AMC 8 · 2003 · #11

학년 7 rate-ratio

percentagefraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: percentagefraction-decimal-conversionmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Business is a little slow at Lou's Fine Shoes, so Lou decides to have a
sale. On Friday, Lou increases all of Thursday's prices by $10$ percent. Over the
weekend, Lou advertises the sale: "Ten percent off the listed price. Sale
starts Monday." How much does a pair of shoes cost on Monday that
cost $40$ dollars on Thursday?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

39.60

(C)

(D)

40.40

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 루의 신발 가게는 금요일에 모든 목요일 가격을 $10\%$ 올립니다. 주말에는 "표시 가격에서 $10\%$ 할인"이라는 광고를 내고 월요일부터 세일을 시작합니다. 목요일에 $\$40$ 이었던 신발은 월요일에 얼마인가요?

주어진 것: 목요일 신발 가격은 $\$40$; 금요일: 가격이 목요일보다 $10\%$ 오름; 월요일: 표시 가격(금요일 가격)에서 $10\%$ 할인; 선택지: (A) $\$36$, (B) $\$39.60$, (C) $\$40$, (D) $\$40.40$, (E) $\$44$

구하는 것: 월요일 신발 가격

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #4 변수 도입하기

가격 변화가 "목요일 → 금요일"과 "금요일 → 월요일" 두 단계로 일어나므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 자연스러워요. 먼저 금요일 가격을 구하고, 그 가격에 다시 할인을 적용해 월요일 가격을 구합니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 금요일 가격에 이름을 붙이면 월요일 할인이 $\$40$ 이 아니라 금요일의 표시 가격에서 빠진다는 점이 분명해집니다. 흔한 실수는 $10\%$ 인상과 $10\%$ 인하가 서로 상쇄될 거라고 생각하는 것인데, 두 변화의 기준이 다르기 때문에 그렇지 않습니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.3 단계 1

작은 문제 1: 금요일 가격 구하기.
$10\%$ 인상은 목요일 가격에 $1.10$ 을 곱하는 것과 같습니다.

$$P_{\text{금}} = 40 \times 1.10 = 44$$

💡 7학년 백분율 문제: "$10\%$ 더" 는 원래 가격의 $100\% + 10\% = 110\%$, 즉 $1.10$ 을 곱하는 것.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 2

표시 가격에 이름을 붙입니다.
$L = P_{\text{금}} = \$44$ 라 하면, 월요일 광고는 "표시 가격에서 $10\%$ 할인" 이므로 할인의 기준은 목요일의 $\$40$ 이 아니라 $L$ 입니다.

$$L = 44$$

💡 금요일 가격에 이름을 붙여 두면 "$\$40$ 에서 할인하기" 라는 흔한 실수를 막을 수 있어요.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.3 단계 3

작은 문제 2: 월요일 가격 구하기.
표시 가격에 $0.90$ 을 곱하면 $10\%$ 할인이 됩니다.

$$P_{\text{월}} = L \times 0.90 = 44 \times 0.90 = 39.60$$

💡 7학년 백분율 문제: "$10\%$ 할인" 은 표시 가격의 $100\% - 10\% = 90\%$, 즉 $0.90$ 을 곱하는 것.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.3 단계 4

선택지에서 답을 찾습니다.

$P_{\text{월}} = \$39.60 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$

💡 두 변화의 합성 효과는 $1.10 \times 0.90 = 0.99$, 즉 목요일 대비 $1\%$ 인하 — 가격이 같아지지 않고 살짝 내려간다는 사실과 들어맞아요.

[1] #7 7.RP.A.3 작은 문제 1: 금요일 가격 구하기. $10\%$ 인상은 목요일 가격에 $1.10$ 을 곱하는 것과 같습니다.

[2] #4 6.EE.A.2 표시 가격에 이름을 붙입니다. $L = P_{\text{금}} = \$44$ 라 하면, 월요일 광고는 "표시 가격에서 $10\%$ 할인" 이므로

[3] #7 7.RP.A.3 작은 문제 2: 월요일 가격 구하기. 표시 가격에 $0.90$ 을 곱하면 $10\%$ 할인이 됩니다.

[4] #7 7.RP.A.3 선택지에서 답을 찾습니다.

검토

합리성 확인: 두 번의 $10\%$ 변화는 서로 다른 기준에 적용되므로 상쇄되지 않아야 해요. 두 인수를 곱하면 $1.10 \times 0.90 = 0.99$, 즉 목요일 대비 $1\%$ 인하. $\$40 \times 0.99 = \$39.60$ 으로 선택지 (B) 와 정확히 일치합니다. 또한 답이 목요일 가격 $\$40$ 보다도, 금요일 가격 $\$44$ 보다도 낮다는 점도 자연스러워요.

대안 접근: 도구 #16(문제 변형하기): 두 단계를 따로 계산하는 대신 두 백분율 인수를 하나로 합칩니다. $10\%$ 인상 후 $10\%$ 인하는 $1.10 \times 0.90 = 0.99$ 를 곱하는 것과 같으므로 월요일 가격은 $40 \times 0.99 = \$39.60$. 같은 답을 곱셈 한 번으로 얻을 수 있어요.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.RP.A.3 비례 관계를 이용해 여러 단계의 비·백분율 문제 풀기 (금요일 $10\%$ 인상을 $\times 1.10$, 월요일 $10\%$ 할인을 $\times 0.90$ 으로 모델링해 두 백분율 변화를 연결하는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실세계·수학 문제(백분율 포함) 풀기 ("$10\%$" 를 $100$ 당 $10$, 즉 $0.10$ 으로 읽어 $10\%$ 변화가 $1 \pm 0.10$ 배라는 점을 세우는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (금요일 가격에 $L$ 이라는 이름을 붙여 월요일 할인이 목요일 가격이 아닌 표시 가격에 적용된다는 점을 분명히 하는 데 사용.)

⭐ $10\%$ 올렸다가 $10\%$ 내려도 원래대로 돌아오지 않아요 — 할인은 더 큰 가격에서 빠지니까 가격은 원래보다 조금 더 낮은 곳에 멈춰요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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