 와 D 의 일부는 그저 창문 바깥에 있을 뿐). 서로 다른 $4$ 명. 그리고 부등식 $1 + 3(n-2) + 1 \le 8$ 은 $n \le 4$ 를 주니 더 늘릴 수 없습니다. 정답 (C) $= 4$ 가 양쪽에서 모두 맞습니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 교장 수를 $n$ 이라 하면, 첫과 마지막은 창문 안에서 최소 $1$ 년, 가운데 $n-2$ 명은 임기 $3$ 년 전체이므로 $1 + 3(n-2) + 1 \le 8 \Rightarrow 3n \le 12 \Rightarrow n \le 4$. 그림과 확인만으로도 같은 답이 나오기 때문에 그 쪽을 먼저 골랐습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.MD.A.1 시각을 읽고 쓰며, 시간 구간의 덧셈·뺄셈 문장제 해결 ($8$ 년 창문을 띠로 그리고 각 $3$ 년 임기를 그 띠 위 연속한 블록으로 나타내는 데 사용.)
3.OA.D.8 사칙연산을 사용한 두 단계 문장제 해결과 답의 타당성 점검 ($1 + 3 + 3 + 1 = 8$ 로 후보 배치를 점검하고 $1 + 3 + 3 + 3 + 1 = 11 > 8$ 로 $5$ 명을 배제하는 데 사용.)

⭐ $8$ 년을 띠로 그리고 $3$ 년 블록을 끼워 넣으세요. 첫과 마지막 임기가 창문 바깥으로 살짝 삐져나갈 수 있다는 점을 살리면, 8년 안에 교장 $4$ 명이 들어갑니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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