AMC 8 · 2008 · #21

학년 8 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

volume-cylinderarea-circlesspatial-visualizationline-symmetry identify-subproblems ↑ 선수 지식: volume-cylinderarea-circles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

Jerry cuts a wedge from a $6$ -cm cylinder of bologna as shown by the dashed curve. Which answer choice is closest to the volume of his wedge in cubic centimeters?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

151

(D)

192

(E)

603

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 길이 $6$ cm, 지름 $8$ cm (반지름 $4$ cm) 의 원기둥 모양 볼로냐 소시지가 있습니다. 제리는 점선으로 표시된 비스듬한 타원을 따라 잘라 냈는데, 그 절단면은 원기둥의 중심축을 그대로 지나갑니다. 잘려 나온 한 조각의 부피(세제곱 센티미터)에 가장 가까운 값을 고르세요.

주어진 것: 원기둥의 지름은 $8$ cm 이므로 반지름은 $r = 4$ cm; 원기둥의 길이(높이)는 $h = 6$ cm; 점선으로 표시된 절단면은 원기둥의 중심축을 지나는 평면이다; 선택지: (A) $48$, (B) $75$, (C) $151$, (D) $192$, (E) $603$

구하는 것: 잘려 나온 조각의 부피에 가장 가까운 선택지

이해

계획

주요 도구: #15 그림으로 보기 / 대칭 활용

보조 도구: #9 더 쉬운 관련 문제로 바꾸기

점선으로 그려진 타원은 복잡해 보이지만, 사실은 원기둥의 중심축을 곧장 지나는 평평한 칼질을 비스듬히 본 모습일 뿐입니다. 도구 #15(그림으로 보기 / 대칭) 로 보면 이 한 번의 칼질이 원기둥을 거울상처럼 똑같은 두 조각으로 나눈다는 걸 알 수 있어요. 그러면 어려운 3차원 문제는 도구 #9(더 쉬운 관련 문제) 로 줄어듭니다 — 원기둥 전체 부피를 구하고 반으로 나누면 끝.

실행 — 정답: C

#15 그림으로 보기 / 대칭 활용 7.G.B.6 단계 1

그림에서 치수를 읽어 옵니다.
"$8$ cm" 는 둥근 단면의 지름, "$6$ cm" 는 원기둥의 길이입니다.
따라서 반지름은 $r = 8 \div 2 = 4$ cm, 높이(길이)는 $h = 6$ cm.

$$r = 4 \text{ cm}, \quad h = 6 \text{ cm}$$

💡 7학년 기하: 공식에 넣기 전에 그림 속 입체에서 반지름과 높이를 정확히 읽어 내기.

#15 그림으로 보기 / 대칭 활용 8.G.A.1 단계 2

절단면의 대칭성을 봅니다.
점선 타원은 원기둥의 중심축을 지나는 평평한 평면을 비스듬히 그린 것입니다.
중심축을 지나는 어떤 평면도 원기둥을 거울상인 두 조각으로 나누므로, 한 조각의 부피는 원기둥 부피의 정확히 절반입니다.

$$V_{\text{조각}} = \tfrac{1}{2} V_{\text{원기둥}}$$

💡 8학년 강체 변환 사고: 절단면을 기준으로 한 반사가 한 조각을 다른 조각으로 옮기므로 두 부피가 같습니다.

#9 더 쉬운 관련 문제로 바꾸기 8.G.C.9 단계 3

원기둥의 부피를 표준 공식 $V = \pi r^2 h$ 로 계산합니다.
$r = 4$, $h = 6$ 을 대입합니다.

$$V_{\text{원기둥}} = \pi (4)^2 (6) = \pi \cdot 16 \cdot 6 = 96\pi \text{ cm}^3$$

💡 8학년 "원기둥의 부피" 는 밑면 원의 넓이 곱하기 길이입니다.

#9 더 쉬운 관련 문제로 바꾸기 7.G.B.4 단계 4

원기둥 부피의 절반을 구해 조각의 부피로 삼고 $\pi \approx 3.14$ 로 어림합니다.
선택지와 비교합니다.

$$V_{\text{조각}} = \tfrac{1}{2}(96\pi) = 48\pi \approx 48 \times 3.14159 \approx 150.8 \text{ cm}^3 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}\ 151$$

💡 7학년 "원의 둘레와 넓이 공식" 단원에서 배운 $\pi \approx 3.14$ 로 수치 어림하기.

[1] #15 7.G.B.6 그림에서 치수를 읽어 옵니다. "$8$ cm" 는 둥근 단면의 지름, "$6$ cm" 는 원기둥의 길이입니다. 따라서 반지름은 $r = 8 \d

[2] #15 8.G.A.1 절단면의 대칭성을 봅니다. 점선 타원은 원기둥의 중심축을 지나는 평평한 평면을 비스듬히 그린 것입니다. 중심축을 지나는 어떤 평면도 원기둥을 거

[3] #9 8.G.C.9 원기둥의 부피를 표준 공식 $V = \pi r^2 h$ 로 계산합니다. $r = 4$, $h = 6$ 을 대입합니다.

[4] #9 7.G.B.4 원기둥 부피의 절반을 구해 조각의 부피로 삼고 $\pi \approx 3.14$ 로 어림합니다. 선택지와 비교합니다.

검토

합리성 확인: 크기를 점검합니다. 원기둥 전체는 $96\pi \approx 301.6$ cm$^3$ 이므로 절반은 약 $150.8$ cm$^3$ 입니다. 이 값은 (B) $75$ 와 (D) $192$ 사이에 있고 (C) $151$ 과 거의 일치합니다. (A) $48$ 은 $\pi$ 를 빼먹은 값, (D) $192$ 는 조각 대신 두 배를 잘못 잡은 값, (E) $603$ 은 원기둥 전체의 두 배입니다. "$96\pi$ 의 절반" 과 맞는 선택지는 (C) 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 관련 문제) 로 친숙한 상황을 떠올려 봅시다. 반지름 $4$ cm, 높이 $6$ cm 인 동그란 케이크를 한가운데를 곧장 가르듯 잘라 보세요. 똑같은 반쪽 케이크 두 개가 나옵니다. 한쪽의 부피는 원래 부피의 절반인 $\tfrac{1}{2}\pi r^2 h = \tfrac{1}{2}\pi (16)(6) = 48\pi \approx 151$ cm$^3$ 으로 같은 결과를 얻습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 원의 둘레와 넓이 공식을 알고 문제 해결에 활용하기 ($\pi \approx 3.14$ 를 이용해 $48\pi$ 를 약 $150.8$ 로 어림하여 선택지와 비교하는 데 사용.)
7.G.B.6 2차원·3차원 도형의 넓이·부피·겉넓이를 다루는 실생활·수학 문제 해결 (그림에서 원기둥의 반지름과 높이를 읽어 내고 부피 공식에 대입할 값을 결정하는 데 사용.)
8.G.A.1 회전·반사·평행이동의 성질을 실험적으로 확인하기 (절단면에 대한 반사가 한 조각을 다른 조각으로 옮긴다는 점에서 두 조각이 합동이고 부피가 같음을 인식하는 데 사용.)
8.G.C.9 원뿔·원기둥·구의 부피 공식을 알고 실생활·수학 문제에 활용하기 (원기둥 전체 부피 $V_{\text{원기둥}} = \pi r^2 h = 96\pi$ cm$^3$ 을 구해 그 절반을 취하는 데 사용.)

⭐ 둥근 도형의 한가운데를 곧장 자르면 두 조각이 똑같아요 — 그래서 이 AMC 8 문제는 결국 "$\pi r^2 h$ 의 절반" 을 묻는 문제입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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