AMC 8 · 2006 · #19

학년 8 geometry-2d

isosceles-trianglesimilar-triangleslogical-deduction identify-subproblems ↑ 선수 지식: isosceles-triangle

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Triangle $ABC$ is an isosceles triangle with $\overline{AB}=\overline{BC}$ . Point $D$ is the midpoint of both $\overline{BC}$ and $\overline{AE}$ , and $\overline{CE}$ is 11 units long. Triangle $ABD$ is congruent to triangle $ECD$ . What is the length of $\overline{BD}$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

4.5

(C)

(D)

5.5

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 이등변삼각형 $\triangle ABC$ 에서 $\overline{AB} = \overline{BC}$ 입니다. 점 $D$ 는 $\overline{BC}$ 와 $\overline{AE}$ 의 중점이고, $\overline{CE} = 11$, $\triangle ABD \cong \triangle ECD$ 입니다. $\overline{BD}$ 의 길이를 구하세요.

주어진 것: $\triangle ABC$ 는 $\overline{AB} = \overline{BC}$ 인 이등변삼각형; $D$ 는 $\overline{BC}$ 의 중점이므로 $\overline{BD} = \overline{DC}$; $D$ 는 $\overline{AE}$ 의 중점이므로 $\overline{AD} = \overline{DE}$; $\overline{CE} = 11$; $\triangle ABD \cong \triangle ECD$; 선택지: (A) $4$, (B) $4.5$, (C) $5$, (D) $5.5$, (E) $6$

구하는 것: $\overline{BD}$ 의 길이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #12 대칭 활용하기

도구 #1(그림 그리기) 로 도형을 다시 그리고 주어진 정보를 모두 표시합니다. 두 변이 같다는 조건 $\overline{AB} = \overline{BC}$, 점 $D$ 가 두 선분의 중점이라는 사실, 그리고 $\overline{CE} = 11$ 까지 한눈에 보여야 합니다. 도구 #12(대칭 활용하기) 는 합동 표기 $\triangle ABD \cong \triangle ECD$ 에서 대응 꼭짓점을 읽어내는 데 쓰입니다. 순서대로 $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow C$, $D \leftrightarrow D$ 이므로 $\overline{AB}$ 와 $\overline{EC}$ 가 대응변이고, $\overline{CE} = 11$ 이라는 정보가 곧 $\overline{AB} = 11$ 로 옮겨집니다. 이등변 조건과 중점 조건만 더하면 변수를 도입할 필요 없이 세 문장으로 풀립니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

그림에 정보를 표시합니다.
$\overline{AB} = \overline{BC}$ 인 $\triangle ABC$ 를 그리고, $\overline{BC}$ 의 중점인 $D$ 가 $\overline{AE}$ 의 중점도 되도록 점 $E$ 를 놓습니다.
알려진 길이 $\overline{CE} = 11$ 도 적어 둡니다.
그림에는 $D$ 에서 만나는 두 삼각형이 있고, $D$ 는 $\overline{BC}$ 와 $\overline{AE}$ 를 각각 같은 길이로 나누고 있습니다.

$$\overline{AB} = \overline{BC}, \quad \overline{BD} = \overline{DC}, \quad \overline{AD} = \overline{DE}, \quad \overline{CE} = 11$$

💡 주어진 조건을 그림에 모두 표시하는 것은 4학년 "선분 식별" 그대로의 동작이며, 같은 길이의 토막들을 잃지 않게 해 줍니다.

#12 대칭 활용하기 8.G.A.2 단계 2

합동 표기를 꼭짓점 순서대로 읽습니다.
$\triangle ABD \cong \triangle ECD$ 는 적힌 순서대로 꼭짓점을 짝지어 주므로 $A$ — $E$, $B$ — $C$, $D$ — $D$ 가 대응합니다.
대응변도 같은 순서로 짝이 되어 $\overline{AB}$ 의 짝은 $\overline{EC}$ 입니다.

$$\triangle ABD \cong \triangle ECD \;\Rightarrow\; \overline{AB} = \overline{EC} = 11$$

💡 8학년 합동 개념: 합동인 도형의 대응 부분은 모두 같다. 꼭짓점 표기 순서는 어느 변이 어느 변과 같은지 알려 주는 사전 역할을 합니다.

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 3

이등변 조건으로 길이를 옮깁니다.
삼각형이 $\overline{AB} = \overline{BC}$ 인 이등변삼각형이고 방금 $\overline{AB} = 11$ 을 알아냈으므로 $\overline{BC} = 11$ 입니다.

$$\overline{AB} = 11, \; \overline{AB} = \overline{BC} \;\Rightarrow\; \overline{BC} = 11$$

💡 이등변삼각형은 두 변이 같다고 적어 둔 도형이므로, 한쪽 길이를 알면 짝이 되는 쪽도 같이 결정됩니다.

#1 그림 그리기 5.NF.B.4 단계 4

중점을 이용해 $\overline{BC}$ 를 반으로 나눕니다.
$D$ 가 $\overline{BC}$ 의 중점이므로 $\overline{BD}$ 는 $\overline{BC}$ 의 정확히 절반입니다.

$$\overline{BD} = \tfrac{1}{2}\,\overline{BC} = \tfrac{11}{2} = 5.5 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 중점은 5학년 "길이의 절반" 개념입니다. $11$ 을 반으로 나누면 $5.5$.

[1] #1 4.G.A.1 그림에 정보를 표시합니다. $\overline{AB} = \overline{BC}$ 인 $\triangle ABC$ 를 그리고, $\overli

[2] #12 8.G.A.2 합동 표기를 꼭짓점 순서대로 읽습니다. $\triangle ABD \cong \triangle ECD$ 는 적힌 순서대로 꼭짓점을 짝지어 주므로

[3] #1 4.G.A.2 이등변 조건으로 길이를 옮깁니다. 삼각형이 $\overline{AB} = \overline{BC}$ 인 이등변삼각형이고 방금 $\overline

[4] #1 5.NF.B.4 중점을 이용해 $\overline{BC}$ 를 반으로 나눕니다. $D$ 가 $\overline{BC}$ 의 중점이므로 $\overline{BD}

검토

합리성 확인: $\triangle ABD \cong \triangle ECD$ 의 대응변을 모두 확인해 봅시다. 첫 삼각형의 $\overline{BD}$ 는 두 번째 삼각형의 $\overline{CD}$ 와 짝이 되어야 하고, 실제로 $D$ 가 $\overline{BC}$ 의 중점이므로 두 길이 모두 $5.5$ 로 같습니다. $\overline{AD}$ 는 $\overline{ED}$ 와 짝이어야 하는데, 이는 $D$ 가 $\overline{AE}$ 의 중점이라는 두 번째 조건과 정확히 일치합니다. 그리고 $\overline{AB} = \overline{EC} = 11$ 은 우리가 이미 사용한 짝입니다. 세 쌍이 모두 일관되므로 $\overline{BD} = 5.5$ — 답 (D). 다른 선택지 ($4$, $4.5$, $5$, $6$) 는 모두 $\overline{BC} \ne 11$ 을 강제하므로 $\overline{AB} = \overline{EC} = 11$ 흐름과 모순됩니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): $\overline{BD} = x$ 라 두면 중점 조건에서 $\overline{BC} = 2x$, 이등변 조건에서 $\overline{AB} = 2x$ 입니다. 합동에서 $\overline{AB}$ 의 짝이 $\overline{EC}$ 이므로 $2x = 11$, 즉 $x = 5.5$. 결과는 같지만 그림과 대칭만으로 풀면 변수 도입을 건너뛸 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.1 점, 선, 선분, 반직선, 각, 수직선을 그리고 식별하기 (도형을 다시 그리고 같은 길이의 선분, 중점, 알려진 길이 $\overline{CE} = 11$ 을 모두 표시해 합동 조건이 실제로 작용할 그림을 만드는 데 사용.)
4.G.A.2 평행/수직선 유무, 특정 각의 유무에 따라 이차원 도형 분류하기 (이등변 조건 $\overline{AB} = \overline{BC}$ 를 도형의 정의로 읽어, 길이 $11$ 을 $\overline{AB}$ 에서 $\overline{BC}$ 로 옮기는 데 사용.)
5.NF.B.4 분수와 자연수의 곱셈 이해 확장 (중점을 이용해 $\overline{BC} = 11$ 을 절반으로 나눠 $\overline{BD} = \tfrac{1}{2} \cdot 11 = 5.5$ 를 얻는 데 사용.)
8.G.A.2 회전·반사·평행이동·확대축소의 합성으로 이차원 도형의 합동 이해 ($\triangle ABD \cong \triangle ECD$ 에서 꼭짓점 대응 $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow C$, $D \leftrightarrow D$ 를 읽어 $\overline{AB} = \overline{EC} = 11$ 을 끌어내는 데 사용.)

⭐ 합동인 삼각형은 적힌 꼭짓점 순서대로 짝을 맞춥니다. $\overline{AB} = \overline{EC} = 11$ 만 알면 이등변 조건에서 $\overline{BC}$ 도 $11$, 중점이 그 절반을 알려 줍니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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