AMC 8 · 2007 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition

area-trianglespythagorean-theoremisosceles-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The base of isosceles $\triangle ABC$ is $24$ and its area is $60$ . What is the length of one
of the congruent sides?

$\mathrm{(A)}\ 5 \qquad \mathrm{(B)}\ 8 \qquad \mathrm{(C)}\ 13 \qquad \mathrm{(D)}\ 14 \qquad \mathrm{(E)}\ 18$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 이등변삼각형 $\triangle ABC$의 밑변 길이는 $24$이고 넓이는 $60$입니다. 길이가 같은 두 변(등변) 중 하나의 길이를 구하세요.

주어진 것: $\triangle ABC$는 이등변삼각형이므로 밑변이 아닌 두 변의 길이가 서로 같다; 밑변의 길이는 $24$; 넓이는 $60$; 선택지: (A) $5$, (B) $8$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $18$

구하는 것: 등변 한 변의 길이

이해

문제 재정리: 이등변삼각형 $\triangle ABC$의 밑변 길이는 $24$이고 넓이는 $60$입니다. 길이가 같은 두 변(등변) 중 하나의 길이를 구하세요.

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #5 규칙 찾기

자연스러운 시작은 도구 #1(그림 그리기)입니다. 이등변삼각형을 그리고 꼭짓점에서 밑변으로 수선을 내려보세요. 이등변삼각형에서는 그 수선이 밑변을 이등분하므로 그림이 합동인 두 직각삼각형으로 쪼개집니다. 그 결과 우리가 찾는 등변은 직각삼각형의 빗변이 되고, 문제는 피타고라스 정리 한 줄짜리 계산으로 바뀝니다. 도구 #5(규칙 찾기)는 마무리 도구예요. 두 변이 $5$와 $12$로 나오면, 유명한 $5$-$12$-$13$ 피타고라스 수임을 알아채는 순간 빗변 $13$이 바로 보입니다 — 제곱근 계산도 필요 없죠.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

밑변 $BC = 24$이고 꼭짓점이 $A$인 $\triangle ABC$를 그립니다.
꼭짓점 $A$에서 밑변 $BC$로 수선을 내리고 그 발을 $M$이라 합시다.
이등변삼각형에서 밑변에 내린 수선은 밑변을 이등분하므로 $BM = MC = 12$이고 $\angle AMB = 90^\circ$입니다.
그 결과 두 개의 합동인 직각삼각형 $\triangle AMB$, $\triangle AMC$가 만들어집니다.

$$BM = MC = \tfrac{24}{2} = 12, \quad \angle AMB = 90^\circ$$

💡 수선을 그어 숨어 있던 직각을 드러내는 것은 4학년 "수직선 그리기" 그대로의 동작입니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 2

넓이로부터 높이 $AM$을 구합니다.
넓이 공식 $\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$를 $AM$에 대한 일차방정식으로 보면 바로 풀립니다.

$$60 = \tfrac{1}{2} \times 24 \times AM \;\Rightarrow\; 60 = 12 \cdot AM \;\Rightarrow\; AM = 5$$

💡 6학년 삼각형 넓이 공식을 거꾸로 읽는 것입니다. 넓이와 밑변이 주어지면 높이는 자동으로 정해집니다.

#5 규칙 찾기 8.G.B.7 단계 3

이제 $\triangle AMB$는 두 변이 $AM = 5$, $BM = 12$인 직각삼각형이고, 빗변 $AB$는 바로 우리가 찾는 등변입니다.
규칙을 알아챕니다 — $5$와 $12$는 유명한 $5$-$12$-$13$ 피타고라스 수의 두 변이므로 빗변은 $13$, 제곱근을 계산할 필요도 없습니다.

$$AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \;\Rightarrow\; AB = 13 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $5$-$12$-$13$ 패턴을 알아채는 것은 8학년 피타고라스 정리의 단축키입니다. 패턴 하나로 제곱근 계산이 사라집니다.

[1] #1 4.G.A.1 밑변 $BC = 24$이고 꼭짓점이 $A$인 $\triangle ABC$를 그립니다. 꼭짓점 $A$에서 밑변 $BC$로 수선을 내리고 그 발을

[2] #1 6.G.A.1 넓이로부터 높이 $AM$을 구합니다. 넓이 공식 $\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \te

[3] #5 8.G.B.7 이제 $\triangle AMB$는 두 변이 $AM = 5$, $BM = 12$인 직각삼각형이고, 빗변 $AB$는 바로 우리가 찾는 등변입니다.

검토

합리성 확인: 삼각부등식으로 확인합니다: 세 변 $13, 13, 24$에 대해 $13 + 13 = 26 > 24$이므로 삼각형이 실제로 만들어집니다(꽤 납작한 모양이 되지만요). 넓이도 다시 계산해 봅니다 — 밑변 $24$, 높이 $5$이면 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$으로 문제와 일치합니다. 다른 선택지를 보면 $5$는 높이 자체(함정), $8$은 어디서도 맞지 않고, $14$, $18$은 각각 높이가 $\sqrt{14^2 - 12^2} = \sqrt{52}$, $\sqrt{18^2 - 12^2} = \sqrt{180}$이 되어 $5$와 다릅니다. $13$만이 들어맞습니다.

대안 접근: 도구 #6(거꾸로 대입해 보기)으로 선택지를 직접 확인할 수도 있습니다. 등변 길이를 $s$라 하면 높이 $h = \sqrt{s^2 - 144}$가 되고, 넓이 조건 $\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot h = 60$에서 $h = 5$여야 합니다. $s = 13$을 넣으면 $h = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$로 정확히 일치 — 답은 (C). 결과는 같지만 선택지마다 한 번씩 검산해야 하므로 더 느린 경로입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.1 점, 선, 선분, 반직선, 각, 수직선을 그리고 식별하기 (꼭짓점에서 밑변으로 수선을 그어 그 발에 직각을 표시함으로써 이등변삼각형 안에 합동인 두 직각삼각형을 드러내는 데 사용.)
6.G.A.1 직각삼각형, 일반 삼각형, 특수 사각형의 넓이 구하기 ($\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$ 공식을 넓이 $60$, 밑변 $24$에 적용해 높이 $AM = 5$를 구하는 데 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용해 직각삼각형의 미지 변의 길이 구하기 (두 변이 $5$, $12$인 직각삼각형의 빗변을 $5^2 + 12^2 = 13^2$으로부터 $13$으로 구하는 데 사용.)

⭐ 이등변삼각형에서 수선을 내리면 밑변이 이등분돼요 — 그림이 곧바로 직각삼각형을 만들어 주고, $5$-$12$-$13$ 피타고라스 수가 답을 마무리합니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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