AMC 8 · 2005 · #7
학년 8 geometry-2d문제
Bill walks mile south, then mile east, and finally mile south. How many miles is he, in a direct line, from his starting point?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 빌이 남쪽으로 $\tfrac{1}{2}$ 마일, 동쪽으로 $\tfrac{3}{4}$ 마일, 다시 남쪽으로 $\tfrac{1}{2}$ 마일을 걷습니다. 출발점에서 도착점까지의 직선 거리는 몇 마일인가요?
주어진 것: 1구간: 남쪽으로 $\tfrac{1}{2}$ 마일; 2구간: 동쪽으로 $\tfrac{3}{4}$ 마일; 3구간: 남쪽으로 $\tfrac{1}{2}$ 마일; 선택지: (A) $1$, (B) $1\tfrac{1}{4}$, (C) $1\tfrac{1}{2}$, (D) $1\tfrac{3}{4}$, (E) $2$
구하는 것: 출발점에서 도착점까지의 직선 거리
이해
문제 재정리: 빌이 남쪽으로 $\tfrac{1}{2}$ 마일, 동쪽으로 $\tfrac{3}{4}$ 마일, 다시 남쪽으로 $\tfrac{1}{2}$ 마일을 걷습니다. 출발점에서 도착점까지의 직선 거리는 몇 마일인가요?
주어진 것: 1구간: 남쪽으로 $\tfrac{1}{2}$ 마일; 2구간: 동쪽으로 $\tfrac{3}{4}$ 마일; 3구간: 남쪽으로 $\tfrac{1}{2}$ 마일; 선택지: (A) $1$, (B) $1\tfrac{1}{4}$, (C) $1\tfrac{1}{2}$, (D) $1\tfrac{3}{4}$, (E) $2$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
방향과 거리가 적힌 길 문제는 도구 #1(그림 그리기)의 전형적인 신호예요. 세 구간을 그려 보면 두 남쪽 구간이 같은 수직선 위에 한 줄로 이어지고, 동쪽 구간이 거기에 수직으로 붙는다는 것이 한눈에 보입니다. 그러면 출발점과 도착점은 직각삼각형의 두 비스듬한 꼭짓점이 되고, 직선 거리는 그 빗변이에요. 그림이 정리된 뒤에는 피타고라스 정리 한 줄이면 끝납니다 — 분수 두 개만 제곱하면 돼요.
실행 — 정답: B
6.NS.C.8 단계 1 - 걸음을 그림으로 그립니다.
- 출발점을 맨 위에 두고 남쪽은 아래, 동쪽은 오른쪽으로 잡으면 경로는 아래로 $\tfrac{1}{2}$, 오른쪽으로 $\tfrac{3}{4}$, 다시 아래로 $\tfrac{1}{2}$ 입니다.
- 두 남쪽 구간은 같은 세로선 위에 있고, 그 사이에 동쪽 한 걸음이 들어가 있을 뿐이에요.
💡 걸음을 좌표 평면에 올리는 것은 6학년 "네 사분면 위의 점" 활동 그대로 — 남쪽은 음의 $y$, 동쪽은 양의 $x$ 가 됩니다.
5.NF.A.1 단계 2 - 삼각형을 닫습니다.
- 출발점 $(0,0)$ 과 도착점 $(\tfrac{3}{4},-1)$ 을 잇는 직선을 하나 더 그으면, 남쪽으로 간 총거리, 동쪽으로 간 거리, 그리고 이 직선이 직각삼각형의 세 변이 됩니다.
- 두 다리는 남쪽 총거리와 동쪽 거리이고, 우리가 구하려는 직선 거리가 빗변이에요.
💡 두 남쪽 구간 $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1$ 을 합치는 것은 5학년 "분수 덧셈" 단계이고, 그림이 자연스럽게 요구하는 작업입니다.
8.G.B.7 단계 3 - 피타고라스 정리를 적용합니다.
- 두 다리가 $1$ 과 $\tfrac{3}{4}$ 이므로 빗변의 제곱은 $1^2 + \left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = 1 + \tfrac{9}{16} = \tfrac{25}{16}$.
- 제곱근을 취하면 직선 거리가 나옵니다.
💡 직각삼각형에서 (다리)$^2$ + (다리)$^2$ = (빗변)$^2$ — 8학년 피타고라스 정리를 다리 $1$ 과 $\tfrac{3}{4}$ 에 그대로 적용한 것.
6.NS.C.8 걸음을 그림으로 그립니다. 출발점을 맨 위에 두고 남쪽은 아래, 동쪽은 오른쪽으로 잡으면 경로는 아래로 $\tfrac{1}{2}$, 오른쪽으로 5.NF.A.1 삼각형을 닫습니다. 출발점 $(0,0)$ 과 도착점 $(\tfrac{3}{4},-1)$ 을 잇는 직선을 하나 더 그으면, 남쪽으로 간 총거리, 8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용합니다. 두 다리가 $1$ 과 $\tfrac{3}{4}$ 이므로 빗변의 제곱은 $1^2 + \left(\tfrac{3}{4 검토
합리성 확인: 직선 거리는 걸은 총거리 $\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{2} = 1\tfrac{3}{4}$ 마일보다 작아야 하고, 삼각형의 한 변 길이보다는 커야 하므로 $1$ 과 $1\tfrac{3}{4}$ 사이에 들어가야 합니다. 이 사실만으로 (A) $1$ 과 (E) $2$ 가 빠지고, 그림을 보면 $1$ 에 살짝만 더한 값임이 보여 (C) $1\tfrac{1}{2}$ 보다는 (B) $1\tfrac{1}{4}$ 가 자연스러워요. 계산도 (B) 로 정확히 떨어집니다. 또한 $3$-$4$-$5$ 라는 익숙한 비도 확인할 수 있어요: 세 수에 각각 $\tfrac{1}{4}$ 를 곱하면 $\tfrac{3}{4}$-$1$-$\tfrac{5}{4}$ 가 되고, 이 값이 그대로 답입니다.
대안 접근: 도구 #9(간단한 경우 시도하기): 모든 거리에 $4$ 를 곱해 분수를 없앱니다. 경로는 남쪽 $2$, 동쪽 $3$, 남쪽 $2$ 가 되고 다리가 $3$ 과 $4$ 인 익숙한 $3$-$4$-$5$ 직각삼각형이라 빗변이 $5$. 다시 $4$ 로 나누면 $\tfrac{5}{4} = 1\tfrac{1}{4}$ 이므로 (B) 가 확정됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
5.NF.A.1분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 (두 남쪽 구간 $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1$ 을 합쳐 경로를 직각삼각형 하나로 정리하는 데 사용.)6.NS.C.8네 사분면 좌표 평면 위의 점으로 실제 상황 해결하기 (출발점, 두 꺾이는 점, 도착점을 좌표 평면에 올려 직각삼각형이 보이도록 만드는 데 사용.)8.G.B.7피타고라스 정리를 이용해 직각삼각형의 변의 길이 구하기 (빗변 $\sqrt{1^2 + (\tfrac{3}{4})^2} = \tfrac{5}{4}$ 를 계산해 출발점부터 도착점까지의 직선 거리를 구하는 데 사용.)
⭐ 두 남쪽 구간이 동쪽 구간을 사이에 두고 같은 세로선 위에 있다면, 출발-도착을 잇는 직선은 직각삼각형의 빗변 — 여기서는 익숙한 $3$-$4$-$5$ 를 $\tfrac{1}{4}$ 만큼 줄인 것일 뿐이에요.
⭐ 두 남쪽 구간이 동쪽 구간을 사이에 두고 같은 세로선 위에 있다면, 출발-도착을 잇는 직선은 직각삼각형의 빗변 — 여기서는 익숙한 $3$-$4$-$5$ 를 $\tfrac{1}{4}$ 만큼 줄인 것일 뿐이에요.
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