AMC 8 · 2004 · #23

학년 8 rate-ratio

유형 Path Length Comparison & Shortest Path

graph-readingspatial-visualizationpattern-recognitionpythagorean-theorem pattern-recognitionpath-length-comparison ↑ 선수 지식: spatial-visualizationgraph-reading

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Tess runs counterclockwise around rectangular block $JKLM$ . She lives at corner $J$ . Which graph could represent her straight-line distance from home?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Distance increases steadily for the entire trip

(B)

Distance rises and falls in stairstep jumps with flat plateaus

(C)

Distance rises to a long flat plateau, then falls (rounded arcs)

(D)

Distance rises to a single peak in the middle, then falls back to 0

(E)

Distance rises, levels off, rises again, then levels off

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 테스는 직사각형 블록 $JKLM$ 의 모서리 $J$ 가 집입니다. 그녀는 $J \to K \to L \to M \to J$ 의 순서로 시계 반대 방향으로 한 바퀴를 돕니다. 그래프 (A)~(E) 중에서 세로축이 "집 $J$ 로부터의 직선 거리" 인 그래프 — 시간이 흐름에 따라 거리가 올라갔다가 한 번 최대가 되고 다시 $0$ 으로 돌아오는 그래프 — 를 골라야 합니다.

주어진 것: $JKLM$ 은 직사각형이고, 테스의 집은 모서리 $J$ 이다; 테스는 일정한 속력으로 시계 반대 방향으로 달린다: $J \to K \to L \to M \to J$; 각 후보 그래프의 세로축은 (달린 거리가 아니라) $J$ 로부터의 직선 거리이다; 그래프 (A)~(E) 가 서로 다른 모양으로 그려져 있다

구하는 것: 테스의 집으로부터의 거리를 시간에 따라 올바르게 보여 주는 그래프 한 개 (A, B, C, D, E 중)

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 관련 문제 풀기

구체적인 그래프 다섯 개가 선택지로 주어졌으니, AMC 객관식의 정석인 도구 #3(가능성 지우기) 이 가장 자연스럽습니다. 정답 그래프가 반드시 가져야 할 "필수 특징 세 가지" 를 적어 두고, 하나라도 어긋나는 그래프는 차례차례 지워 가는 방식입니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 그 특징들을 눈에 보이게 해 줍니다 — 직사각형을 그리고 네 모서리에서의 거리를 표시하면 "올라가고 → 최대 → 내려오는" 모양이 그대로 드러나기 때문입니다. 도구 #9(더 쉬운 관련 문제 풀기) 는 변 위에서의 복잡한 피타고라스 곡선을 "네 모서리에서의 거리 값"($0$, 변 $JK$, 대각선 $JL$, 변 $JM$, $0$) 으로 축소해 줍니다 — 곡선의 정확한 모양 없이도 이 다섯 값만으로 정답을 찾을 수 있습니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

직사각형 $JKLM$ 을 그리고, 테스가 지나가는 순서대로 각 모서리에서 $J$ 까지의 직선 거리를 적습니다.
$J$ 에서는 $0$, $K$ 에서는 변 $JK$ 의 길이, $L$ 에서는 대각선 $JL$ 의 길이(여정 전체에서 가장 멀어지는 값), $M$ 에서는 변 $JM$ 의 길이, 다시 $J$ 에서는 $0$ 입니다.

$$J \to 0,\; K \to JK,\; L \to JL,\; M \to JM,\; J \to 0$$

💡 네 모서리에서의 "집까지의 거리" 를 시간-거리 좌표 위에 표시하는 것은 5학년 "실세계 점 찍기" 그대로입니다.

#9 더 쉬운 관련 문제 풀기 8.F.B.5 단계 2

모서리별 거리 값을 이용해 정답 그래프가 반드시 가져야 할 특징 세 가지를 정리합니다.
(1) $0$ 에서 시작해 $0$ 에서 끝난다.
(2) 최대값은 절반 지점($L$ 에 도착했을 때) 에서 단 한 번 나타난다 — 그 값은 대각선 $JL$ 이다.
(3) $J \to L$ 구간에서는 계속 증가하고 $L \to J$ 구간에서는 계속 감소하므로, 어디에서도 "거리가 일정한" 평평한 구간이 없다.
$J$ 는 모서리이지 원의 중심이 아니기 때문입니다.

$$\text{모양: } 0 \nearrow JL \searrow 0,\; \text{최대는 } t = t_{\text{중앙}} \text{ 에서 한 번}$$

💡 함수를 "증가 후 감소, 최대값 하나" 라고 정성적으로 설명하는 것은 8학년 "그래프 정성적 해석" 기법입니다.

#3 가능성 지우기 8.F.B.5 단계 3

(A) 를 지웁니다.
(A) 는 끝까지 계속 올라가기만 하는 한 줄의 직선입니다.
이는 "마지막에 다시 $0$ 으로 돌아와야 한다" 는 규칙을 어깁니다 — 테스는 집으로 돌아오므로 거리도 다시 $0$ 이어야 합니다.

$$\text{(A) 의 오른쪽 끝} > 0 \;\Rightarrow\; \text{탈락}$$

💡 그래프의 오른쪽 끝값을 읽는 것은 8학년 함수 해석 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 8.F.B.5 단계 4

(B) 를 지웁니다.
(B) 는 "거리가 변하지 않는" 평평한 가로 조각들을 가지고 있습니다.
테스의 거리가 잠시라도 일정해지려면 그녀가 $J$ 를 중심으로 한 원 위를 달려야 하는데, 실제로는 모서리 $J$ 가 끼어 있는 직사각형의 직선 변 위를 달립니다.
따라서 거리는 매 순간 변해야 합니다.

$$\text{(B) 에 가로 구간 존재} \;\Rightarrow\; \text{탈락}$$

💡 가로 선분은 "그 구간에서 함수가 상수" 라는 뜻 — 8학년 정성적 해석입니다.

#3 가능성 지우기 8.F.B.5 단계 5

(C) 를 지웁니다.
(C) 는 봉우리가 두 개이고 가운데가 평평합니다.
경로 위에서 가장 먼 점은 $L$ 하나뿐이므로 최대값도 단 한 번만 나타나야 합니다.
봉우리가 두 개라는 것은 가장 먼 거리에 두 번 도달한다는 뜻이고, 이는 불가능합니다.

$$\text{(C) 의 최대값 } 2 \text{ 회} \;\Rightarrow\; \text{탈락}$$

💡 그래프 위 최대값의 개수를 세는 것은 8학년 함수 특징 읽기입니다.

#3 가능성 지우기 8.F.B.5 단계 6

(E) 를 지웁니다.
(E) 도 평평한 가로 조각(거리가 상수) 이 있고, 게다가 마지막에 $0$ 으로 돌아오지 않습니다.
단계 2에서 정리한 규칙 두 개를 동시에 어깁니다.

$$\text{(E) 에 가로 구간 + 오른쪽 끝} > 0 \;\Rightarrow\; \text{탈락}$$

💡 동일한 8학년 검사 — 가로면 상수, 그리고 오른쪽 끝이 $0$ 이어야 합니다.

#3 가능성 지우기 8.F.B.5 단계 7

(D) 를 확정합니다.
(D) 는 $0$ 에서 시작해 시간 구간의 가운데에서 단 하나의 봉우리에 도달했다가 다시 $0$ 으로 내려옵니다.
또 직사각형의 네 변에 대응되는 네 개의 조각으로 나뉘어 있고, 어디에서도 평평하지 않습니다.
필수 특징을 모두 만족하므로 (D) 가 테스의 거리를 나타낼 수 있는 유일한 그래프입니다.

$$\text{(D) 가 세 가지 특징을 모두 만족} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 세 번의 탈락 시험을 통과한 마지막 후보가 정답입니다 — 8학년 그래프 해석으로 마무리됩니다.

[1] #1 5.G.A.2 직사각형 $JKLM$ 을 그리고, 테스가 지나가는 순서대로 각 모서리에서 $J$ 까지의 직선 거리를 적습니다. $J$ 에서는 $0$, $K$ 에

[2] #9 8.F.B.5 모서리별 거리 값을 이용해 정답 그래프가 반드시 가져야 할 특징 세 가지를 정리합니다. (1) $0$ 에서 시작해 $0$ 에서 끝난다. (2)

[3] #3 8.F.B.5 (A) 를 지웁니다. (A) 는 끝까지 계속 올라가기만 하는 한 줄의 직선입니다. 이는 "마지막에 다시 $0$ 으로 돌아와야 한다" 는 규칙을

[4] #3 8.F.B.5 (B) 를 지웁니다. (B) 는 "거리가 변하지 않는" 평평한 가로 조각들을 가지고 있습니다. 테스의 거리가 잠시라도 일정해지려면 그녀가 $J$

[5] #3 8.F.B.5 (C) 를 지웁니다. (C) 는 봉우리가 두 개이고 가운데가 평평합니다. 경로 위에서 가장 먼 점은 $L$ 하나뿐이므로 최대값도 단 한 번만 나

[6] #3 8.F.B.5 (E) 를 지웁니다. (E) 도 평평한 가로 조각(거리가 상수) 이 있고, 게다가 마지막에 $0$ 으로 돌아오지 않습니다. 단계 2에서 정리한

[7] #3 8.F.B.5 (D) 를 확정합니다. (D) 는 $0$ 에서 시작해 시간 구간의 가운데에서 단 하나의 봉우리에 도달했다가 다시 $0$ 으로 내려옵니다. 또 직

검토

합리성 확인: $6 \times 4$ 블록으로 확인해 봅시다. 변 $JK = 4$, 대각선 $JL = \sqrt{4^2+6^2} \approx 7.21$, 변 $JM = 6$. 네 모서리에서의 거리 $0, 4, 7.21, 6, 0$ 은 가운데 한 번의 봉우리를 거쳐 다시 $0$ 으로 돌아옵니다 — 그래프 (D) 의 모양 그대로입니다. 변 $JK$ 와 $MJ$ 를 달리는 두 구간은 그래프에서 직선 조각으로 보이고, $KL$ 과 $LM$ 을 달리는 두 구간은 봉우리를 향해 부드럽게 휘는 조각으로 보입니다. 어느 구간도 평평하지 않으므로 (B), (C), (E) 는 어쩔 수 없이 탈락입니다.

대안 접근: 도구 #10(직접 해 보기) 으로 빠르게 확인할 수도 있습니다. 한 사람이 직사각형 책상 주위를 시계 반대 방향으로 걸으면서 출발 모서리에 있는 친구가 줄자로 그 사람까지의 거리를 잰다고 상상해 보세요. 줄자의 길이는 반대편 모서리에서 가장 길어졌다가 다시 $0$ 으로 줄어듭니다 — 평평한 구간 없이 한 번 올라갔다 한 번 내려오는 모양이고, (A)~(E) 중 그 모양에 맞는 것은 (D) 뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.G.A.2 좌표 평면의 제 $1$ 사분면에 점을 찍어 실세계·수학 문제 표현 (네 모서리에서의 $J$ 까지의 거리를 시간-거리 좌표 위에 점으로 찍어 그래프의 정성적 모양을 잡는 데 사용.)
8.F.B.5 그래프를 분석해 두 양 사이 함수 관계를 정성적으로 설명하기 (각 후보 그래프의 증가·감소 구간, 평평한 구간, 최대값의 개수, 시작·끝 값을 읽고, "올라가고 → 최대 → 내려옴" 줄거리와 어긋나는 그래프를 차례로 지우는 데 사용.)

⭐ 선택지가 그래프일 때는 정답이 반드시 가져야 할 특징 두세 가지($0$ 에서 시작, 최대 한 번, $0$ 에서 끝) 만 적어 두고 하나라도 어긋나는 그래프를 지워 가면 돼요 — 8학년 정성적 그래프 해석만으로 충분합니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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