AMC 8 · 2001 · #25

학년 5 number-theory

divisibility-rulesmulti-digit-arithmeticdigit-constraintssystematic-enumeration systematic-enumerationdigit-constraintsguess-and-check ↑ 선수 지식: divisibility-rulesmulti-digit-arithmetic

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문제

There are 24 four-digit whole numbers that use each of the four digits 2, 4, 5 and 7 exactly once. Only one of these four-digit numbers is a multiple of another one. Which of the following is it?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

5724

(B)

7245

(C)

7254

(D)

7425

(E)

7542

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 숫자 $2, 4, 5, 7$ 을 각각 한 번씩 써서 만들 수 있는 네 자리 수는 $24$ 개입니다. 이 $24$ 개 중 정확히 하나가 같은 목록의 다른 어떤 수의 배수입니다. 다섯 개의 선택지 중에서 그 특별한 수를 찾으세요.

주어진 것: 각 네 자리 수는 숫자 $2, 4, 5, 7$ 을 정확히 한 번씩 사용한다; 그런 수는 모두 $24 = 4!$ 개이다; 그중 정확히 하나가 $24$ 개 목록 안의 다른 수의 배수이다; 선택지: (A) $5724$, (B) $7245$, (C) $7254$, (D) $7425$, (E) $7542$

구하는 것: $\{2, 4, 5, 7\}$ 의 다른 어떤 순열의 배수가 되는 선택지

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #2 빠짐없이 나열하기

후보가 다섯 개뿐이라서 도구 #3 (가능성 지우기) 이 가장 자연스럽습니다. 각 후보를 작은 정수로 나눈 몫이 다시 $\{2, 4, 5, 7\}$ 의 순열인지만 확인하면 됩니다. 도구 #5 (패턴 찾기) 가 "어떤 정수로 나눠 봐야 하는가" 를 좁혀 줍니다 — 모든 순열의 자릿수 합은 $2+4+5+7 = 18$ 이므로 모두 $9$ 의 배수이고, 가장 작은 순열이 $2457$, 가장 큰 순열이 $7542$ 이므로 배수 비율 $k = N/d$ 는 $2$ 아니면 $3$ 뿐입니다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 로 최대 열 번 정도의 나눗셈 점검을 깔끔히 정리합니다. 도구 #13 (대수로 바꾸기) 까지 갈 필요는 없습니다 — 풀이는 그저 나눗셈 검사니까요.

실행 — 정답: D

#5 패턴 찾기 5.NBT.A.3 단계 1

곱하는 수 $k$ 의 범위를 정합니다.
$N = k \cdot d$ 에서 두 수 모두 목록 안이라면 $d \geq 2457$ (가장 작은 순열), $N \leq 7542$ (가장 큰 순열).
따라서 $k = N/d \leq 7542/2457 < 4$.
$k \neq 1$ 이므로 $k = 2$ 또는 $k = 3$ 만 가능합니다.

$$k = \dfrac{N}{d} \leq \dfrac{7542}{2457} < 4 \;\Rightarrow\; k \in \{2, 3\}$$

💡 모든 순열이 $[2457, 7542]$ 라는 좁은 구간에 있으므로 한 순열은 다른 순열의 $3$ 배를 넘을 수 없어요.

#3 가능성 지우기 5.NBT.B.6 단계 2

선택지 (A) $5724$ 를 점검합니다.
$2$ 와 $3$ 으로 각각 나눠 몫의 자릿수가 정확히 $\{2, 4, 5, 7\}$ 인지 확인합니다.

$5724 \div 2 = 2862$ ($8, 6$ 이 들어 있어 불가); $\;5724 \div 3 = 1908$ ($1, 9, 0, 8$ 로 불가). (A) 제거.

💡 두 몫 모두 $\{2, 4, 5, 7\}$ 의 순열이 아니므로 $5724$ 에 맞는 약수가 없습니다.

#3 가능성 지우기 5.NBT.B.6 단계 3

선택지 (B) $7245$ 는 홀수라 $k = 2$ 가 바로 탈락.
$k = 3$ 만 점검.

$7245 \div 3 = 2415$ (숫자 $2, 4, 1, 5$ 에 $1$ 이 끼어 불가). (B) 제거.

💡 홀수는 어떤 정수의 두 배일 수 없고, $\div 3$ 의 몫도 자릿수가 맞지 않습니다.

#3 가능성 지우기 5.NBT.B.6 단계 4

선택지 (C) $7254$ 를 $k = 2$ 와 $k = 3$ 모두로 점검합니다.

$7254 \div 2 = 3627$ ($3, 6$ 으로 불가); $\;7254 \div 3 = 2418$ ($1, 8$ 로 불가). (C) 제거.

💡 두 몫 모두 $\{2, 4, 5, 7\}$ 밖 숫자를 포함하므로 (C) 도 맞는 약수가 없습니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

선택지 (D) $7425$ 는 홀수라 $k = 3$ 만 점검.

$7425 \div 3 = 2475$. $2475$ 의 자릿수는 $\{2, 4, 7, 5\}$ — 원래 집합의 순열입니다. (D) 보존.

💡 $2475$ 가 $24$ 개 순열 중 하나이므로 $7425 = 3 \times 2475$ 가 바로 문제가 말하는 "다른 수의 배수" 입니다.

#3 가능성 지우기 5.NBT.B.6 단계 6

선택지 (E) $7542$ 도 확인해 (D) 만 유일하게 통과함을 점검합니다.

$7542 \div 2 = 3771$ ($3, 1$ 로 불가); $\;7542 \div 3 = 2514$ ($1$ 이 끼어 불가). (E) 제거.

💡 두 몫 모두 순열이 되지 못해 (D) 만 유일하게 남습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 7

답을 읽습니다.
나눗셈 검사를 통과한 선택지는 (D) 하나뿐이며, 짝은 $7425 = 3 \times 2475$ 입니다.

$$7425 = 3 \times 2475 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 후보·약수 조합을 모두 검사한 결과 유효한 짝은 정확히 하나로 줄어듭니다.

[1] #5 5.NBT.A.3 곱하는 수 $k$ 의 범위를 정합니다. $N = k \cdot d$ 에서 두 수 모두 목록 안이라면 $d \geq 2457$ (가장 작은 순열)

[2] #3 5.NBT.B.6 선택지 (A) $5724$ 를 점검합니다. $2$ 와 $3$ 으로 각각 나눠 몫의 자릿수가 정확히 $\{2, 4, 5, 7\}$ 인지 확인합니다

[3] #3 5.NBT.B.6 선택지 (B) $7245$ 는 홀수라 $k = 2$ 가 바로 탈락. $k = 3$ 만 점검.

[4] #3 5.NBT.B.6 선택지 (C) $7254$ 를 $k = 2$ 와 $k = 3$ 모두로 점검합니다.

[5] #3 4.OA.B.4 선택지 (D) $7425$ 는 홀수라 $k = 3$ 만 점검.

[6] #3 5.NBT.B.6 선택지 (E) $7542$ 도 확인해 (D) 만 유일하게 통과함을 점검합니다.

[7] #2 4.OA.B.4 답을 읽습니다. 나눗셈 검사를 통과한 선택지는 (D) 하나뿐이며, 짝은 $7425 = 3 \times 2475$ 입니다.

검토

합리성 확인: 남은 짝을 직접 확인합니다. $3 \times 2475 = 3 \times 2000 + 3 \times 475 = 6000 + 1425 = 7425$. $2475$ 의 자릿수는 $2, 4, 7, 5$ — 요구된 집합을 정확히 한 번씩 쓰고 있고, $24$ 개 순열 중 하나입니다. 또 두 수 모두 자릿수 합이 $18$ 이라 $9$ 의 배수이며, 한쪽이 다른 쪽의 $3$ 배라는 사실과 모순되지 않습니다. 다른 네 선택지에서는 어떤 나눗셈도 순열을 만들지 못했으니, "$24$ 개 중 정확히 하나가 다른 수의 배수" 라는 문제의 조건도 그대로 맞습니다 — 그 하나가 $7425$.

대안 접근: 도구 #5 (패턴 찾기) 지름길: 모든 순열의 자릿수 합이 $18$ 이므로 모두 $9$ 의 배수입니다. 이것만으로도 $k \in \{2, 3\}$ 로 좁혀집니다. $k = 3$ 이면 $3d \leq 7542$, 즉 $d \leq 2514$ — $24$ 와 $25$ 로 시작하는 순열인 $2457, 2475, 2547, 2574$ 만 후보입니다. 각각 $3$ 배 해 보면 $3 \cdot 2457 = 7371$, $3 \cdot 2475 = 7425$, $3 \cdot 2547 = 7641$, $3 \cdot 2574 = 7722$. 이 중 다시 순열이 되는 것은 $7425$ 뿐이므로 $k = 2$ 는 확인할 필요도 없이 (D) 가 확정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.B.4 어떤 수의 약수 짝을 구하고 배수를 알아보기 ($7425 = 3 \times 2475$ 를 문제가 묻는 "배수-약수" 짝으로 읽고, 나머지 네 선택지에는 그런 순열 약수가 없음을 확인하는 데 사용.)
5.NBT.B.6 최대 네 자리 피제수의 정수 몫 구하기 (다섯 선택지 각각에 대해 $N \div 2$ 와 $N \div 3$ 을 계산하고 몫의 자릿수가 $\{2, 4, 5, 7\}$ 인지 점검하는 데 사용.)
5.NBT.A.3 자릿값을 이용해 수를 읽고 쓰고 비교하기 (가장 작은 순열 $2457$ 과 가장 큰 순열 $7542$ 의 크기를 비교해 가능한 배수 비율을 $k \leq 3$ 으로 좁히는 데 사용.)

⭐ $\{2, 4, 5, 7\}$ 의 모든 순열은 $2457$ 과 $7542$ 사이에 있어서 한 수는 다른 수의 $3$ 배까지밖에 될 수 없어요. 다섯 선택지에 $\div 2$ 와 $\div 3$ 을 해 보면, 몫이 다시 순열로 나오는 것은 $7425 \div 3 = 2475$ 단 하나 — 답은 (D).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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