AMC 8 · 2000 · #7

학년 7 arithmetic

multi-digit-arithmeticsystematic-enumerationparity caseworksystematic-enumerationoptimization-counting ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

What is the minimum possible product of three different numbers of the set $\{-8,-6,-4,0,3,5,7\}$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-336

(B)

-280

(C)

-210

(D)

-192

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 집합 $\{-8, -6, -4, 0, 3, 5, 7\}$ 에서 서로 다른 세 수를 골라 곱합니다. 만들 수 있는 가장 작은(즉, 가장 음수에 가까운) 곱은 얼마인가요?

주어진 것: 집합은 $\{-8, -6, -4, 0, 3, 5, 7\}$ — 음수 $3$ 개, $0$, 양수 $3$ 개; 정확히 서로 다른 세 수를 곱한다; 선택지: (A) $-336$, (B) $-280$, (C) $-210$, (D) $-192$, (E) $0$

구하는 것: 서로 다른 세 수를 골라 만들 수 있는 곱의 최솟값

이해

문제 재정리: 집합 $\{-8, -6, -4, 0, 3, 5, 7\}$ 에서 서로 다른 세 수를 골라 곱합니다. 만들 수 있는 가장 작은(즉, 가장 음수에 가까운) 곱은 얼마인가요?

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

가장 음수에 가까운 곱을 찾는 문제이므로 도구 #14(극단의 원리)가 핵심입니다. 부호를 음수로 맞춘 다음 각 인수의 크기를 가능한 한 키워야 곱의 크기도 커지죠. 부호 규칙이 후보를 좁혀 줍니다 — 세 수의 곱이 음수가 되려면 음수의 개수가 홀수, 즉 $1$ 개 또는 $3$ 개여야 합니다. 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 두 경우만 비교하면 충분합니다. $0$ 을 포함하면 곱이 $0$ 이라 최솟값 후보가 아니므로 제외합니다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 7.NS.A.2 단계 1

세 수의 곱이 음수가 되는 부호 조합을 나열합니다.
음수가 홀수 개일 때만 곱이 음수가 되므로 후보는 음수 $1$ 개 또는 $3$ 개.
$0$ 을 넣으면 곱이 $0$ 이 되어 어떤 음수보다도 크므로 $0$ 은 제외합니다.

$$\text{곱이 음수} \iff \#\text{음수 인수} \in \{1, 3\}$$

💡 7학년의 곱셈 부호 규칙에 따르면 음수 인수 하나가 부호를 한 번 뒤집습니다. 뒤집기가 홀수 번이면 결과는 음수예요.

#2 빠짐없이 나열하기 7.NS.A.2 단계 2

경우 A — 음수 세 개를 모두 고릅니다.
음수가 정확히 세 개뿐이므로 $-8$, $-6$, $-4$ 로 한 가지 방법뿐입니다.
음수 두 개를 곱하면 양수, 거기에 음수 하나가 더 곱해지면 다시 음수가 됩니다.

$$(-8) \times (-6) \times (-4) = 48 \times (-4) = -192$$

💡 이 경우는 선택의 여지가 없어요 — 음수 세 개가 정해져 있으니 곱은 $-192$ 로 고정됩니다.

#14 극단의 원리 6.NS.C.7 단계 3

경우 B — 음수 $1$ 개, 양수 $2$ 개를 고릅니다.
곱을 최대한 음수 쪽으로 만들려면 크기(절댓값)를 최대로 키워야 합니다.
극단의 원리에 따라 절댓값이 가장 큰 음수와, 가장 큰 양수 두 개를 고릅니다.

$$|-8| > |-6| > |-4|,\ \ 7 > 5 > 3 \;\Rightarrow\; \text{선택}: -8,\ 7,\ 5$$

💡 각 인수의 크기가 크면 곱의 크기도 큽니다. 부호는 한 음수가 음수로 고정해 두므로, 크기가 커진다는 것은 곧 "더 작은 음수"가 된다는 뜻이에요.

#14 극단의 원리 6.NS.C.7 단계 4

경우 B의 곱을 계산하고 경우 A와 비교합니다.
경우 B의 최솟값은 $(-8) \times 7 \times 5 = -280$.
경우 A의 $-192$ 와 비교하면, 수직선에서 $-280 < -192$ 이므로 경우 B가 더 작습니다.

$$(-8) \times 7 \times 5 = -280; \quad -280 < -192 \;\Rightarrow\; \text{최솟값} = -280 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 두 음수를 비교할 때, $0$ 에서 더 멀리 떨어진 쪽이 작은 수입니다. $-280$ 은 $-192$ 보다 수직선의 왼쪽에 있죠.

[1] #2 7.NS.A.2 세 수의 곱이 음수가 되는 부호 조합을 나열합니다. 음수가 홀수 개일 때만 곱이 음수가 되므로 후보는 음수 $1$ 개 또는 $3$ 개. $0$

[2] #2 7.NS.A.2 경우 A — 음수 세 개를 모두 고릅니다. 음수가 정확히 세 개뿐이므로 $-8$, $-6$, $-4$ 로 한 가지 방법뿐입니다. 음수 두 개를

[3] #14 6.NS.C.7 경우 B — 음수 $1$ 개, 양수 $2$ 개를 고릅니다. 곱을 최대한 음수 쪽으로 만들려면 크기(절댓값)를 최대로 키워야 합니다. 극단의 원리

[4] #14 6.NS.C.7 경우 B의 곱을 계산하고 경우 A와 비교합니다. 경우 B의 최솟값은 $(-8) \times 7 \times 5 = -280$. 경우 A의 $-1

검토

합리성 확인: 경우 B에서 다른 선택을 해 봅시다. $-8$ 대신 $-6$ 을 쓰면 $(-6) \times 7 \times 5 = -210$ (선택지 C) — $-280$ 보다 덜 음수이므로 $-8$ 이 옳았습니다. $-8$ 에 $7$ 과 $3$ 을 쓰면 $(-8) \times 7 \times 3 = -168$ 로 역시 덜 음수. 선택지 (A) $-336$ 은 $|-8| \times (\text{두 수의 곱}) = 336$, 즉 서로 다른 양수 두 개의 곱이 $42$ 가 되어야 하는데 집합에서 가장 큰 양수 두 개의 곱은 $7 \times 5 = 35$ 뿐이므로 $-336$ 은 만들 수 없습니다. 답 (B) $-280$ 이 확실합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 좁히기): 선택지 (E) $0$ 은 음수 값을 만들 수 있으므로 최솟값이 아니고, (A) $-336 = -8 \times 42$ 인데 집합의 서로 다른 양수 두 개의 곱은 최대 $7 \times 5 = 35$ 이므로 (A) 도 불가능. (B), (C), (D) 중 경우 A(음수 세 개)는 정확히 $-192$ (D), 경우 B(음수 한 개)의 최선은 $-280$ (B) 으로 $-210$ (C) 보다 작습니다. 따라서 (B) 가 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.NS.A.2 유리수(음수 포함)의 곱셈·나눗셈으로 이전의 곱셈 이해를 확장하기 (곱의 부호 규칙으로 음수 인수가 홀수 개여야 곱이 음수임을 파악하고, $(-8) \times (-6) \times (-4) = -192$, $(-8) \times 7 \times 5 = -280$ 을 계산하는 데 사용.)
6.NS.C.7 유리수의 대소 관계와 절댓값 이해 ($-280$ 과 $-192$ 의 대소를 수직선에서 비교(절댓값이 큰 쪽이 더 작은 수)하고, 곱의 크기를 최대로 만들기 위해 절댓값이 가장 큰 음수를 고르는 데 사용.)

⭐ 최솟값 곱 문제는 곱이 음수가 되는 부호 조합만 나열한 다음, 그 안에서 인수의 크기를 최대한 키우면 됩니다. 짧은 두 가지 경우만 비교해도 추측보다 빠르게 답이 나와요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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