AMC 8 · 2008 · #9

학년 7 arithmetic

percentagefraction-multiplicationmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: percentagefraction-multiplication

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

In $2005$ Tycoon Tammy invested $100$ dollars for two years. During the first year
her investment suffered a $15\%$ loss, but during the second year the remaining
investment showed a $20\%$ gain. Over the two-year period, what was the change
in Tammy's investment?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$5\%\text{ loss}$

(B)

$2\%\text{ loss}$

(C)

$1\%\text{ gain}$

(D)

$2\% \text{ gain}$

(E)

$5\%\text{ gain}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 재력가 태미는 $\$100$ 으로 시작합니다. 첫 해에는 투자금이 $15\%$ 줄고, 둘째 해에는 남은 금액이 $20\%$ 늘어납니다. 2년 뒤 전체 변화율은 얼마일까요?

주어진 것: 최초 투자금: $\$100$; 1년 차: 처음 $\$100$ 에 대해 $15\%$ 손실; 2년 차: 1년 차 이후 남은 금액에 대해 $20\%$ 이익; 선택지: (A) $5\%$ 손실, (B) $2\%$ 손실, (C) $1\%$ 이익, (D) $2\%$ 이익, (E) $5\%$ 이익

구하는 것: $\$100$ 에서 2년 뒤 금액까지의 전체 변화율(%)

이해

계획

주요 도구: #7 부분 문제로 나누기

보조 도구: #3 식 세우기

퍼센트 변화가 순서대로 두 번 일어나므로, 도구 #7(부분 문제로 나누기)로 두 단계로 깔끔하게 쪼갭니다. 먼저 $15\%$ 손실을 적용하고, 그 결과에 $20\%$ 이익을 적용합니다. 도구 #3(식 세우기)으로 각 단계의 형태가 정해집니다 — $15\%$ 손실은 $0.85$ 곱하기, $20\%$ 이익은 $1.20$ 곱하기. 마지막으로 식 하나로 최종 금액을 변화율로 바꿉니다. 함정은 $-15\% + 20\% = +5\%$ 라고 더해 버리는 것입니다. 두 번째 퍼센트는 줄어든 금액 위에서 계산되니까요.

실행 — 정답: D

#3 식 세우기 6.RP.A.3 단계 1

1년 차 손실을 적용합니다.
$15\%$ 손실은 돈의 $85\%$ 가 남는다는 뜻이므로, 처음 $\$100$ 에 $0.85$ 를 곱합니다.

$\$100 \times 0.85 = \$85$

💡 "$15\%$ 잃는다"는 곧 "$85\%$ 가 남는다"와 같습니다. $0.85$ 를 곱하는 것이 6학년에서 어떤 수의 퍼센트를 구하는 방법입니다.

#3 식 세우기 6.RP.A.3 단계 2

2년 차 이익을 새 금액에 적용합니다.
$20\%$ 이익은 그 해 시작 금액의 $120\%$ 가 된다는 뜻이므로 $\$85$ 에 $1.20$ 을 곱합니다. 여기서 기준은 $\$100$ 이 아니라 $\$85$ 입니다.

$\$85 \times 1.20 = \$102$

💡 연속된 퍼센트 변화는 직전 잔액이 다음 기준이 됩니다. 그래서 $\$85$ 의 $+20\%$ 는 $\$20$ 이 아니라 $\$17$ 만큼만 늘어납니다.

#7 부분 문제로 나누기 7.RP.A.3 단계 3

최종 금액을 처음과 비교합니다.
투자금은 $\$100$ 에서 $\$102$ 가 되었으므로 금액 차이는 $\$2$ 이고, 변화율은 처음 값 $\$100$ 을 기준으로 계산합니다.

$\dfrac{\$102 - \$100}{\$100} \times 100\% = \dfrac{\$2}{\$100} \times 100\% = 2\% \text{ 이익} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$

💡 변화량을 처음 값으로 나눈 뒤 퍼센트로 바꾸는, 7학년 퍼센트 변화 문제 그대로입니다.

[1] #3 6.RP.A.3 1년 차 손실을 적용합니다. $15\%$ 손실은 돈의 $85\%$ 가 남는다는 뜻이므로, 처음 $\$100$ 에 $0.85$ 를 곱합니다.

[2] #3 6.RP.A.3 2년 차 이익을 새 금액에 적용합니다. $20\%$ 이익은 그 해 시작 금액의 $120\%$ 가 된다는 뜻이므로 $\$85$ 에 $1.20$ 을

[3] #7 7.RP.A.3 최종 금액을 처음과 비교합니다. 투자금은 $\$100$ 에서 $\$102$ 가 되었으므로 금액 차이는 $\$2$ 이고, 변화율은 처음 값 $\$

검토

합리성 확인: 전체 배수로 한 번에 확인합시다. $15\%$ 손실 뒤 $20\%$ 이익은 처음 값에 $0.85 \times 1.20 = 1.02$ 를 곱한 것과 같습니다. $\$100 \times 1.02 = \$102$ 로 단계별 계산과 일치합니다. 또 이 식은 단순히 $-15\% + 20\% = +5\%$ 라고 더하면 왜 틀리는지도 보여 줍니다. 순서와 기준 금액이 달라지기 때문입니다.

대안 접근: 도구 #11(변하지 않는 것 찾기): 곱하는 배수 $0.85 \times 1.20 = 1.02$ 는 처음 금액과 무관합니다. 그래서 시작 금액이 얼마든 2년 뒤 결과는 항상 시작의 $1.02$ 배 — 즉 $2\%$ 이익입니다. 문제의 $\$100$ 은 계산을 편하게 해 줄 뿐이고, $\$1$ 이나 $\$1{,}000$ 으로 바꿔도 변화율은 그대로입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.3 비와 비율 추론을 이용해 퍼센트 등 실생활·수학 문제 해결 ("$15\%$ 손실" 을 $0.85$ 곱하기로, "$20\%$ 이익" 을 $1.20$ 곱하기로 바꾸어 $\$85$, 그리고 $\$102$ 를 구하는 데 사용.)
7.RP.A.3 비례 관계를 이용해 여러 단계 비·퍼센트 문제 해결 (연속된 두 퍼센트 변화를 결합하고, 전체 변화율을 $(\$102 - \$100) / \$100 = 2\%$ 이익으로 계산하는 데 사용.)

⭐ 연속된 퍼센트 변화는 보이는 대로 더해지지 않습니다. $15\%$ 손실 뒤 $20\%$ 이익은 $0.85 \times 1.20 = 1.02$, 즉 $2\%$ 이익이 됩니다. 두 번째 퍼센트가 줄어든 금액 위에서 계산되기 때문입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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