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AMC 8 · 2004 · #18

학년 3 counting
유형 Pair-Sum Invariant
logical-deductionset-partitionsystematic-enumerationcasework caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumerationmulti-digit-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
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문제

Five friends compete in a dart-throwing contest. Each one has two darts to throw at the same circular target, and each individual's score is the sum of the scores in the target regions that are hit. The scores for the target regions are the whole numbers 11 through 1010. Each throw hits the target in a region with a different value. The scores are: Alice 1616 points, Ben 44 points, Cindy 77 points, Dave 1111 points, and Ellen 1717 points. Who hits the region worth 66 points?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
Alice
(B)
Ben
(C)
Cindy
(D)
Dave
(E)
Ellen
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 친구 — Alice, Ben, Cindy, Dave, Ellen — 가 점수 $1$ ~ $10$ 으로 표시된 표적에 각각 두 번씩 다트를 던집니다. 다트 $10$ 개가 던져지는 동안 $1$ 부터 $10$ 까지의 점수 영역은 정확히 한 번씩 맞습니다. 각 사람의 점수는 자기가 맞춘 두 영역의 합입니다. 점수는 Alice $16$, Ben $4$, Cindy $7$, Dave $11$, Ellen $17$ 입니다. $6$ 점 영역을 맞춘 사람은 누구일까요?

주어진 것: 표적의 영역 점수는 자연수 $1, 2, 3, \ldots, 10$; 다섯 친구가 각각 다트를 두 번씩 던지므로 총 $10$ 번; 각 점수 영역은 정확히 한 번씩 맞음 ($1$ ~ $10$ 의 값이 모두 한 번씩 등장); 점수: Alice $=16$, Ben $=4$, Cindy $=7$, Dave $=11$, Ellen $=17$; 선택지: (A) Alice, (B) Ben, (C) Cindy, (D) Dave, (E) Ellen

구하는 것: $6$ 점 영역이 어느 친구의 두 영역 쌍에 들어 있는지

이해

문제 재정리: 다섯 친구 — Alice, Ben, Cindy, Dave, Ellen — 가 점수 $1$ ~ $10$ 으로 표시된 표적에 각각 두 번씩 다트를 던집니다. 다트 $10$ 개가 던져지는 동안 $1$ 부터 $10$ 까지의 점수 영역은 정확히 한 번씩 맞습니다. 각 사람의 점수는 자기가 맞춘 두 영역의 합입니다. 점수는 Alice $16$, Ben $4$, Cindy $7$, Dave $11$, Ellen $17$ 입니다. $6$ 점 영역을 맞춘 사람은 누구일까요?

주어진 것: 표적의 영역 점수는 자연수 $1, 2, 3, \ldots, 10$; 다섯 친구가 각각 다트를 두 번씩 던지므로 총 $10$ 번; 각 점수 영역은 정확히 한 번씩 맞음 ($1$ ~ $10$ 의 값이 모두 한 번씩 등장); 점수: Alice $=16$, Ben $=4$, Cindy $=7$, Dave $=11$, Ellen $=17$; 선택지: (A) Alice, (B) Ben, (C) Cindy, (D) Dave, (E) Ellen

계획

주요 도구: #4 격자 논리표

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

전형적인 "누가 무엇을 가졌는가?" 퍼즐입니다 — 다섯 명, 영역 열 개, 각 영역은 단 한 번만 사용됩니다. 도구 #4(격자 논리표)가 주도구로 잘 맞아요. 각 사람이 가질 수 있는 영역 쌍을 표로 추적하다가 가능한 쌍이 하나만 남으면 확정합니다. 표를 채우려면 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 점수마다 합이 그 점수가 되는 모든 서로 다른 두 수 쌍 $\{a,b\}$ 를 적습니다. 이후 도구 #3(가능성 지우기)으로, 앞서 확정된 영역을 포함하는 쌍은 모두 지웁니다. 가능한 쌍이 하나뿐인 Ben 부터 시작하면 연쇄적으로 유일한 해가 나옵니다.

실행 — 정답: A

#2 빠짐없이 나열하기 2.OA.B.2 단계 1
  • 각 친구의 점수마다 합이 그 점수가 되는 $1$ ~ $10$ 의 서로 다른 두 수 쌍을 빠짐없이 적습니다.
  • 이것이 후보 격자입니다.
$$\begin{array}{l|l}\text{점수} & \text{가능한 쌍}\\\hline \text{Ben }4 & \{1,3\}\\ \text{Cindy }7 & \{1,6\},\,\{2,5\},\,\{3,4\}\\ \text{Dave }11 & \{1,10\},\,\{2,9\},\,\{3,8\},\,\{4,7\},\,\{5,6\}\\ \text{Alice }16 & \{6,10\},\,\{7,9\}\\ \text{Ellen }17 & \{7,10\},\,\{8,9\}\end{array}$$

💡 $20$ 이내의 덧셈은 2학년 "$20$ 이내에서 자유롭게 더하고 빼기" 그대로입니다. 작은 수부터 차례로 쌍을 적으면 빠뜨림 없이 다 나와요.

#4 격자 논리표 3.OA.D.8 단계 2
  • Ben 을 먼저 확정.
  • 점수 $4$ 의 유일한 쌍은 $\{1,3\}$ 뿐이므로 Ben 은 $1$ 과 $3$ 을 맞췄습니다.
  • $1$ 과 $3$ 을 사용된 영역으로 표시하고, 이 두 숫자가 들어간 쌍을 격자에서 지웁니다.
$\text{Ben}=\{1,3\}\;\Rightarrow\;\text{사용됨}=\{1,3\}$. Cindy 의 $\{1,6\}$, $\{3,4\}$ 와 Dave 의 $\{1,10\}$, $\{3,8\}$ 을 지웁니다.

💡 3학년 "여러 단계 문장제" 처럼 한 번 확정된 사실이 다른 행으로 퍼져 나갑니다 — 각 영역이 한 번만 쓰인다는 조건 덕분이에요.

#3 가능성 지우기 3.OA.D.8 단계 3
  • Cindy 를 확정.
  • Ben 의 지우기 이후 Cindy 의 후보는 $\{2,5\}$ 하나만 남았습니다.
  • 그래서 Cindy 는 $2$ 와 $5$ 를 맞췄어요.
  • 사용된 영역을 갱신하고, $2$ 나 $5$ 가 들어간 쌍을 또 지웁니다.
$\text{Cindy}=\{2,5\}\;\Rightarrow\;\text{사용됨}=\{1,2,3,5\}$. Dave 의 $\{2,9\}$, $\{5,6\}$ 을 지웁니다.

💡 지우기를 통해 Cindy 의 행이 후보 하나만 남게 되는 — 격자 논리의 정석 수입니다.

#3 가능성 지우기 3.OA.D.8 단계 4
  • Dave 를 확정.
  • Dave 의 원래 다섯 쌍 중 $\{1,2,3,5\}$ 와 겹치지 않는 것은 $\{4,7\}$ 뿐입니다.
  • 그래서 Dave 는 $4$ 와 $7$ 을 맞췄습니다.
$\text{Dave}=\{4,7\}\;\Rightarrow\;\text{사용됨}=\{1,2,3,4,5,7\}$. 남은 영역: $\{6,8,9,10\}$.

💡 Dave 의 다섯 쌍 중 네 개를 지우면 한 개만 남습니다 — 또 한 번의 강제 확정.

#4 격자 논리표 3.OA.D.8 단계 5
  • 남은 영역 $\{6,8,9,10\}$ 으로 Alice 와 Ellen 을 정리합니다.
  • 가능한 합들을 점검하면 $6+8=14$, $6+9=15$, $6+10=16$, $8+9=17$, $8+10=18$, $9+10=19$.
  • Alice 의 $16$ 은 $6+10$ 만, Ellen 의 $17$ 은 $8+9$ 만 만들 수 있습니다.
$$\text{Alice}=\{6,10\},\;\;\text{Ellen}=\{8,9\}$$

💡 남은 네 수와 두 목표 합으로 짝짓는 방법이 단 하나로 정해집니다 — 격자가 완성됩니다.

#4 격자 논리표 3.OA.D.8 단계 6
  • $6$ 을 누가 맞췄는지 읽어 냅니다.
  • $6$ 은 Alice 의 쌍 $\{6,10\}$ 에 들어 있습니다.
$$6 \in \text{Alice 의 쌍} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}\ \text{Alice}$$

💡 격자가 다 채워지면 질문은 한 줄짜리 조회로 줄어듭니다.

[1] #2 2.OA.B.2 각 친구의 점수마다 합이 그 점수가 되는 $1$ ~ $10$ 의 서로 다른 두 수 쌍을 빠짐없이 적습니다. 이것이 후보 격자입니다.
[2] #4 3.OA.D.8 Ben 을 먼저 확정. 점수 $4$ 의 유일한 쌍은 $\{1,3\}$ 뿐이므로 Ben 은 $1$ 과 $3$ 을 맞췄습니다. $1$ 과 $3$ 을
[3] #3 3.OA.D.8 Cindy 를 확정. Ben 의 지우기 이후 Cindy 의 후보는 $\{2,5\}$ 하나만 남았습니다. 그래서 Cindy 는 $2$ 와 $5$
[4] #3 3.OA.D.8 Dave 를 확정. Dave 의 원래 다섯 쌍 중 $\{1,2,3,5\}$ 와 겹치지 않는 것은 $\{4,7\}$ 뿐입니다. 그래서 Dave 는
[5] #4 3.OA.D.8 남은 영역 $\{6,8,9,10\}$ 으로 Alice 와 Ellen 을 정리합니다. 가능한 합들을 점검하면 $6+8=14$, $6+9=15$,
[6] #4 3.OA.D.8 $6$ 을 누가 맞췄는지 읽어 냅니다. $6$ 은 Alice 의 쌍 $\{6,10\}$ 에 들어 있습니다.

검토

합리성 확인: 확정된 배정이 모든 조건을 만족하는지 점검합니다. Ben $1+3=4$ ✓, Cindy $2+5=7$ ✓, Dave $4+7=11$ ✓, Alice $6+10=16$ ✓, Ellen $8+9=17$ ✓. 사용된 영역은 $\{1,3,2,5,4,7,6,10,8,9\}=\{1,2,\ldots,10\}$ — 모든 영역이 정확히 한 번씩 ✓. 총합도 $1+2+\cdots+10=55$ 이고 $4+7+11+16+17=55$ ✓. 다른 선택지는 모두 탈락: Ben 의 쌍 $\{1,3\}$ 에는 $6$ 이 없고, Cindy 의 $\{2,5\}$ 에도 없고, Dave 의 $\{4,7\}$ 에도 없고, Ellen 의 $\{8,9\}$ 에도 없습니다. $6$ 을 가진 사람은 Alice 뿐이므로 (A) 로 확정.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 쌓아 올리지 말고 "$6$ 의 짝은 누구인가?" 를 거꾸로 물어 봅니다. $6$ 이 Cindy 의 쌍에 있다면 짝은 $1$ ($6+1=7$). 그런데 Ben 의 유일한 쌍 $\{1,3\}$ 도 $1$ 을 필요로 해 충돌 — 탈락. $6$ 이 Dave 의 쌍에 있다면 짝은 $5$ ($5+6=11$). 그러면 Cindy 의 $\{2,5\}$ 도 막히고 $\{1,6\}$, $\{3,4\}$ 는 Ben 때문에 이미 막혔으므로 Cindy 가 만들 쌍이 없음 — 탈락. 따라서 $6$ 은 Alice 의 것일 수밖에 없고 ($6+10=16$), 답은 같은 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

  • 2.OA.B.2 $20$ 이내에서 자유롭게 더하고 빼기 (각 점수 ($4$, $7$, $11$, $16$, $17$) 가 되는 $1$ ~ $10$ 의 서로 다른 두 수 쌍을 빠짐없이 적는 데 사용.)
  • 3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결과 답의 타당성 점검 ("Ben 이 $\{1,3\}$ 확정 → Cindy 가 $\{2,5\}$ 확정 → Dave 가 $\{4,7\}$ 확정 → Alice/Ellen 이 $\{6,8,9,10\}$ 을 나눠 가짐" 의 연쇄 추론과, 각 쌍의 합을 다시 더해 검산하는 데 사용.)

⭐ 단서가 모두 합이고 각 숫자가 한 번씩만 쓰이면, 가능한 쌍이 단 하나뿐인 사람부터 시작하세요 — 그 한 수가 다음을 풀어 주고, 나머지는 도미노처럼 무너집니다.

⭐ 단서가 모두 합이고 각 숫자가 한 번씩만 쓰이면, 가능한 쌍이 단 하나뿐인 사람부터 시작하세요 — 그 한 수가 다음을 풀어 주고, 나머지는 도미노처럼 무너집니다.

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