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AMC 8 · 2002 · #14

학년 7 rate-ratio
유형 Arithmetic Expression Decomposition
percentagefraction-multiplicationfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: percentagefraction-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A merchant offers a large group of items at 30%30\% off. Later, the merchant takes 20%20\% off these sale prices. The total discount is

답을 골라 클릭하세요.

(A)
35%
(B)
44%
(C)
50%
(D)
56%
(E)
60%
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 가게가 먼저 모든 물건을 $30\%$ 할인합니다. 그 다음 그 할인된 가격에서 다시 $20\%$ 를 더 할인합니다. 원래 가격과 비교했을 때 총 할인율은 얼마인가요?

주어진 것: 첫 번째 할인: 원래 가격에서 $30\%$ 할인; 두 번째 할인: 이미 할인된 판매가에서 $20\%$ 더 할인; 선택지: (A) $35\%$, (B) $44\%$, (C) $50\%$, (D) $56\%$, (E) $60\%$

구하는 것: 두 번 할인한 뒤 원래 가격 대비 총 할인율

이해

문제 재정리: 한 가게가 먼저 모든 물건을 $30\%$ 할인합니다. 그 다음 그 할인된 가격에서 다시 $20\%$ 를 더 할인합니다. 원래 가격과 비교했을 때 총 할인율은 얼마인가요?

주어진 것: 첫 번째 할인: 원래 가격에서 $30\%$ 할인; 두 번째 할인: 이미 할인된 판매가에서 $20\%$ 더 할인; 선택지: (A) $35\%$, (B) $44\%$, (C) $50\%$, (D) $56\%$, (E) $60\%$

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

원래 가격이 주어져 있지 않으므로 도구 #4(변수 도입하기) — 원래 가격을 $P$ 라 두기 — 가 자연스러워요. 그러면 "백분율의 백분율" 이라는 추상적인 문제가 $P$ 에 대한 깔끔한 계산으로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로는 두 단계로 나누어 풀어요: 먼저 $30\%$ 할인으로 판매가를 구하고, 그 다음 판매가에서 $20\%$ 를 더 할인합니다. 마지막에 최종 가격을 $P$ 와 비교하면 총 할인율이 나옵니다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1
  • 원래 가격을 $P$ 라 둡니다.
  • 변수를 쓰면 "$P$ 의 몇 분의 몇" 인지를 매 단계에서 추적할 수 있어요.
  • 구체적인 금액이 없어도 충분합니다.
$$\text{원래 가격} = P$$

💡 알려지지 않은 원래 가격에 이름을 붙이는 것이 도구 #4 의 핵심이고, 문자가 수를 대신하는 식을 쓰는 6학년 개념과 정확히 일치합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 2
  • 첫 번째 할인을 적용합니다.
  • $30\%$ 할인이면 판매가는 $P$ 의 $100\% - 30\% = 70\%$, 즉 $P$ 에 $0.7$ 을 곱한 값입니다.
$$\text{판매가} = P \times (1 - 0.30) = 0.7P$$

💡 $30\%$ 할인을 $0.7$ 배로 보는 것은 6학년의 "어떤 양의 몇 퍼센트" 계산 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.3 단계 3
  • 판매가 위에 두 번째 할인을 적용합니다.
  • $20\%$ 할인이면 최종 가격은 $0.7P$ 의 $100\% - 20\% = 80\%$, 즉 $0.7P$ 에 $0.8$ 을 곱한 값입니다.
$$\text{최종 가격} = 0.7P \times (1 - 0.20) = 0.7P \times 0.8 = 0.56P$$

💡 이미 할인된 가격에 다시 할인을 얹는 것은 7학년의 여러 단계 백분율 변화 문제입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.3 단계 4
  • 최종 가격을 원래 가격과 비교합니다.
  • 최종 가격은 $0.56P$, 즉 $P$ 의 $56\%$ 이므로 손님은 $56\%$ 를 내고 나머지 $44\%$ 를 아낀 셈입니다.
$$\text{총 할인율} = 100\% - 56\% = 44\% \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 "낸 비율" 을 $100\%$ 에서 빼서 "할인된 비율" 을 구하는 것은 7학년 백분율 변화의 마무리 그대로입니다.

[1] #4 6.EE.A.2 원래 가격을 $P$ 라 둡니다. 변수를 쓰면 "$P$ 의 몇 분의 몇" 인지를 매 단계에서 추적할 수 있어요. 구체적인 금액이 없어도 충분합니다
[2] #7 6.RP.A.3 첫 번째 할인을 적용합니다. $30\%$ 할인이면 판매가는 $P$ 의 $100\% - 30\% = 70\%$, 즉 $P$ 에 $0.7$ 을 곱한
[3] #7 7.RP.A.3 판매가 위에 두 번째 할인을 적용합니다. $20\%$ 할인이면 최종 가격은 $0.7P$ 의 $100\% - 20\% = 80\%$, 즉 $0.7
[4] #7 7.RP.A.3 최종 가격을 원래 가격과 비교합니다. 최종 가격은 $0.56P$, 즉 $P$ 의 $56\%$ 이므로 손님은 $56\%$ 를 내고 나머지 $44\

검토

합리성 확인: 구체적인 값으로 확인해 봅시다. $P = \$100$ 이라 하면 $30\%$ 할인 후 가격은 $\$70$, $\$70$ 에서 $20\%$ 인 $\$14$ 를 더 할인하면 $\$56$ 이 남습니다. 손님은 $\$100$ 중 $\$56$ 을 냈고 $\$44$ 를 아꼈으니 정확히 $44\%$ 할인이에요. 흔한 함정은 $30\% + 20\% = 50\%$ 라고 더하는 것(선택지 C)인데, 두 번째 $20\%$ 가 이미 줄어든 가격에 적용되므로 실제 총합은 $50\%$ 보다 작습니다. 또 선택지 (D) $56\%$ 는 "낸 비율"이지 "할인된 비율"이 아닙니다.

대안 접근: 도구 #16(문제 변형하기): 두 백분율 인수를 하나로 합칩니다. "$30\%$ 할인 후 $20\%$ 할인" 은 $0.7 \times 0.8 = 0.56$ 을 곱하는 것과 같으므로 최종 가격은 원래 가격의 $56\%$, 총 할인율은 $1 - 0.56 = 0.44 = 44\%$. 같은 답 (B) 를 곱셈 한 번으로 얻을 수 있어요.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

  • 6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (주어지지 않은 원래 가격을 변수 $P$ 로 두어 각 할인 단계의 가격을 $P$ 의 식으로 나타내는 데 사용.)
  • 6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실세계·수학 문제(백분율 포함) 풀기 (첫 번째 $30\%$ 할인을 $0.7$ 곱하기로 모델링해 판매가 $0.7P$ 를 구하는 데 사용.)
  • 7.RP.A.3 비례 관계를 이용해 여러 단계의 비·백분율 문제 풀기 (판매가 위에 두 번째 $20\%$ 할인을 얹어 $0.56P$ 를 구하고, 최종 가격을 원래 가격 대비 $44\%$ 할인으로 변환하는 데 사용.)

⭐ 할인을 연달아 적용하면 더하는 게 아니라 곱하게 돼요 — 원래 가격을 $P$ 로 쓰면 이 AMC 8 문제는 7학년 백분율 추론으로 그대로 풀려요.

⭐ 할인을 연달아 적용하면 더하는 게 아니라 곱하게 돼요 — 원래 가격을 $P$ 로 쓰면 이 AMC 8 문제는 7학년 백분율 추론으로 그대로 풀려요.

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