AMC 8 · 2008 · #4
학년 3 geometry-2d문제
In the figure, the outer equilateral triangle has area , the inner equilateral triangle has area , and the three trapezoids are congruent. What is the area of one of the trapezoids?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 큰 정삼각형의 넓이가 $16$ 이고, 그 안에 들어 있는 작은 정삼각형의 넓이가 $1$ 입니다. 두 정삼각형 사이의 공간은 합동인 사다리꼴 세 개로 나뉘어 있습니다. 사다리꼴 한 개의 넓이는 얼마인가요?
주어진 것: 바깥 정삼각형의 넓이는 $16$; 안쪽 정삼각형의 넓이는 $1$; 두 정삼각형 사이의 사다리꼴 세 개는 합동(모양과 크기가 똑같다); 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$
구하는 것: 사다리꼴 한 개의 넓이
이해
문제 재정리: 큰 정삼각형의 넓이가 $16$ 이고, 그 안에 들어 있는 작은 정삼각형의 넓이가 $1$ 입니다. 두 정삼각형 사이의 공간은 합동인 사다리꼴 세 개로 나뉘어 있습니다. 사다리꼴 한 개의 넓이는 얼마인가요?
주어진 것: 바깥 정삼각형의 넓이는 $16$; 안쪽 정삼각형의 넓이는 $1$; 두 정삼각형 사이의 사다리꼴 세 개는 합동(모양과 크기가 똑같다); 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 나누기
보조 도구: #15 그림으로 떠올리기
바깥 삼각형은 두 종류의 조각으로 이루어져 있어요. 작은 삼각형 하나와 사다리꼴 세 개이고, 서로 겹치는 부분은 없어요. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 풀이를 두 단계로 쪼갭니다. 먼저 사다리꼴 세 개의 넓이 합을 구하고(바깥에서 안쪽을 뺌), 그다음 합동이라는 사실을 이용해 셋으로 똑같이 나눕니다. 도구 #15(그림으로 떠올리기)로 그림을 확인하면 사다리꼴 세 개가 두 삼각형 사이 띠 모양 영역을 빈틈이나 겹침 없이 정확히 덮고 있다는 점이 보입니다.
실행 — 정답: C
3.MD.C.7 단계 1 - 영역을 머릿속에 그려 봅니다.
- 바깥 삼각형은 안쪽 삼각형과 그 주위의 사다리꼴 세 개로 이루어져 있고, 이 조각들은 서로 겹치지 않아요.
- 그래서 바깥 삼각형의 넓이는 안쪽 삼각형의 넓이와 사다리꼴 세 개의 넓이 합과 같습니다.
💡 3학년 넓이 개념: 영역을 겹치지 않는 조각으로 나누면 전체 넓이는 조각들의 넓이를 더한 값과 같습니다.
3.MD.C.7 단계 2 바깥 삼각형의 넓이에서 안쪽 삼각형의 넓이를 빼서 사다리꼴 세 개의 넓이 합을 구합니다.
💡 "띠 모양의 넓이" 라는 작은 문제예요. 사다리꼴들은 안쪽 삼각형이 차지하지 않은 공간을 정확히 채웁니다.
3.OA.A.2 단계 3 사다리꼴 세 개는 합동이라 넓이가 같으므로, $15$ 를 정확히 셋으로 나누면 사다리꼴 한 개의 넓이가 나옵니다.
💡 3학년 등분 나눗셈: $15$ 를 똑같은 조각 $3$ 개로 똑같이 나누면 한 조각당 $5$.
3.MD.C.7 영역을 머릿속에 그려 봅니다. 바깥 삼각형은 안쪽 삼각형과 그 주위의 사다리꼴 세 개로 이루어져 있고, 이 조각들은 서로 겹치지 않아요. 그래서 3.MD.C.7 바깥 삼각형의 넓이에서 안쪽 삼각형의 넓이를 빼서 사다리꼴 세 개의 넓이 합을 구합니다. 3.OA.A.2 사다리꼴 세 개는 합동이라 넓이가 같으므로, $15$ 를 정확히 셋으로 나누면 사다리꼴 한 개의 넓이가 나옵니다. 검토
합리성 확인: 조각들을 다시 더해 봅시다. 안쪽 삼각형 $1$ 더하기 사다리꼴 세 개 각 $5$ 이므로 $1 + 3 \times 5 = 1 + 15 = 16$, 바깥 삼각형의 넓이와 정확히 일치합니다. 답 $5$ 는 선택지 가운데 값이고 크기도 자연스러워요. 각 사다리꼴은 작디작은 안쪽 삼각형보다는 크지만 전체 도형보다는 훨씬 작거든요. 그림과 잘 맞습니다.
대안 접근: 도구 #5(규칙 찾기)로 변의 길이 비를 이용하는 방법도 있어요. 바깥 삼각형의 넓이 $16$ 이 안쪽 삼각형의 넓이 $1$ 의 $16$ 배이므로 변의 길이 비는 $\sqrt{16} = 4$ 배입니다. 안쪽 삼각형의 한 변이 $1$ 단위라면 바깥 삼각형의 한 변은 $4$ 단위가 되어, 사다리꼴의 평행한 두 변은 $1$ 과 $4$. 정삼각형의 높이 비를 함께 쓰면 사다리꼴의 넓이는 $5$ 로 나와요 — 같은 답 (C).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
3.MD.C.7넓이를 곱셈·덧셈과 연결 짓기 (바깥 삼각형의 넓이가 안쪽 삼각형의 넓이와 사다리꼴 세 개의 넓이 합을 더한 값과 같다는 사실로부터, 뺄셈으로 띠 영역의 넓이를 얻는 데 사용.)3.OA.A.2자연수의 나눗셈의 몫을 해석하기 (띠 영역의 넓이 $15$ 를 합동인 사다리꼴 $3$ 개에 똑같이 나누어 $15 \div 3 = 5$ 를 얻는 데 사용.)
⭐ 큰 삼각형에서 작은 삼각형을 빼면 사다리꼴 세 개의 넓이 합이 나옵니다 — 셋이 똑같으니까 그 값을 $3$ 으로 나누면 끝. 빼기 다음에 똑같이 나누기.
⭐ 큰 삼각형에서 작은 삼각형을 빼면 사다리꼴 세 개의 넓이 합이 나옵니다 — 셋이 똑같으니까 그 값을 $3$ 으로 나누면 끝. 빼기 다음에 똑같이 나누기.
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