AMC 8 · 2008 · #14

• 격자를 그리고 남은 $\text{A}$ 두 개를 배치합니다.
• $(1,1)$ 의 $\text{A}$ 때문에 행 $1$ 과 열 $1$ 은 이미 $\text{A}$ 가 끝났으니, 나머지 두 $\text{A}$ 는 행 $2,3$ 과 열 $2,3$ 이 만나는 $2 \times 2$ 작은 격자 안에 들어가야 합니다.
• 그 안에서 행마다 하나, 열마다 하나가 되려면 대각선 $(2,2),(3,3)$ 또는 반대각선 $(2,3),(3,2)$ 두 가지 패턴뿐입니다.

💡 그림을 그리면 $(1,1)$ 의 $\text{A}$ 가 행 $1$ 과 열 $1$ 을 막아 $2 \times 2$ 부분 격자만 남기고, 그 안에서 가능한 $\text{A}$ 배치는 대각선과 반대각선 두 가지뿐이라는 점이 바로 보입니다.

• 이제 $\text{B}$ 세 개를 놓을 차례입니다.
• $\text{A}$ 패턴 하나, 예를 들어 $\text{A}$ 가 주대각선에 있는 경우 $(1,1),(2,2),(3,3)$ 을 잡아 봅시다.
• 행 $1$ 에는 아직 $(1,2)$ 또는 $(1,3)$ 에 $\text{B}$ 가 들어가야 합니다.
• 어느 쪽을 고르든 나머지 $\text{B}$ 위치는 행·열 규칙으로 모두 강제됩니다: $\text{B}$ 를 $(1,2)$ 에 두면 $\text{B}$ 가 $(2,3),(3,1)$ 에, $(1,3)$ 에 두면 $\text{B}$ 가 $(2,1),(3,2)$ 에 들어갑니다.
• 따라서 $\text{A}$ 패턴 하나에 대해 $\text{B}$ 패턴은 $2$ 가지.

💡 $\text{A}$ → $\text{B}$ 순서로 나누면 복잡한 격자 문제가 한 줄에서의 두 선택으로 단순해집니다. 행 $1$ 의 첫 $\text{B}$ 위치가 나머지를 모두 결정합니다.

• $\text{C}$ 세 개를 놓습니다.
• $\text{A}$ 와 $\text{B}$ 가 모두 자리 잡으면 각 행과 각 열에는 이미 $\text{A}$ 와 $\text{B}$ 가 한 번씩 들어가 있고, 비어 있는 칸이 정확히 행마다 하나, 열마다 하나입니다.
• 그 빈 자리에는 $\text{C}$ 하나씩만 들어갈 수 있어 선택의 여지가 없습니다.

💡 각 행과 열에서 세 글자 중 두 글자가 이미 정해졌으니 마지막 글자는 자동으로 결정됩니다. $\text{C}$ 는 강제됩니다.

• 곱셈 원리(도구 #13)로 단계별 경우의 수를 곱합니다.
• 세 단계는 순차적으로 독립이라 어떤 $\text{A}$ 패턴이든 어떤 $\text{B}$ 패턴과도 짝지을 수 있고, $\text{C}$ 패턴은 그다음에 자동 결정됩니다.

💡 곱셈으로 묶는 것은 7학년 "복합 사건 세기" 그대로입니다. $\text{A}$ 패턴 $2$ 가지 $\times$ $\text{B}$ 패턴 $2$ 가지 $\times$ 강제된 $\text{C}$ 패턴 $1$ 가지 $= 4$.